日期：2019年5月24日
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來源：king110108
1. 線性代數(shù)知識圖譜
線性代數(shù)是代數(shù)學的一個分支，主要處理線性關系問題。線性關系意即數(shù)學對象之間的關系是以一次形式來表達的。例如，在解析幾何里，平面上直線的方程是二元一次方程；空間平面的方程是三元一次方程，而空間直線視為兩個平面相交，由兩個三元一次方程所組成的方程組來表示。含有 n個未知量的一次方程稱為線性方程。變于關量是一次的函數(shù)稱為線性函數(shù)。線性關系問題簡稱線性問題。解線性方程組的問題是最簡單的線性問題。
線性（linear）指量與量之間按比例、成直線的關系，在數(shù)學上可以理解為一階導數(shù)為常數(shù)的函數(shù)
非線性（non-linear）則指不按比例、不成直線的關系，一階導數(shù)不為常數(shù)。
行列式非零
2. 行列式
矩陣的行列式，determinate（簡稱det），是基于矩陣所包含的行列數(shù)據(jù)計算得到的一個標量。是為求解線性方程組而引入的。
計算方式：對角線法則
計算方式：對角線法則
性質(zhì)1 行列式與它的轉置行列式相等
注：行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.
性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列）,行列式變號
推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零
性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個倍數(shù)k，等于用數(shù)k乘以此行列式.
推論 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．
性質(zhì)4 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．
性質(zhì)5 若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和,則等于對應的兩個行列式之和.
性質(zhì)6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個倍數(shù)然后加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變．
1）利用定義
2）利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值
定理中包含著三個結論：
1）方程組有解；（解的存在性）
2）解是唯一的；（解的唯一性）
3）解可以由公式(2)給出.
定理4 如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零，則該線性方程組一定有解,而且解是唯一的 .
定理4′ 如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.
齊次線性方程組的相關定理
定理5 如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式D不等于0，則齊次線性方程組只有零解，沒有非零解.
定理5′ 如果齊次線性方程組有非零解,則它的系數(shù)行列式必為零.
1. 用克拉默法則解線性方程組的兩個條件
1) 方程個數(shù)等于未知量個數(shù)；
2) 系數(shù)行列式不等于零.
2. 克拉默法則的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)以及常數(shù)項之間的關系．它主要適用于理論推導．
對角線法則只適用于二階與三階行列式.
本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來表示高階行列式.
3. 矩陣
行列式與矩陣加法的比較：
反對稱矩陣(skew symmetric matrix)
分塊矩陣不僅形式上進行轉置，而且每一個子塊也進行轉置．
4. 矩陣的初等變換與線性方程組
5. 向量組的線性相關性
結論：矩陣的最高階非零子式一般不是唯一的，但矩陣的秩是唯一的．
問題：什么是線性方程組的解的結構？
答：所謂線性方程組的解的結構，就是當線性方程組有無限多個解時，解與解之間的相互關系．
備注：
1）當方程組存在唯一解時，無須討論解的結構．
2）下面的討論都是假設線性方程組有解．
定義：所謂封閉，是指集合中任意兩個元素作某一運算得到的結果仍屬于該集合．
定義：設 V 是 n 維向量的集合，如果
① 集合 V 非空，
② 集合 V 對于向量的加法和乘數(shù)兩種運算封閉，
具體地說，就是：
若 a ∈ V， b ∈ V，則a + b ∈ V ．（對加法封閉）
若 a ∈ V， l ∈ R，則 l a ∈ V ．（對乘數(shù)封閉）
那么就稱集合 V 為向量空間．
定義：如果向量空間 V 的非空子集合 V1 對于 V 中所定義的加法及乘數(shù)兩種運算是封閉的，則稱 V1 是 V 的子空間．
6. 相似矩陣及二次型
單位向量：長度為1的向量。
向量正交：向量內(nèi)積為0。
1）矩陣半正定當且僅當它的每個特征值大于等于零(>=0)。
2）矩陣正定當且僅當它的每個特征值都大于零(>0)。
-- End --
