微積分學(xué)創(chuàng)立者牛頓

微積分學(xué)創(chuàng)立者萊布尼茨

數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

微積分的基礎(chǔ)公式：牛頓-萊布尼茨公式

微積分是研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，也是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。

通俗地講，微積分是一種數(shù)學(xué)思想，“無限細(xì)分”就是微分，“無限求和”就是積分。無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎(chǔ)，它是用一種運(yùn)動(dòng)的思想看待問題。

有人曾做過比喻，如果將整個(gè)數(shù)學(xué)比作一棵大樹，那么初等數(shù)學(xué)是樹的根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。初等數(shù)學(xué)所面臨的不規(guī)則性問題，如任意形狀的面積、體積都是無法計(jì)算的。變化力、加速度、速度、位移之間的一般關(guān)系；溫度變化與熱量的傳輸；變化的力做功；帶電體周圍的電場(chǎng)強(qiáng)度分布、電勢(shì)分布；轉(zhuǎn)動(dòng)物體的質(zhì)量分布對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的影響……要有效解決這些問題，必須用微積分的方法。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。

數(shù)學(xué)家卡瓦列里、巴斯卡曾初步研究過微積分，科學(xué)家牛頓和萊布尼茨則創(chuàng)立了微積分。微積分學(xué)的建立，對(duì)現(xiàn)代科學(xué)產(chǎn)生了巨大的影響。偉大的革命導(dǎo)師馬克思和恩格斯都非常重視微積分的創(chuàng)建。恩格斯曾這樣贊譽(yù)：“在一切理論成就中，未必再有什么像十七世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣看作人類精神的最高勝利了?！?/font>

第一，微積分學(xué)促使一些主要教學(xué)新分支的誕生，并與之混合有了新的作用。例如，混合線性代數(shù)來求得值域中一組數(shù)列的“最佳”線性近似。微積分用在概率論中來確定由假設(shè)密度方程產(chǎn)生的連續(xù)隨機(jī)變量的概率。在解析幾何對(duì)方程圖像的研究中，微積分可以求得最大值、最小值、斜率、凹度、拐點(diǎn)等。格林公式連接了一個(gè)封閉曲線上的線積分與一個(gè)邊界為C且平面區(qū)域?yàn)镈的雙重積分，被設(shè)計(jì)為求積儀工具，用以量度不規(guī)則的平面面積。例如：它可以在設(shè)計(jì)時(shí)計(jì)算不規(guī)則的花瓣床、游泳池的面積。

牛頓提出微積分后，遭到了許多人的猛烈抨擊。牛頓毫無所動(dòng)，繼承和總結(jié)了先輩們的思想，作出了自己獨(dú)到的建樹。他把自己的發(fā)現(xiàn)稱為“流數(shù)術(shù)”，稱連續(xù)變化的量為流動(dòng)量，無限小的時(shí)間間隔為瞬，而流量的速度稱為流動(dòng)率或流數(shù)。牛頓的“流數(shù)術(shù)”就是以流量、流數(shù)和瞬為基本概念的微分。微分誕生后，科學(xué)家們就致力于這些分支的發(fā)展。1734年,貝克萊出版了《分析學(xué)家：致不信神數(shù)學(xué)家》的論文，此文審查了近代分析學(xué)的對(duì)象、原則及論斷是不是比宗教的神秘，為微積分的分支發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

第二，微積分學(xué)的建立，使數(shù)學(xué)進(jìn)入“變量數(shù)學(xué)”時(shí)代。隨著社會(huì)的進(jìn)步和生產(chǎn)力的發(fā)展，以及如航海、天文、礦山建設(shè)等許多課題要解決，數(shù)學(xué)也開始研究變化著的量。這種變化量的研究，使微積分完善成為一門基礎(chǔ)學(xué)科。

由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運(yùn)用的加深，也由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，一門新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學(xué)。微積分學(xué)是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學(xué)中的最大的一個(gè)創(chuàng)造。

第三，微積分學(xué)的建立，對(duì)數(shù)學(xué)自身改造起了導(dǎo)向性作用。英國近代生物化學(xué)家李約瑟博士認(rèn)為，數(shù)學(xué)本身總要改造的，必須使數(shù)學(xué)本質(zhì)更接近于物理學(xué)，服從于運(yùn)動(dòng)，不是從它的“現(xiàn)在”，而是從它的“變化”或“流動(dòng)”來看問題，微積分就是這種改造運(yùn)動(dòng)的最高成就。

微積分出現(xiàn)以后，逐漸顯示出它非凡的威力,過去許多數(shù)學(xué)家束手無策的問題,至此迎刃而解。恩格斯指出:“只有微分學(xué)才能使自然科學(xué)有可能用數(shù)學(xué)來不僅表明狀態(tài)，并且也表明過程：運(yùn)動(dòng)?！?/font>

第四，微積分學(xué)的建立，推動(dòng)了其它學(xué)科的發(fā)展。微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的，最初牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程為了從萬有引力定律導(dǎo)出了開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律。微積分學(xué)的發(fā)展與應(yīng)用幾乎影響了現(xiàn)代生活的所有領(lǐng)域。它與大部分科學(xué)分支關(guān)系密切，包括醫(yī)藥、護(hù)理、工業(yè)工程、商業(yè)管理、精算、計(jì)算機(jī)、統(tǒng)計(jì)、人口統(tǒng)計(jì)。

物理學(xué)大量應(yīng)用微積分：經(jīng)典力學(xué)、熱傳和電磁學(xué)都與微積分有密切聯(lián)系。已知密度的物體質(zhì)量，動(dòng)摩擦力，保守力場(chǎng)的總能量都可用微積分來計(jì)算。生物學(xué)用微積分來計(jì)算種群動(dòng)態(tài)，輸入繁殖和死亡率來模擬種群改變?；瘜W(xué)使用微積分來計(jì)算反應(yīng)速率，放射性衰退。

在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，微積分可以計(jì)算血管最優(yōu)支角，將血流最大化。通過藥物在體內(nèi)的衰退數(shù)據(jù)，微積分可以推導(dǎo)出服用量。在核醫(yī)學(xué)中，它可以為治療腫瘤建立放射輸送模型。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，微積分可以通過計(jì)算邊際成本和邊際利潤來確定最大收益。

同樣，微積分學(xué)對(duì)哲學(xué)也起了巨大的推動(dòng)作用。數(shù)學(xué)和哲學(xué)作為兩門最古老的學(xué)科，從古至今二者都是相互滲透的。從微積分的誕生形成到今天的發(fā)展過程中，都充分印證了唯物主義方法論和極限層次的思想，且微積分傳統(tǒng)的思想方法中反映出的對(duì)立統(tǒng)一、量變與質(zhì)變、否定之否定等思想也正是哲學(xué)中三大辯證法的體現(xiàn)。

微積分學(xué)對(duì)現(xiàn)代科學(xué)產(chǎn)生的影響，用英國著名詩人雪萊的作品形容最為恰當(dāng)：

一片一片的雪花，

經(jīng)過暴風(fēng)的再三篩選，

積成巨大的雪團(tuán)，

它在陽光的激發(fā)下，

形成雪崩。

思想也是這樣：

一點(diǎn)一滴地積累在

不怕上帝的人心中，

終于迸發(fā)出偉大的真理，

在萬國引起回響。