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不等式與不等式組(1)  

一元一次不等式與一元一次不等式組的解法

——蘇灣中學　　王宏

本章內(nèi)容在中考中的考查方式主要是填空題、選擇題及解答題中與方程、函數(shù)有關問題中字母系數(shù)的取值范圍的確定．考查的重點是不等式的有關概念、性質(zhì)、一元一次不等式、一元一次不等式組的解法以及與日常相聯(lián)系的應用問題，在方程、函數(shù)的考查中，也常涉及不等式的知識．常結(jié)合轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、類比、分類討論思想方法.

一、教學目標:

    1.能夠根據(jù)具體問題中的大小關系了解不等式的意義和基本性質(zhì)．

    2.會解簡單的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集．會解由兩個一元一次不等式組成的不等式組，并會用數(shù)軸確定解集．

    3.會運用數(shù)形結(jié)合、分類等數(shù)學思想方法解決問題，會“逆向”地思考問題，靈活的解答問題.

二、教學重點：能熟練的解一元一次不等式與一元一次不等式組

三、教學難點：能熟練的解一元一次不等式(組)并體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學思想

四、教學過程

（一）知識梳理

1.知識結(jié)構(gòu)圖

2.知識點回顧

1．不等式

  用不等號連接起來的式子叫做不等式．

  常見的不等號有五種：  “≠”、  “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”．

2．不等式的解與解集

  不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解．

不等式的解集：一個含有未知數(shù)的不等式的解的全體，叫做不等式的解集．

不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀的表示出來，具體表示方法是先確定邊界點。解集包含邊界點，是實心圓點；不包含邊界點，則是空心圓圈；再確定方向：大向右，小向左。

    說明：不等式的解與一元一次方程的解是有區(qū)別的，不等式的解是不確定的，是一個范圍，而一元一次方程的解則是一個具體的數(shù)值．

3．不等式的基本性質(zhì)

  (1)不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式．不等號的方向不變．如果 ，那么

  (2)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變．如果 ，那么 （或 ）

 （3)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變．如果 那么 （或 ）

說明：任意兩個實數(shù)a、b的大小關系：①a-b>O a>b；②a-b=O a=b；③a-b<O a<b．

4．一元一次不等式

    只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1．系數(shù)不等于0的不等式叫做一元一次不等式．  

    注：一元一次不等式的一般形式是ax+b>O或ax+b<O(a≠O，a，b為已知數(shù))．  

5．解一元一次不等式的一般步驟

    解一元一次不等式的一般步驟： 

    (1)去分母；(2)去括號；(3)移項；  (4)合并同類項；(5)化系數(shù)為1．   

    說明：解一元一次不等式和解一元一次方程類似．不同的是：一元一次不等式兩邊同乘以(或除以)同一個負數(shù)時，不等號的方向必須改變，這是解不等式時最容易出錯的地方．   

6．一元一次不等式組

  含有相同未知數(shù)的幾個一元一次不等式所組成的不等式組，叫做一元一次不等式組．

    說明：判斷一個不等式組是一元一次不等式組需滿足兩個條件：①組成不等式組的每一個不等式必須是一元一次不等式，且未知數(shù)相同；②不等式組中不等式的個數(shù)至少是2個，也就是說，可以是2個、3個、4個或更多．  

7．一元一次不等式組的解集

    一元一次不等式組中，幾個不等式解集的公共部分．叫做這個一元一次不等式組的解集．

一元一次不等式組的解集通常利用數(shù)軸來確定．

8. 不等式組解集的確定方法，可以歸納為以下四種類型（設a>b）

9．解一元一次不等式組的步驟

    (1)分別求出不等式組中各個不等式的解集；

    (2)利用數(shù)軸求出這些解集的公共部分，即這個不等式組的解集．

    課堂練習(一)

1．根據(jù)下圖甲、乙所示，對a，b,c三種物體的重量判斷不正確的是  (    )

     A．a<c     B．a<b    C．a>c     D．b<c

2．關于 的某個不等式組的解集在數(shù)軸上可表示如下圖所示，

則原不等式組的解集是__________．

3．不等式組 的解集在數(shù)軸上表示正確的是    (    )

4.若 ,用“>”號或“<”號填空:

(1)  (2)  (3)  (4)

 5.下列各式一定成立的是（    ）

A.   B.   C.   D.  

（二）例題講解

【例1】解不等式：   

解:去分母得

   去括號得

移項得

合并同類項得

把系數(shù)化為1得

【例2】  解不等式組 并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

解:解不等式①得

解不等式②得

不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示為

∴原不等式組的解集是 .

【例3】  已知關于 的方程5 -2 =3 -6 +1的解滿足-3< ≤2，求 的整數(shù)值．

    解:由5 -2 =3 -6 +1可解得:

       ∵ ,∴ .

∴   ∴

∴ 的整數(shù)解為0、1

課堂練習(二)

6．求代數(shù)式3( +1)的值不小于5 -9的值的最大的整數(shù) ．

7．解不等式組 ，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．

課堂練習（三）

8.函數(shù) 的自變量 的取值范圍是_____________．

9.若關于 的一元二次方程 有兩個不相等的實數(shù)根，則 的取值范圍為______________.

10．如果關于 的不等式(a+1) >a+1的解集為 <l，那么a的取值范圍是(    )

    A．a>0   B．a<0  C．a>-1 D．a<-1

11．已知方程組 的解滿足 ，則(    )．

    A． >-1    B． >1    C． <-l   D. <1

12．已知關于 的不等式2 + >-5的解集如圖所示，則 的值為（     ）

A.1   B.0     C.-1     D.-2

13．三角形三邊長分別為3、 、8，求 的取值范圍

14.已知關于 的不等式組 無解，求 的取值范圍．

（三）課堂小結(jié)

1.在判斷不等式成立與否或由不等式變形求某些字母的范圍時，要認真觀察不等式的形式與不等號方向。

2.解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程的步驟大致相同，應注意的是：①等式兩邊所乘以（或除以）的數(shù)的正負，并根據(jù)不同情況靈活運用其性質(zhì)。②不等式組解集的確定方法。③一元一次不等式（組）常與分式、根式、方程、函數(shù)等知識聯(lián)系，解決綜合性問題。

3.求不等式（組）的特殊解

  不等式（組）的解往往是無數(shù)多個，但有時解在某些范圍內(nèi)是有限的，如整數(shù)解、非負整數(shù)解，要求這些特殊解，首先是確定不等式（組）的解集，然后再找到相應的答案。在這類題目中，要注意對數(shù)形結(jié)合思想的應用。

4.確定不等式（組）中字母的取值范圍

  已知求不等式（組）的解集，確定不等式（組）中字母的取值范圍，有以下幾種方法：（1）逆用不等式（組）的解集；（2）分類討論確定；（3）借助數(shù)軸確定。

（四）課后練習

1．已知一個等腰三角形的底邊長為5，這個等腰三角形的腰長為 ，則 的取值范圍是_____________．

2.在平面直角坐標系中，點A（ ， ）在第三象限，則 的取值范圍是 (     )．

A.   B.   C.   D.

3.若關于 的一元二次方程 的兩個實數(shù)根 ，且 ，則實數(shù)則 的取值范圍是(  )．

A.   B.   C.  D.

4．解不等式組：

5.求不等式組 的非負整數(shù)解．

6．求使方程組 的解 、 都是正數(shù)的 的取值范圍．

7．若關于 的不等式組 的解集為 ≤2，試求 的取值范圍．

8.你能求出三個不等式 ， ， 的解集的公共部分嗎？