1. 極限觀念與割圓術(shù)極限意識(shí)在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)已出現(xiàn)，實(shí)際加以應(yīng)用的是劉徽。 劉徽已領(lǐng)悟到數(shù)列極限的要諦， 故能有重要?jiǎng)?chuàng)獲。 劉徽的杰出貢獻(xiàn)首推他在 《九章算術(shù)注》中創(chuàng)立的割圓術(shù)，其所用方法包含初步的極限概念和直線曲線轉(zhuǎn)化 的思想。在一千五百年前能運(yùn)用這種思想，是難能可貴的。
有了割圓術(shù)，也就有了計(jì)算圓周率的理論和方法。圓周率是圓周長(zhǎng)和直徑的比 值，簡(jiǎn)稱 π 值。 π 值是否正確，直接關(guān)系到天文歷法、度量衡、水利工程和土 木建筑等方面的應(yīng)用，所以精確計(jì)算 π 值，是數(shù)學(xué)上的一個(gè)重要任務(wù)。
2. 關(guān)于體積計(jì)算的劉徽定理一般地說(shuō)，柱體或多面體的體積計(jì)算較比容易解決， 而圓錐、圓臺(tái)之類的體積就難以求得。劉徽經(jīng)過(guò)苦心思索，終于找到了一條途 徑，他分別做圓錐的外切正方錐和圓臺(tái)的外切正方臺(tái)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)： “求圓亭（圓 臺(tái)）之積，亦猶方冪中求圓冪，圓面積與其外切正方形的面積之比為 π ∶ 4 ，由 此他推得：圓臺(tái)（錐）的體積與其外切正方臺(tái)（錐）的體積之比，也是 π ∶ 4 。 很顯然，如果知道了正方臺(tái)（錐）的體積，即可求得圓臺(tái)（錐）的體積。劉徽 這個(gè)成果，看似簡(jiǎn)單，實(shí)際起著繼往開(kāi)來(lái)的重要作用，故有的現(xiàn)代數(shù)學(xué)家稱之 為“劉徽定理”。在古代沒(méi)有微積分的時(shí)候，這條定理起著微積分的作用，在 現(xiàn)代數(shù)學(xué)中仍有共價(jià)值。劉宋時(shí)祖沖之、祖暅父子繼承劉徽定理而得出更為進(jìn)步的祖氏原理。在西方，直到 1635 年意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利才有了與祖氏父子 類似的思想，比祖氏父子已晚了一千一百多年，比劉徽更遲了一千三百多年。
3. 十進(jìn)小數(shù)的應(yīng)用在數(shù)學(xué)計(jì)算或?qū)嶋H應(yīng)用中總不免出現(xiàn)奇零小數(shù)，在劉徽以前， 一般是用分?jǐn)?shù)或命名制來(lái)表示，如“一升又五分升之三”，即升?；蚱叻职死?九毫五忽”等，在位數(shù)較少時(shí)，尚可湊合，當(dāng)小數(shù)位數(shù)太多時(shí)，便很不方便， 因之劉徽建立了十進(jìn)分?jǐn)?shù)制。他以忽為最小單位，不足忽的數(shù)，統(tǒng)稱之為微數(shù)， 開(kāi)平方不盡時(shí)，根是無(wú)限小數(shù)，這又是無(wú)限現(xiàn)象。他說(shuō)：“微數(shù)無(wú)名者以為分 子，其一退以十為分母，再退以百為母，退之彌下，其分彌細(xì)，則朱冪（已經(jīng)開(kāi)出去的正方形面積）雖有所棄之?dāng)?shù)（未能開(kāi)出的部分），不定言之也”。用 現(xiàn)代方法寫(xiě)其方根近似值是忽。
4. 改進(jìn)了線性方程組的解法《九章算術(shù)》中有一章專講線性方程組問(wèn)題。用一 種“直除法”求解，即解方程組時(shí)把多個(gè)未知數(shù)逐步減少到一個(gè)未知數(shù)，然后 反過(guò)來(lái)求出所有未知數(shù)的值?！爸背ā钡南ㄎ粗獢?shù)）要通過(guò)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù) 累減的辦法來(lái)完成，比較麻煩。劉徽對(duì)“直除法”加以改進(jìn)，在解二元一次方 程組時(shí)，用了“互乘對(duì)減”的方法，一次消去一項(xiàng)，如同后來(lái)的加減消元法。 劉徽雖然只用過(guò)一次“互乘對(duì)減法”，但他知此法帶有普遍性，可以推廣到任 何元數(shù)的線性方程組。劉徽還使用配分比例法解線性方程組，也是有創(chuàng)造性的 成果。在歐洲，直到十六世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家布丟解線性方程的方法才與《九章算術(shù)》的“直除法”相似，然而已比《九章算術(shù)》晚了一千七百多年，而且沒(méi)有 劉徽改進(jìn)的解法好。
5. 總結(jié)和發(fā)展了重差術(shù)我國(guó)古代，將用“表”（標(biāo)桿）或“矩”（刻劃以留標(biāo) 記）進(jìn)行兩次測(cè)望的測(cè)量方法稱做“重差術(shù)”?！毒耪滤阈g(shù)注》中第九章《句股》，主要講測(cè)量高、深、廣、遠(yuǎn)問(wèn)題，說(shuō)明當(dāng)時(shí)測(cè)量數(shù)學(xué)和測(cè)繪地圖已有相 當(dāng)水平。劉徽《重差》一卷所以被改稱《海島算經(jīng)》就是因?yàn)槠涞谝活}是講測(cè) 量海島的。“重差”之名，古已有之，劉徽對(duì)之進(jìn)行了深入而具體的研究，他 解釋重差的含義說(shuō)：“凡望極高，測(cè)絕深，而兼知其遠(yuǎn)者，必用重差，勾股則 必以重差為率，故曰：重差也”。劉徽的《海島算經(jīng)》共答案。其解法都可以 變成平面三角公式，起著與三角同等的作用，可說(shuō)是我國(guó)古代特有的三角法。
在西方，古希臘數(shù)學(xué)家稱用多邊形逼近曲線圖形的方法為“窮竭法”，早在公元前3世紀(jì)，阿基米德也是用這種方法去計(jì)算圓的周長(zhǎng)、面積及圓周率的。阿基米德將他自己對(duì)球體積的計(jì)算一直引以為豪。阿基米德考慮一個(gè)球和它的外切圓柱，以及一個(gè)輔助的圓錐，其基本做法是將這些立體分割成無(wú)數(shù)的薄片，并用力學(xué)平衡的方法比較它們的體積，最后求得球體積的正確公式，阿基米德的方法可以看成是積分學(xué)的先聲。
雖然西方數(shù)學(xué)家阿基米德對(duì)球體積的計(jì)算研究的時(shí)間更早，但是在我國(guó)南北朝時(shí)期，祖沖之父子獨(dú)立研究出的“祖暅原理”比阿基米德的研究?jī)?nèi)容要豐富，涉及的問(wèn)題更復(fù)雜。祖沖之和他的兒子祖暅一起，用巧妙的方法解決了球體積的計(jì)算問(wèn)題。
《九章算術(shù)》中認(rèn)為，球體的外切圓柱體與球體積之比等于正方形與其內(nèi)切圓面積之比，劉徽為《九章算術(shù)》作注時(shí)指出，原書(shū)的說(shuō)法是不正確的，只有“牟合方蓋”（垂直相交的兩個(gè)圓柱體的共同部分的體積）與球體積之比，才正好等于正方形與其內(nèi)切圓的面積之比。但劉徽沒(méi)有求出兩圓柱體垂直相交部分的體積公式，所以也就得不出球體積公式。祖沖之父子應(yīng)用“等高處橫截面積常相等的兩個(gè)立體，其體積也必然相等”這一原理，求出了“牟合方蓋”的體積。而球體體積等于π／4乘以“牟合方蓋”體積，從而最終算出球體積，這個(gè)公式就是著名的“祖暅公理”。
