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重慶市第八中學(xué)高2022屆高三下第6次月考第16題：三角函數(shù)的最值

2022.04.02

說起應(yīng)用題，曾經(jīng)的江蘇高考發(fā)揮到了極致。函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、基本不等式、立體幾何、直線與圓等等，什么都能考，什么都能應(yīng)用。全國卷在這方面要遜色不少，這就給許多人一個錯覺——全國卷不考應(yīng)用題。于是出現(xiàn)一種奇怪的現(xiàn)象——應(yīng)用題不講，但凡涉及到就直接繞過。

事實上，應(yīng)用題在全國卷中從未缺席，現(xiàn)在它有了一個好聽的名字，叫“數(shù)學(xué)文化”。我沒去考證二者的區(qū)別，看到文字?jǐn)⑹龆嗟亩細(xì)w為此類。像作文似的長篇大論令人暈頭轉(zhuǎn)向，尤其以概率統(tǒng)計為最。

2022屆重慶八中高三下第6次月考的16題，這算不算應(yīng)用題？按照教材的要求，這可視為“導(dǎo)數(shù)在生活中的優(yōu)化”，理所當(dāng)然是應(yīng)用題。然而，這個概念對解題有關(guān)系嗎？誰會在乎那些無關(guān)緊要的話？好像，是的。

不過不要忘了，如果是生活中的優(yōu)化，那么函數(shù)往往只有唯一的極值，而這個唯一的極值就是最值。

應(yīng)用題多了“翻譯”這個步驟，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，這就是“數(shù)學(xué)建?！?。剩下的與普通題毫無二致，該怎么做還怎么做。對應(yīng)用題而言，翻譯無疑是最難的，這涉及到如何設(shè)元，如何建參，以及如何構(gòu)建目標(biāo)。一旦突破這關(guān)，下面便可勢如破竹。

導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)的工具，所以無論什么時候，導(dǎo)數(shù)都應(yīng)當(dāng)作為首選。這道題并非無源之水，無本之木，而是2018年全國1卷第16題（見文末）的仿制，連函數(shù)都沒變。

現(xiàn)在你明白真題的價值了吧。

法2和法3都是構(gòu)造“三元均值不等式”，差別只是對象不同。將函數(shù)轉(zhuǎn)化為求積的最大值，所以目標(biāo)就是在均值不等式中構(gòu)造和的定值。所謂構(gòu)造，就是變形、湊項和湊系數(shù)。

注意取等的條件。應(yīng)用題有個特點，就是極值點一般都是唯一的，所以小題中可以直接略過檢驗。

法4的構(gòu)思極其精巧，在小題中堪稱秒殺。這里用到了一個結(jié)論——圓內(nèi)接三角形中，正三角形的面積最大。這個看似簡單的結(jié)論，證明卻并不容易。他需要用到均值不等式，還需要借助琴生不等式。

既然這樣，不如直接使用琴生不等式來得痛快，這便是法5的思路。

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