關(guān)于函數(shù)的學(xué)習(xí)問題，一直以來都想寫一篇文章。
從高中的角度來看，的確有很多高一孩子在初中時(shí)對函數(shù)的理解不夠到位，以至于高一上學(xué)期學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)總是非常吃力，感覺這不是理解力的問題，畢竟學(xué)生也不是很差的孩子，似乎是之前在初中學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)就沒有形成一個(gè)正確的概念，甚至?xí)驗(yàn)橐恍┕逃械挠^念拖后腿。
這就會(huì)出現(xiàn)什么情況呢？
1、對特殊函數(shù)認(rèn)識(shí)上的困難
對函數(shù)的認(rèn)識(shí)過于片面，比如把解析式與函數(shù)劃等號(hào)，認(rèn)為函數(shù)就應(yīng)該有解析式，對于圖像、列表所表達(dá)的函數(shù)關(guān)系認(rèn)識(shí)模糊，對于分段函數(shù)、常數(shù)函數(shù)等特殊函數(shù)無法判別或者應(yīng)用。
2、不能區(qū)分函數(shù)的本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征
不能認(rèn)識(shí)到函數(shù)的本質(zhì)是對應(yīng)關(guān)系，而是糾結(jié)于函數(shù)的外在形式，比如認(rèn)為自變量必須是x，因變量（函數(shù)值）必須是y。
根據(jù)函數(shù)概念的定義，函數(shù)的本質(zhì)特征是變量間的對應(yīng)關(guān)系，一個(gè)自變量 x 有唯一的 y 與之對應(yīng)。
判斷一個(gè)數(shù)學(xué)對象是否具有函數(shù)關(guān)系主要看它是否具有此本質(zhì)特征。
但是許多學(xué)生在判斷時(shí)，經(jīng)常用函數(shù)的非本質(zhì)特征作為判斷的依據(jù)：
比如會(huì)認(rèn)為圖像連續(xù)是函數(shù)的本質(zhì)特征，離散的點(diǎn)構(gòu)成的圖像不表示函數(shù)，因?yàn)樗膱D像不連續(xù)；
比如教材中的大部分函數(shù)舉例都是有解析式的，于是學(xué)生認(rèn)為學(xué)過的表達(dá)式的特征是函數(shù)的本質(zhì)特征，認(rèn)為沒學(xué)過的函數(shù)解析式就不表示函數(shù)。、
3、對函數(shù)的理解和認(rèn)識(shí)依賴于學(xué)過的基本初等函數(shù)
只認(rèn)為自己學(xué)過的一元一次、一元二次、反比例等函數(shù)為函數(shù)，其他形式則認(rèn)為非函數(shù)。
認(rèn)為只有直線、拋物線、雙曲線表示的是函數(shù)，其他圖形表示的就不是函數(shù)。
4、對方程與函數(shù)認(rèn)識(shí)不到位
在判定關(guān)系式時(shí)，如果以方程的形式出現(xiàn)，變量 x ，y 沒有分離，確切地說不是用 x
表示 y 的表達(dá)式，學(xué)生認(rèn)為此關(guān)系式就不是函數(shù)，而是方程。
5、對變量的錯(cuò)誤理解
比如過于強(qiáng)調(diào)形式，認(rèn)為解析式中變量必須用 x ， y 表示，解析式中出現(xiàn)別的變量就不表示函數(shù)關(guān)系。
比如對自變量和因變量的關(guān)系的誤解，在給出的符號(hào)關(guān)系中，學(xué)生只認(rèn)為 x 是自變量，y 是因變量， y 是 x 的函數(shù)。
比如只識(shí)別顯現(xiàn)變量表示的函數(shù)關(guān)系，對符號(hào)關(guān)系式中既有自變量也有因變量的情況容易識(shí)別，如果是常數(shù)函數(shù)就不太好判斷。
6、過于強(qiáng)調(diào)規(guī)律性
無論是解析式還是表格給出的對象，若 x ， y 的值之間對應(yīng)有規(guī)律，一定具有函數(shù)關(guān)系，若無規(guī)律，就不具有函數(shù)關(guān)系。
7、函數(shù)圖像理解與繪制上的困難
在繪制圖像時(shí)，尤其是圖像變換時(shí)，很難畫到位，尤其是關(guān)鍵點(diǎn)、區(qū)間等要素容易顧此失彼。
與 x 軸垂直的直線、離散的點(diǎn)、分段圖像、折線、曲線等運(yùn)用函數(shù)概念判斷比較困難，熟悉的圖像如拋物線等的判斷比較容易，其實(shí)并不是依據(jù)函數(shù)概念的本質(zhì)屬性，而是依據(jù)他們的經(jīng)驗(yàn)。
孩子們尤其是到了高中學(xué)不好函數(shù)，其根源究竟在哪里？
首先是函數(shù)概念本身的復(fù)雜性。
相較于其他概念，函數(shù)的概念包含的要素較多，如定義域、值域、對應(yīng)、關(guān)系、自變量、因變量、常數(shù)、函數(shù)的符號(hào)式、函數(shù)的圖像、最大（?。┲?、極大（?。┲?、零點(diǎn)等。
還有各種各樣的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、反函數(shù)、連續(xù)函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇（偶）函數(shù)、周期函數(shù)等。
同時(shí)函數(shù)概念具有多個(gè)層面，比如函數(shù)的表現(xiàn)方式，既有解析式，又有列表，還包括圖像；再比如函數(shù)的概念，既有初中的運(yùn)動(dòng)過程觀點(diǎn)，又有高中的靜態(tài)對應(yīng)觀點(diǎn)；還有學(xué)生對于函數(shù)的認(rèn)識(shí)，從簡單的代值計(jì)算，到將函數(shù)看成是一個(gè)單獨(dú)的對象，也可以劃分出許多層面。
這就導(dǎo)致學(xué)生在認(rèn)識(shí)“函數(shù)”這個(gè)概念時(shí)，會(huì)遇到各種問題，很難有一個(gè)簡單直接的概括。
其次是函數(shù)的抽象性。
雖然數(shù)學(xué)概念都具有抽象性，但函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)概念最抽象的一個(gè)。
從歷史的角度來看，函數(shù)概念從描述數(shù)量依賴關(guān)系的一種方法，逐步演化為一般化的抽象數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，甚至“推廣到失去實(shí)在性”。
而教育心理學(xué)研究表明，學(xué)生對抽象概念的學(xué)習(xí)必須借助于一定的經(jīng)驗(yàn)，通過特殊實(shí)例的分析，抽象出概念的本質(zhì)屬性，再推廣到一般的概念中去。
由于函數(shù)往往用解析式符號(hào)表示，這就造成學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)過渡到函數(shù)概念很困難，而數(shù)學(xué)符號(hào)形式化的特征使學(xué)生對函數(shù)概念的理解就更加困難。
再次，初高中函數(shù)教學(xué)內(nèi)容的不連續(xù)。
初高中函數(shù)的內(nèi)容是有一定區(qū)別的，不僅僅是函數(shù)概念的不同，研究方法和對象也存在著一定區(qū)別，這就導(dǎo)致學(xué)生在初中學(xué)習(xí)函數(shù)概念的過程中，容易形成一些錯(cuò)誤的固有觀念，也不適應(yīng)高中函數(shù)的教學(xué)以及學(xué)習(xí)。
再再次，學(xué)生的認(rèn)知水平發(fā)展。
學(xué)生的認(rèn)知水平發(fā)展會(huì)影響到其對函數(shù)概念的認(rèn)知，有一個(gè)調(diào)查表明：
從總體上說，隨著年級的增長，初中生對函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)水平在逐漸提高。
7、8 年級的學(xué)生對函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)沒有顯著差異，但與 9 年級學(xué)生有顯著差異，9 年級的學(xué)生對函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)水平明顯高于 7、8 年級。
大部分初中生對函數(shù)的認(rèn)識(shí)在運(yùn)算階段和符號(hào)階段，部分同學(xué)達(dá)到綜合認(rèn)識(shí)階段有一定的困難，還不能用運(yùn)動(dòng)、變化、聯(lián)系的辯證觀點(diǎn)來理解函數(shù)概念。
史寧中教授將初中生對函數(shù)概念的認(rèn)知?jiǎng)澐譃槿齻€(gè)水平：
層次 1：運(yùn)算階段——指出與自變量對應(yīng)的函數(shù)值或與函數(shù)值對應(yīng)的自變量；
層次 2：符號(hào)階段——對于用不同背景給出的函數(shù)問題，運(yùn)用不同的表示方法表示變量間的函數(shù)關(guān)系；
層次 3：綜合階段——運(yùn)用函數(shù)概念對函數(shù)進(jìn)行判斷與解釋，舉出正例與反例。
但實(shí)際上，大部分學(xué)生都停留在層次一和層次二上，除了之前所說的原因之外，這其實(shí)也和初中函數(shù)教學(xué)、考察方式有一定關(guān)系——看上去是貼合初中生認(rèn)知規(guī)律，過多的與幾何結(jié)合，讓初中函數(shù)教學(xué)幾乎成了解析幾何教學(xué)，而忽視了研究函數(shù)本身。
以至于學(xué)生到了高中，仍然拿初中函數(shù)的觀點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)對待高中函數(shù)，自然南轅北轍了。
如何解決這些問題？對于新高一孩子來說，為時(shí)未晚。
重頭做起，摒棄自己初中時(shí)所形成的一些錯(cuò)誤觀念，認(rèn)真的去學(xué)習(xí)高中函數(shù)概念，多接觸研究函數(shù)不同的形式與性質(zhì)，這一切在暑假還來得及。
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