對(duì)于幾何，我們很多人是既熟悉又陌生。熟悉是因?yàn)槲覀儚某踔校赡墁F(xiàn)在小學(xué)就有了）就在開始學(xué)幾何；陌生是因?yàn)楹芏嗳穗m然學(xué)了那么多年幾何，但是并不知道幾何到底是什么。他們沒有讀過《幾何原本》，也不知道以《幾何原本》為代表的幾何學(xué)范式在科學(xué)里有多重要，這樣就錯(cuò)失了幾何的精髓。
所以，對(duì)于幾何，對(duì)于《幾何原本》，我們需要重新認(rèn)識(shí)一下。
01我們的幾何
先回憶一下，大家當(dāng)年是怎么學(xué)習(xí)幾何的？
我們那時(shí)候?qū)W幾何，老師是先講一些基本的幾何概念，比如直線、線段、圓、三角形、直角等等。再講一些這些概念的基本性質(zhì)，學(xué)習(xí)一些重要的定理，然后把這些性質(zhì)、定理記下來，做題熟練它，然后這一塊的幾何就算是學(xué)好了。
然后，隨著我們的年級(jí)不斷升高，我們認(rèn)識(shí)的幾何圖形越來越復(fù)雜。從開始的簡單的三角形、矩形、圓慢慢拓展到多邊形、圓錐、橢圓、立方體等等等等。但是，基本的學(xué)習(xí)方法沒有變：都還是以定理為中心，以證明為中心。能夠熟練的掌握一種幾何體的各種相關(guān)的性質(zhì)定理，能發(fā)現(xiàn)那些不知道為什么要這樣劃，但是跟神一樣這樣一劃就能解決問題的輔助線，就算把幾何學(xué)好了。
這樣不斷的學(xué)習(xí)下去，我們對(duì)幾何圖形的性質(zhì)了解得越來越多，做題越來越熟練，我們自以為對(duì)歐幾里得的精髓的把握越來越準(zhǔn)。但是，我們卻忽略了一樣非常重要的東西，一樣令牛頓、愛因斯坦都瘋狂為之著迷的東西。
愛因斯坦說：“一個(gè)人當(dāng)他最初接觸歐幾里得幾何學(xué)時(shí)，如果不曾為它的明晰性和可靠性所感動(dòng)，那么他是不會(huì)成為一個(gè)科學(xué)家的。”我們現(xiàn)在再回過頭想想，我們小時(shí)候?qū)W幾何的時(shí)候，真的有感受到過這種愛因斯坦說的感動(dòng)么？
很少有人會(huì)有（如果你有，那么你非常的幸運(yùn)）這種感動(dòng)，因?yàn)檫@種歐幾里得幾何學(xué)身上最可貴最美的東西，恰恰是我們學(xué)校編寫幾何教材，老師教授幾何的時(shí)候不會(huì)講，最容易忽略的東西。
那么，這種東西到底是什么呢？
02科學(xué)的范式
我先跟大家說5句話，你們判斷一下這些話是對(duì)的還是錯(cuò)的，還是一看就知道是對(duì)是錯(cuò)。
1、任兩點(diǎn)都可以用一條直線相連
2、線段可以無限延長成一條直線
3、可以以任意點(diǎn)為頂點(diǎn)，任意長度為半徑畫一個(gè)圓
4、所有的直角都相等
5、過直線外一點(diǎn)，有且只能做一條直線與已知直線平行
好了，我的五句話說完了，你們覺得這些話是對(duì)是錯(cuò)，你們認(rèn)可不認(rèn)可？
可能有人看完之后感到一陣失落，好歹是長尾君高能預(yù)警了要說的話，想著怎么著也應(yīng)該是有點(diǎn)難度的命題讓我來判斷吧。沒想到是這樣幾個(gè)只要學(xué)了初中幾何，不，只要學(xué)了初一的幾何，阿不，就算沒學(xué)幾何也知道這肯定的對(duì)的命題。
因?yàn)檫@五句話都太簡單太“顯而易見”了，而且與生活的經(jīng)驗(yàn)是如此的相符，誰要覺得這5句話有問題那肯定是腦袋有問題。
沒錯(cuò)，在初一學(xué)幾何的時(shí)候，1、2兩條在學(xué)直線、線段的時(shí)候老師是直接這樣定義的。學(xué)圓的時(shí)候默認(rèn)我們都會(huì)用圓規(guī)畫圓，所以第3條也是默認(rèn)成立的，第4條老師直接告訴你直角就是90°，大于90°的叫鈍角，小于90°的叫銳角。第5條稍微麻煩一點(diǎn)，好像叫什么平行公理，但是一樣非常容易理解。
也就是說，這5句話里說的東西我在初一學(xué)幾何的時(shí)候就在不同地方已經(jīng)了解了，沒學(xué)幾何的人也覺得這是顯而易見的。但是，把他們這樣放在一起倒是覺得挺新鮮，為什么要把這5句話放在一起呢？難道老奸巨猾的長尾只是隨手抓了5句話來逗我玩？
如果我告訴你這五句話是并列出現(xiàn)在歐幾里得的傳世名著，那本影響西方科學(xué)兩千多年的巨著《幾何原本》第一卷的，你會(huì)不會(huì)感覺到吃驚？
如果我再告訴你，《幾何原本》里的全部幾何公設(shè)就是這5句話（我對(duì)這些話做了通俗處理，第5條換了說法但是跟原來的等價(jià)，另外還有五條公理是一般的公理，是不管是不是幾何都通用的），沒有第6條幾何公設(shè)了，你會(huì)不會(huì)覺得吃驚？
如果我最后再告訴你：歐幾里得幾何學(xué)里的全部定理，你從初中到高中甚至大學(xué)學(xué)的所有平面幾何相關(guān)定理，你用來證明幾何題目所需要的各種性質(zhì)都可以從這5句話里嚴(yán)密的推導(dǎo)出來的。你會(huì)不會(huì)感到震驚？
沒錯(cuò)，你沒有聽錯(cuò)，這5句看起來非常簡單的5條公設(shè)，就是歐式幾何的全部假設(shè)。從這5條假設(shè)出發(fā)，歐幾里得邏輯嚴(yán)密地證明了467個(gè)命題。
也就是說，如果你承認(rèn)最開始的那5條簡單得不像話的公設(shè)，你就得沒有任何異議的接受他后面證明的那467個(gè)命題。后面那些命題可能很多不是很直觀，有很多甚至跟直覺常理相違背，但是它就是一個(gè)十分正確的存在，正襟危坐在那里，嚴(yán)密的邏輯推導(dǎo)足以碾壓你的一切懷疑。
03潑點(diǎn)冷水
上面的描述可能讓你對(duì)歐幾里得有種滔滔江水般的敬仰，覺得在兩千多年前有這么一個(gè)人能夠從5個(gè)公理出發(fā)證明這么多定理實(shí)在是太牛掰了。
但是，如果我告訴你《幾何原本》這本書里幾乎所有的定理在歐幾里得之前就已經(jīng)知曉了，并且許多證明也是這樣。歐幾里得做的工作不過是把它們整理在一起，你會(huì)不會(huì)突然覺得歐幾里得沒什么，甚至只是個(gè)盜用別人勞動(dòng)成果的騙子？
但是，我再告訴你這些事情不光我知道，兩千多年來西方人一直都知道這個(gè)事，但是他們依然把歐幾里得把《幾何原本》封神，你會(huì)不會(huì)覺得奇怪？
如果你覺得奇怪，說明你還是不太了解真正的西方科學(xué)的精神。
我們回過頭來想一想，這些定理，這些三角形圓形的性質(zhì)難道我們中國古代的數(shù)學(xué)家們不知道么？中國一樣在很早就發(fā)現(xiàn)了勾股定理，中國能比歐洲提前1100多年把圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后7位，你覺得那些定理我們的古人會(huì)搞不明白？
墨家設(shè)計(jì)那么多機(jī)關(guān)器械，會(huì)不懂這些幾何原理？但是，為什么中國就沒有誕生近代科學(xué)呢？祖沖之把圓周率都算到小數(shù)點(diǎn)后7位了，《幾何原本》里的那些定理我相信祖沖之很多都知道，但是為什么祖沖之寫不出《幾何原本》？
有人覺得我在胡攪蠻纏，說歐幾里得也沒有寫出《九章算術(shù)》啊。是，這個(gè)沒錯(cuò)，但是《幾何原本》奠定了西方科學(xué)的基礎(chǔ)，奠定了西方科學(xué)研究的范式。有《幾何原本》，才有了牛頓的《自然哲學(xué)數(shù)學(xué)原理》（牛頓的這本書基本上就是按照《幾何原本》的標(biāo)準(zhǔn)樣式寫的），才有了近代科學(xué)的誕生。
04最重要的事
所以，《幾何原本》里出現(xiàn)的那里定理本身并不是很重要。
重要的是：歐幾里得通過對(duì)前人工作的整理，通過超凡入圣的洞察力和判斷力選擇了5條顯而易見的基本假設(shè)。然后仔細(xì)的安排了所有的定理，使所有的定理跟前面的定理邏輯一致，在需要證明的地方給出了補(bǔ)充。然后，歐幾里得完成了這樣一個(gè)工作：把原本看起來零零散散的一些定理通過邏輯嚴(yán)密地綁在了一起，而它們需要承認(rèn)僅僅只有5個(gè)顯而易見的公理。
那些定理就像是一個(gè)個(gè)零散的部件，在歐幾里得這里形成了一個(gè)完整的體系。就像一堆各自為王的草寇被整編成了正規(guī)軍，一顆顆散落的珍珠被串成了一條項(xiàng)鏈，所以你說歐幾里得的工作重不重要？
從此，西方的科學(xué)里有了體系一說。西方的科學(xué)家們驚嘆于歐幾里得發(fā)明的這套方法，于是紛紛將這一套東西引入到自己的研究領(lǐng)域，從此這種方式成為了西方科學(xué)研究的一個(gè)基本范式。
于是，大家再研究一個(gè)全新領(lǐng)域的時(shí)候，都先挑幾個(gè)最基本的假設(shè)作為公理，然后從這些公理出發(fā)推導(dǎo)出一些定理，當(dāng)然，他必須保證自己推導(dǎo)的這些定理前后不矛盾（這就需要很強(qiáng)的邏輯能力，《幾何原本》就是對(duì)邏輯能力最好的訓(xùn)練教材）。然后他會(huì)以這些推導(dǎo)出來的定理為基礎(chǔ)，利用嚴(yán)密的邏輯一步步擴(kuò)大領(lǐng)地，最終建立一個(gè)完善的學(xué)科。
因?yàn)樗麄冎?strong>只要公理可靠，那么推出來的定理也一定是可靠的，那么我再基于這些定理推出來的其他定理也一定是可靠的，所以我的知識(shí)領(lǐng)地只會(huì)增加不會(huì)減少。但是，這同時(shí)也意味著這里所有的定理都有連帶責(zé)任，只要有一條定理跟事實(shí)不符，那么整個(gè)體系就會(huì)垮掉。
對(duì)于任何一套體系，如果我假設(shè)的公理越簡單越基本，那么顯然他出現(xiàn)漏洞的可能性就會(huì)越小，被人接受理解的可能性也越大。如果需要的前提假設(shè)越多，就跟武林高手練功一樣，留的罩門就越多，就越容易被人找出破綻。
光速不變就是愛因斯坦在狹義相對(duì)論里提出的一條假設(shè)（另一條是相對(duì)性原理，說物理定律在一切慣性參考系中都具有相同的數(shù)學(xué)表達(dá)形式），狹義相對(duì)論就是從這兩個(gè)假設(shè)推導(dǎo)出來的。
05邏輯的力量
如果我是幾何老師，我倒更愿意直接選擇《幾何原本》作為學(xué)習(xí)幾何的教材，我想讓學(xué)生知道：學(xué)習(xí)幾何最重要的不是掌握了幾個(gè)定理，會(huì)做幾條輔助線，而是你自己能夠從那幾個(gè)最簡單的公理出發(fā)，一部一部推導(dǎo)出那么多看起來不那么直觀的定理。這些定理看起來好像很玄乎很不可思議，但是你回顧自己推導(dǎo)的過程，每一步都走的那么堅(jiān)實(shí)，每一個(gè)推理步驟都無懈可擊，所以這個(gè)定理無論看起來怎么不可思議，但是絕對(duì)是正確的。
這就是邏輯的力量，這就是理性的力量。
這時(shí)候你會(huì)由衷的感嘆邏輯的偉大，科學(xué)的偉大，許多年后你可能會(huì)忘了《幾何原本》里的那些定理。但是，推導(dǎo)那些定理的那些過程和那種思維的范式都會(huì)深深的印在你的腦海里，而這些東西，才是《幾何原本》留下來最珍貴的東西。
掌握了《幾何原本》的精髓，你才會(huì)面對(duì)未知領(lǐng)域的時(shí)候有信心去構(gòu)建一個(gè)系統(tǒng)，有信心去研究并掌握這一領(lǐng)域背后的全部秘密。如果你沒有這種科學(xué)邏輯系統(tǒng)化的概念，就算你的想象力洞察力再豐富，也只能發(fā)現(xiàn)一些零散的東西，或者解決一些別人留下來的問題。
牛頓的偉大在哪里？伽利略和開普勒其實(shí)已經(jīng)做了很多零散前瞻性的研究工作，但是，只有牛頓能夠從這些零散的結(jié)論實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中看出他們內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，并且把這些零散的東西整理成一個(gè)有機(jī)的體系。這種工作，我們想想，和歐幾里得整理《幾何原本》的事情是不是很類似？
歐幾里得之前人們就已經(jīng)知道那些幾何定理，只不過他們是零散的方式存在的，是歐幾里得將他們有機(jī)的整合成了一個(gè)體系。如果你有機(jī)會(huì)把《幾何原本》和《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》拿來做一個(gè)對(duì)比，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》在風(fēng)格上跟《幾何原本》極其相似。
可惜，我們的教育恰恰把這個(gè)最重要的東西給忽略了，我們的數(shù)學(xué)教育里把定理的熟悉使用看做最為重要的東西，而對(duì)從顯而易見的公理邏輯嚴(yán)密的推導(dǎo)出這些定理的事情卻不是很關(guān)注。這種科學(xué)范式的方法論是我們數(shù)學(xué)教育里最缺少，也是我在文章里一直大力提倡的。
06回顧一下歷史
1582年，明神宗萬歷十年，有一個(gè)叫利瑪竇的意大利人來到中國，萬歷皇帝在宣武門賜給了利瑪竇一棟別墅，讓他安心的在北京做東西方的科技文化交流工作。不久，利瑪竇就收了一位好學(xué)生徐光啟，利瑪竇以《幾何原本》為教程教授徐光啟西方的數(shù)學(xué)理論，然后兩人合作翻譯了《幾何原本》的中文版。
我們現(xiàn)在經(jīng)常說的三角形、平行線、直角、銳角、相似等等詞語，都是徐光啟發(fā)明的。徐光啟也絕對(duì)是個(gè)聰明人，他學(xué)習(xí)《幾何原本》后就利用這里的幾何知識(shí)精準(zhǔn)地預(yù)測(cè)了一次日食，搞得朝野振動(dòng)。一時(shí)間西方科學(xué)名聲大振，然后一大波西方科學(xué)著作就潮水般地被翻譯進(jìn)來了。
徐光啟意識(shí)到了《幾何原本》代表的這種西方科學(xué)范式的方法論非常的重要，他那時(shí)候就意識(shí)到了幾何學(xué)代表的這種嚴(yán)密的邏輯推理方法是科學(xué)研究的基礎(chǔ)。
也就是說，明朝的末期就已經(jīng)有人看到了《幾何原本》最珍貴的地方，那么為什么400多年后的今天，我們很多人依然看不到這一點(diǎn)呢？西方數(shù)學(xué)最為重視的形式邏輯和演繹推理，在我們的教育里一直極度缺乏，想想我們小時(shí)候數(shù)學(xué)做得最多的題目是什么？是應(yīng)用題！我們關(guān)心的一直都是它的實(shí)用性，而不是它的邏輯和演繹。
徐光啟利用《幾何原本》預(yù)測(cè)日食的那一年是1610年，距離科學(xué)巨星牛頓的誕生還有33年。那個(gè)時(shí)候，大量的西方科技著作被引入中國，有介紹托勒密和亞里士多德的自然哲學(xué)、邏輯學(xué)和方法論的，有介紹天文儀器地理知識(shí)的，有介紹心理學(xué)和人體生理解剖學(xué)的，有介紹機(jī)械學(xué)和工程學(xué)。
基本上，中世紀(jì)西方科學(xué)都被搬到了中國，你覺得這樣的大背景下，如果牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》發(fā)表了，他能不被引入中國？可惜，這一切隨著明朝的滅亡煙消云散，西方人再次來到中國帶的就不是《幾何原本》，而是鴉片了。
然后，直到今天，我們還得努力地科普這些在西方學(xué)生看起來再正常不過的東西，欠的債總是要慢慢還的。
07最后的祝福
如果你是小學(xué)生，我希望你明白數(shù)學(xué)不是只用來做算術(shù)做應(yīng)用題的，你現(xiàn)在用的那些自然數(shù)、那些幾何圖形都是對(duì)自然的一種抽象，對(duì)世界的一種描述。因?yàn)槭澜绾苊篮芷婷睿詳?shù)學(xué)很美很奇妙。
如果你是初中生，我希望有機(jī)會(huì)你能弄一本《幾何原本》來讀一讀，看看能不能邏輯嚴(yán)密的自己推導(dǎo)出那些定理，并且體會(huì)《幾何原本》代表的這種方法。如果你能用自己的方法證明勾股定理，作為一個(gè)初中生，那給你帶來的喜悅將不亞于發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)定理。
如果你是高中生，我首先希望你對(duì)數(shù)學(xué)的興趣還沒有被磨滅。如果你有幸還喜歡數(shù)學(xué)，你不用為了提高數(shù)學(xué)就去買一堆奧數(shù)書，你可以去了解一下微積分的思想，可以去了解一下數(shù)學(xué)的思想史、方法論和哲學(xué)史。
如果你是大學(xué)生，你要知道《高等數(shù)學(xué)》或者《數(shù)學(xué)分析》的那點(diǎn)東西是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，而很多數(shù)學(xué)家在這個(gè)年齡已經(jīng)做了很多原創(chuàng)性的工作了。
如果你是研究工作者，我希望你能深刻體會(huì)《幾何原本》代表的這種西方科學(xué)的思想方法，能夠用它構(gòu)建自己的一套體系。中國不缺乏解決單一問題的人，但是極度缺乏能夠系統(tǒng)化某個(gè)領(lǐng)域的大師。
這篇文章是對(duì)我一年半以前的兩篇文章的一個(gè)整理，這樣大家的閱讀體驗(yàn)會(huì)更好，關(guān)于《幾何原本》的事情，我以后還會(huì)細(xì)說。之所以在今天發(fā)這篇文章，是因?yàn)榻裉焓?strong>張卜天老師最新翻譯的《幾何原本》首發(fā)的日子，出版社邀請(qǐng)我寫一篇《幾何原本》相關(guān)的文章（本次推送的頭條）。
因?yàn)槲蚁騺硎菢O力推薦大家都去看看《幾何原本》的，而且這是張卜天老師的翻譯大作，所以把之前的文章整理下也一起發(fā)出來了。關(guān)于張卜天老師和這個(gè)翻譯版的特點(diǎn)，我在推送的頭條文章里已經(jīng)作了解釋，這里就不說了。
然后我就可以回答這個(gè)讀者問了我好多次的問題了：究竟買哪個(gè)版本的《幾何原本》好？
答：張卜天老師翻譯的《幾何原本》。
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