一年一度高考日，中午語文結(jié)束，關(guān)于各地作文題的討論立即熱火朝天，全微博的段子手紛紛出動。然而到了下午考數(shù)學(xué)，世界就沉寂了……
你可能會說：知識都還給老師了嘛！
沒關(guān)系，這里有一篇能喚起你高考美好回憶的動圖合集→_→
“橢圓”是什么？小時候，我將它直觀地理解成一個“壓扁”或“拉長”的圓。因此，當(dāng)我第一次在解析幾何課本中看到橢圓的定義的時候，感覺世界觀被顛覆了：
……這是什么鬼？
接下來，課本就從這個定義出發(fā)，推出了橢圓的方程：我們熟悉的
直到我看到了一張類似這樣的圖片（當(dāng)然，當(dāng)年看到的不是動圖）：
圖片來源：Zachary Abel's Math Blog
怎樣得到一個“拉長的圓”？很簡單，找一個圓柱體，然后斜著一刀切下去。接下來，我們從斜面的上方和下方分別塞進(jìn)一個球，它們與圓柱相切，同時也與截面相切。我們把球與截面相切的兩個點分別記作F1和F2——這兩個點也就是橢圓的兩個焦點。
于是，如圖，由于F1X和AX是X這個點到藍(lán)色球的兩條切線，因此它們的長度也相等。同理，XF2=XB。因此，F(xiàn)1X+XF2=AX+XB=AB，而AB的長度是一個定值。就這樣，我們把課本上橢圓的定義和“拉長圓”的直覺理解聯(lián)系了起來。
而且，如果把這里的圓柱換成圓錐，這一點也同樣成立：
圖片來源：Zachary Abel's Math Blog
不過當(dāng)然，圓錐的截面變化就更多了。隨著角度變化，在圓錐上可以截出圓、拋物線、雙曲線、兩條相交的直線、兩條重合的直接，甚至縮成一個點。因此，橢圓、拋物線和雙曲線都被稱為圓錐曲線。
圖片來源：mathgifs
上高中時，我們沒少對著橢圓做計算，而它的光學(xué)性質(zhì)也很有趣：如果從橢圓的一個焦點發(fā)出光線，再經(jīng)過橢圓的反射，最終光線還會匯聚到橢圓的另一個焦點上。當(dāng)然，把光換成聲波、小球或是別的什么東西也可以。
圖片來源：MathGifs
在圖中我們還可以看到：這些小球同時以同樣的速度向不同的方向出發(fā)，又同時匯聚在另一個焦點。這說明它們走過的路程是一樣的。為什么？想想橢圓的定義吧。
別的圓錐曲線也有獨特的光學(xué)性質(zhì)。比如說，從雙曲線的一個焦點處發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線的反射后，看起來會像是從雙曲線的另一個焦點發(fā)出來的一樣。再比如說拋物線，在它的一個焦點處發(fā)出的光線經(jīng)反射后會變成平行線：
圖片來源：MathGifs
把拋物線繞對稱軸旋轉(zhuǎn)一圈，我們就得到了拋物面。這個拋物面也有同樣的光學(xué)性質(zhì)，于是我們就可以用它來把平行的光線匯聚到一點，或者把從一點發(fā)出的光線變成平行光。這個性質(zhì)被應(yīng)用在天線、望遠(yuǎn)鏡、話筒、燈光設(shè)備等各種不同的地方。奧運的圣火也是通過拋物面匯聚的太陽光來點燃的：
希臘演員Eleni Menegaki點燃2010年青年奧運會圣火。圖片來源：Wiki Commons
還記得課本上是怎樣推導(dǎo)球的體積公式的嗎？一個常見的方法是祖暅（gèng）原理，下面的動圖解釋的就是它：
圖片來源：Hyrodium's Graphical MathLand
祖暅原理，在西方叫卡瓦列里原理（Principio di Cavalieri）。它說的是如果兩個幾何體在每一個相同高度處的截面積都相同，則它們的體積也相同。從上面的圖中可以看出，如果把底面半徑為r、高為2r的圓柱體挖去兩個高為r的圓錐，再把剩余部分與半徑為r的球體進(jìn)行逐層比較，可以發(fā)現(xiàn)二者在每個高度上的截面積都是相等的。這樣一來，用圓柱和圓錐的體積公式就可以推出球體積公式了：
學(xué)過高等數(shù)學(xué)的同學(xué)可能會發(fā)現(xiàn)：這不就是說二重積分能夠通過逐次積分來計算嗎？的確，這可以看成是微積分的一個“前奏”。在17世紀(jì)上半葉，意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里提出了這條原理，并用它計算了一系列幾何體的體積，而在17世紀(jì)下半葉，牛頓和萊布尼茲發(fā)明了微積分。
祖暅提出同樣的原理是在公元5世紀(jì)，比卡瓦列里早了一千多年。祖暅?zhǔn)亲鏇_之的兒子，他是在求球的體積公式的過程中提出這條原理的。但他還不是第一個算出球體積公式的人。早在公元前3世紀(jì)，古希臘的阿基米德就給出了球的體積公式。他用一種奇妙的力學(xué)方法，算出半徑為r的球體積是半徑為r、高為2r圓柱體積的三分之二，并用窮竭法給出了證明。阿基米德的方法已經(jīng)有了微積分思想的雛形，不過沒有用上祖暅原理。
阿基米德的成果并沒有傳到中國。早期的中國數(shù)學(xué)家也研究過球的體積，但沒能得到正確的結(jié)果。到了南北朝時期，祖暅終于提出了這條重要的原理：“冪勢既同，則積不容異”。
祖沖之、祖暅父子在這條原理的基礎(chǔ)上，還得到了“牟合方蓋”的體積公式。咦？牟合方蓋是啥？
圖片來源：Wiki Commons 作者：Van helsing
如上圖，把兩根半徑相等的圓柱垂直地拼在一起，它們的公共部分就是“牟合方蓋”了。古人給幾何體起的名字，在今天看來往往會有些奇怪，不過在高考考場上你還真有可能遇到它們，比如2015年湖北高考題就出現(xiàn)了“陽馬”和“鱉臑”。
余弦定理是勾股定理的推廣。它和勾股定理一樣，都有著很多不同的證明。數(shù)學(xué)證明是一件非常美妙的事情。不過，證明長了，讀起來未免有些枯燥。相比之下，簡短巧妙的無字證明就顯得格外具有美感。下圖就是余弦定理的一個無字證明：
圖片來源：Wiki Commons 作者：HB
看明白這個證明要花一點功夫，在這里我就先不剝奪讀者思考的樂趣了。我沒能查到這個證明的作者。它的靈感應(yīng)該是來自歐幾里得所給的勾股定理的證明?！稁缀卧尽分械谝痪淼牡?7個命題便是勾股定理。只要把動圖中的∠ACB改成直角，得到的就是《幾何原本》上的證明：
《欽定四庫全書》版《幾何原本》上的插圖。來源：中國哲學(xué)書電子化計劃
