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1.求極限請注意自變量趨向什么。我們知道：lim(x趨向0)sinx/x=1，但是當x趨向無窮limsinx/x=0，原因：無窮小量×有界函數(shù)=無窮小量。這里：|sinx|<=1，1/x是無窮小量。再次重申：請注意x趨向什么。
2.關(guān)于極限的保號性。若 lim f(x)=A , A>0或(A<0)，則存在δ>0，當x取x0的δ去心
x->x0 鄰域時,f(x)>0(或f(x)<0)。這是最原始結(jié)論：如果結(jié)論中不取去心鄰域，那么結(jié)論是錯的。比如舉例分段函數(shù)：當x=0時，f(x)=-1，當x不為0時，f(x)=x^2＋1，顯然lim(x趨向0)f(x)=1>0，然而并不滿足f(x)>0(在x=0處)。介紹這個定理的作用：解一類題。請看：已知f(x)可導，且當x趨向0，limf(x)/|x|=1，判斷f(x)是否存在極值點。 因為f(x)可導，那么f(x)必連續(xù)，因為lim(x趨向0)f(x)/|x|=1這個極限存在且為1，那么我們得到結(jié)論：lim(x趨向0)f(x)=0，否則不會存在極限的，又因為f(x)連續(xù)，那么f(0)=0，令f(x)/|x|=g(x)，根據(jù)保號性，因為limg(x)=1>0，那么：g(x)>0，那么由于|x|在x趨向0時>0，所以f(x)>0，而0=f(0)，所以f(x)>f(0)，根據(jù)極小值的定義，x=0為f(x)的極小值點。 ★綜上：已知limg(x)=a，a的正負已知，可以使用保號性。
3. 請注意當題目說：x趨向無窮時，那么題目包含兩個意思：x趨向正無窮和x趨向負無窮。在含有e^x，arctanx，等等類的題目時，請看清楚x趨向無窮還是趨向正無窮或者是負無窮。補充：在含有絕對值的題目時，這點尤其重要，如果說x趨向無窮，那么在去||時，必須考慮|x|中x是趨向正無窮還是負無窮，當然題目不一定非要以絕對值出現(xiàn)，有些題會以√(x^2)出現(xiàn)。
4.關(guān)于和差化積積化和差公式的記憶。8字口訣：同c異s，s異c同。前者用來記住積化和差，后者用來記住和差化積。舉例：sinacosb=？因為它們的三角函數(shù)名異名，那么使用s，sinacosb=(1/2)(sin(a+b)+sin(a-b))，★說明：1，純粹個人記憶方法，接受不了也正常；2，這個口訣的使用基于你知道=右邊的基礎(chǔ)輪廓，比如所有的積化和差，右邊是1/2(()＋(或者-)())；3，實在不會，死記硬背吧，或者請教別的大神。
5. 關(guān)于極值點的3種判別法：■法一：定義法；■法二：若f(x)可導，f'(xo)=0，且f’’(x)不為0，則f(x)在xo處取得極值，若二階導<0，取得極大；＞0，極小。法三：(n階判別法)：若f'(xo)=二階導(xo)=…=n-1階導(xo)=0，且n階導不為0，若n為偶數(shù)，且n階導>0，極小，反之，極大；若n為奇數(shù)，n階導不等于0，則(xo，f(xo)為拐點，xo不是極值點。證明：略
6.參數(shù)方程二階導問題(無數(shù)不懂事的孩子搞不清楚)，我們說一般地，y''表示對x的二階導數(shù)，不是對參數(shù)t的二階導數(shù)。y''=d^2y/dx^2=[d(dy/dx)]/dx，對于求dy/dx，我們采用求關(guān)于t的y’(t)，和關(guān)于t的x'(t)，因為dy/dx=(dy/dt)×(dt/dx)=y'(t)/x‘(t)。舉例：已知y=cost，x=t^2，那么求dy/dx，d^2y/dx^2。標準解答：1：y'(t)=-sint，x'(t)=2t，所以dy/dx=-sint/2t；2：d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx=｛d[(-sint)/2t]｝/dt * (dt/dx)=(-tcost+sint)/(4t^3) ………★綜上：二階導是一個整體記號，不是簡單的除法。
7.等價無窮小只能使用于乘除(題外：其實它可以使用于加減的，這里不說，以防混淆)。比如：初學者可能會認為這個極限為0，lim(x趨向0)(tanx-sinx)/x^3=0[計算思路：(x-x)/x^3=0]，事實上它等于1/2.原因：提取tanx后等價無窮小。等價無窮小必須自己去背的，沒有人可以幫你。
8.對隱函數(shù)求導的問題很多同學搞不清楚。錯誤一：把變量當做常量。比如：y=x^x，標準解答lny=xlnx，兩邊對x求導，y'/y=1+lnx，所以y'=(x^x)(1+lnx)。錯誤做法：y=x^x，y'=x(x^(x-1))=x^x。(但愿你們找到了錯誤在哪)，錯誤二：搞不清楚對x求導是什么意思。當然：y=x^2求導大家都會吧，y'=2x，當出現(xiàn)對y^2=x^2，很多同學就迷茫了，我們說y是x的函數(shù)，所以最后必須乘y'，對y^2=x^2求導，得到：2yy'=2x.再則：對隱函數(shù)求導我們把其中一個看成常量，比如y=yx+x^2，那么求導：y'=y+y'x+2x?！锞C上：對隱函數(shù)求導，若是單獨y，求導為y'，一切關(guān)于y的函數(shù)(比如y^2，lny，a^y等)，先對這個函數(shù)求導再乘y'.
9.函數(shù)在某點可導的本質(zhì)僅僅是該點的問題，與它的鄰域無關(guān)，也就是說點可導，在中心點的去心鄰域內(nèi)的點未必可導。比如函數(shù)f(x)=0 當x是有理數(shù)。
f(x)=x^2 當 x是無理數(shù)。
只在x=0處點連續(xù)，并可導。按定義可驗證在x=0處導數(shù)為0.
10.無窮小×有界=無窮小，但是：無窮大×有界未必等于無窮大。正確結(jié)論：無窮大×有界=未知，比如：當x趨向正無窮，x，x^2始終為無窮大，而1/x，1/x^2為有界量。 注意到：x*(1/x^2)=1/x就是一個無窮小,而x^2*(1/x)=x卻是無窮大,而x*(1/x)=1卻是有限的。
11.可導與連續(xù)是完全不一樣的。有些同學看到題目說某個分段函數(shù)在某點xo連續(xù)，特別開心，他說易得：左導=右導=f(xo)，你太天真了。其實：連續(xù)是說左極限=右極限=f(xo)，可導是：lim(x->xo)f(x)=f(xo)，且左導=右導。請搞清楚你要處理的問題。不要學了一個學期都是云里霧里，當然一學期沒上過一節(jié)課的同學，除外。補充：在一元函數(shù)微分學中，可導必然連續(xù)，連續(xù)未必可導(這個顯然嘛，y=|x|在x=0處連續(xù)但是不可導)。
12.很多初學者認為：∫(a到x)f(t)dt中，變量是t，這是錯的，你忽略了變限積分的來歷，自己去回顧一下變限積分的來歷是大有裨益的。記?。哼@里x是變量，它求導=f(x)。
13.還有人問為什么高等數(shù)學中分母可以為0，他說比如0/0不是以0為分母，他的錯誤在于沒有搞清楚我們所說的0不是真正的初等數(shù)學中的數(shù)字0，它表示極限0，由于極限等于0，我們習慣稱為0/0形式。也就是說：若沒有l(wèi)im這個符號，0/0沒有意義。事實上：再比如：貨真價實的數(shù)字1，1^無窮 =1，若是(極限1)^無窮，則結(jié)果待定?！铩铩锔叩葦?shù)學中由于極限的四則運算包括冪指數(shù)運算無法解決形如：0/0，1^無窮，無窮/無窮，等等7類運算。為此，產(chǎn)生了7種特殊的式子：不定式。由于結(jié)果不確定，所以稱之為不定式?！艟C上：我們現(xiàn)在學的是高等數(shù)學，幾乎所有問題都是放在極限這個概念下討論，但是你不能拋棄原有的初等數(shù)學知識理論，并且注意區(qū)分。
14.求數(shù)列極限不可直接使用洛必達，數(shù)列是整標函數(shù)，每個孤立點不連續(xù)，不可導，故不符合洛必達的條件1，為此：正確做法：先令n為x，再使用洛必達，最后換為n.
15. 無窮大的倒數(shù)是無窮小，無窮小的倒數(shù)是無窮大[但是請注意：這里的無窮小除去了0。
16.x趨向0，limsinx/x=1不可以使用洛必達法則證明，原因：(sinx)‘=cosx這個公式的證明使用了limsinx/x=1，所以犯了循環(huán)論證的錯誤～
17.關(guān)于洛必達法則的運用條件絕非0/0，無窮/無窮那么簡單。洛必達的3個條件：
（1）x→a時， lim f(x)=0,lim F(x)=0;
?。?）在點a的某 去心鄰域 內(nèi)f(x）與F(x）都可導，且F(x）的 導數(shù) 不等于0;
?。?） x→a時， lim( f'(x)/F'(x) ）存在或為 無窮大
則 x→a時，lim( f(x) / F(x))=lim( f'(x)/F'(x) ) ，◆◆◆請注意：1，第三點很容易被忽略，一般地：含有l(wèi)im(x趨向無窮)sinx，或者cosx，是不會采用洛必達的；2，在解含有抽象函數(shù)f(x)時尤其注意第二點，在求最后一步導時我們使用的是導數(shù)定義，也就是你不能不停地洛必達直到把它洛出來，因為你不確定它最后一步時是否滿足第二個條件，所以每次做含有抽象函數(shù)的題使用洛必達＋最后一步使用導數(shù)定義！3，單側(cè)極限對于第二點的要求只是去心鄰域內(nèi)單側(cè)可導。(如果你不注意以上這些，雖然在平常考試時有些老師不在意，但是如果你考研的話是會扣一半分以上的)
18.一般地：我們有以下結(jié)論：lim(x趨向xo)f(x)=a，則必然有l(wèi)im(x趨向xo)|f(x)|=|a|。注意：★若a不為0，上述結(jié)論的逆命題未必成立[大多是不成立的]，若a=0，上述結(jié)論逆命題仍然成立！
19.并不是所有二元函數(shù)極限都可以使用極坐標求解[盡管極坐標是一個好方法]。在使用極坐標時，應該同時注意到：θ和ρ的任意性。比如：(x，y)趨向(0，0)，求lim(xy)/(x y)，容易證明該極限不存在(一條路徑：y=x，另一條：y=x^2-x)，倘若使用極坐標，則得：limρ(cosθsinθ)/(cosθ＋sinθ)，此時有分母出現(xiàn)0的可能(取θ=45度)，因此不確定該極限是否存在，本法失效，或者說：你無法證明(cosθsinθ)/(cosθ＋sinθ)有界。綜上：倘若使用極坐標，須同時考慮θ，ρ的任意性，不可盲目使用。
20. 注意僅當y=f(x)時有：y'=f'(x)。若y=f(■)，■不等于x時，y'不等于f'(■)。比如：y=f(x^2)，y'=f'(x^2)2x，而不是等于f'(x^2)。下面說明f'(■)和[f(■)]’的區(qū)別：f'(■)表示已知f'(x)的表達式，并且把■當做x代入，這個過程是代值過程；而[f(■)]‘的意思是求導，至于對誰求導，則根據(jù)■確定。注意：僅當■=x時，f'(■)=[f(■)]’，即：f'(x)=[f(x)]’，其他情況沒有這個式子。綜上：[f(■)]’=f’(■)■’。
21.一元函數(shù)中說f(x)連續(xù)可導不是指f(x)既連續(xù)又可導，“連續(xù)可導”意思是說f(x)的導函數(shù)連續(xù)?！璸s：f(x)的導函數(shù)連續(xù)當然有f(x)既可導又連續(xù)，反之不然。
22.還有多少人不會三角函數(shù)中輔助角的兩個公式：asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+u)，其中u=arctan(b/a)，強制要求a>0；asinx+bcosx=√(a^2+b^2)cos(x+u)，其中u=arctan(-a/b)，強制要求b>0。 ………………………………………………………………■ps：為什么要強制要求？[以第一個為例，第二個同理]原因在于：我們既然采用了用u=arctan[b/a]來確定u的值，好處在于u在[-派/2，派/2]上是一一對應的(因為y=tanx在該范圍內(nèi)單調(diào))，事實上，u的范圍就是[-派/2，派/2]，由此我們再來看給出的公式：asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+u)，將右邊展開得：√(a^2+b^2)cosusinx+√(a^2+b^2)sinucosx，根據(jù)待定系數(shù)原則可得：cosu=a/√(a^2+b^2)，倘若我們不控制a>0，比如取a<0的話，那么cosu<0，顯然u的范圍已經(jīng)落在二三象限中去了，而我們規(guī)定u在[-派/2，派/2]，即一四象限，由此出現(xiàn)矛盾，所以a必須大于0，u的范圍才吻合公式左右。
23.有誰考慮過為什么要強制要求重積分中上限不小于下限？其實，原因很簡單。在于：dφ，dθ，dρ，dx，dy，dz，dr都是正數(shù)。
24.一個關(guān)于三角換元小疑問的研究與解答。我相信不止一個人考慮過這個問題。請看：求定積分I=∫[0，a]√[a^2-x^2]dx，當然可以用面積來做，這里為了說明疑問，不用面積做，而用三角換元做?！飼蠈Χǚe分換元法的說明是這樣的：設f(x)在[a,b]上連續(xù)，【當t從α變到β時，x=φ(t)要從φ(α)=a(單調(diào)地）變到φ(β)=b,這里不必要求φ(t)單調(diào)，即不必要求x=φ(t)有反函數(shù)存在】，但不允許x=φ(t)的取值變到區(qū)間[a,b]之外。此外，還要求φ(t)在[α,β]上具有連續(xù)的導數(shù)φ’(t)，這時，定積分的換元公式才成立?！觯汉唵握f就是滿足兩個條件，單值加連續(xù)導數(shù)?！鱿旅鎭碜霰绢}：令x=asint，則dx=acostdt， 【當x=0時，t取0，x=a時，t取：派/2】，對于這個【】里面的過程有些同學無法接受，[問題1]憑什么x=0，t要取0，為什么不可以取派或者別的使得式子成立的t？ [問題2]憑什么一定要上限>下限。 解答問題1：首先為了滿足單值，不可以取一個形如[派，5派/2]的區(qū)間去對應原來的[0，a]盡管相對于x
盡管相對x=asint來說不存在任何問題，但是你忽略了定積分換元的條件[單值]，在此區(qū)間[派，5派/2]內(nèi)x=asint不是單值的[意思是：令x=k，解得t不唯一]。所以不能取一個區(qū)間不滿足單值的。比如：你取一個[0，派/2]這樣的就是合適的，當然你取[派，派/2]這個也是對的，為什么請看證明？我們無疑地知道I=∫[0，a]√[a^2-x^2]dx=派a^2/4[用面積顯然]，下面通過計算來說明為什么取t屬于[派，派/2]也是正確的。I=∫[0，a]√[a^2-x^2]dx=∫[派到(派/2)]a|cost|costdt。[說明：這里開根號注意是絕對值]，由于此時t的范圍是[派，派/2]，所以cost<0，去絕對值時請注意這點，下面再用降冪公式易證答案正確。 ……………ps：你取任何一個單值區(qū)間滿足題意都是正確的 。只不過計算過程的問題。 …………………………… 解答問題2：事實[問題1]證明在換元時可以上限<下限。 ■：綜上：三角換元 可以取你想取的值，但是請注意使用條件以及計算的簡便化。 末了附注：本題中a>0
25.收斂級數(shù)加括號仍然收斂，發(fā)散級數(shù)加括號未知；正項級數(shù)斂散形不受加括號的影響。
高等數(shù)學重點題
教材：P21 4,10；P47 例五；P56 1；P58 例二；P59 1；P65 例二；P70 6
P72 例一；P74 總復習 2 習題1-10 2，3；P86 6；P87 13,14,15；P98 6,7,8,9,10,11；P103 1；P134 6 8 9 10；P138 例9 , 1；P154 12 P162 例7 ；P163 8 9 ；P164 15 16 ；P182 總復習 2 ；P198 例14 ；P207 2.（1）(6) （7）（11）（13）（24）（30）（32）（34）（41）（43） ；P209 例2 例3 例9 ；P213 1 6 24 ；P243 六（4）（5）（8） ；P247 例5 P251 例11 ；P253 一（8）（10）（18）（19）（20）（21）（22） ；P256 例1 例2 ；P258 例4 ；P260 一 （3）（7） ；P274 例1 例2 ；P278 例2 例7 ；P284 1 12
