前段時(shí)間，博雅小學(xué)堂邀請(qǐng)首都師范大學(xué)的王永暉教授做了一場(chǎng)線下的講座。本來(lái)預(yù)計(jì)2個(gè)小時(shí)的講座，王教授持續(xù)了6個(gè)小時(shí)。我們相信，這次講座一定會(huì)給家長(zhǎng)一些思考，并慢慢沉積，形成對(duì)自己孩子最有利的東西。
今天的文章，是按照我們的理解對(duì)此次講座進(jìn)行的整理。文末將附上此次講座實(shí)錄，希望對(duì)各位家長(zhǎng)有幫助。
| 王永暉 1998年山東大學(xué)數(shù)學(xué)系博士畢業(yè)，首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)系教授博士生導(dǎo)師，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)解析數(shù)論與自守表示方向，國(guó)家自然科學(xué)基金主持人，973項(xiàng)目科技骨干。 |
王永暉：雖然我自己可能不算優(yōu)秀，但是我接觸了很多真正優(yōu)秀的人，我相信現(xiàn)在大部分關(guān)心教育的家長(zhǎng)也非常優(yōu)秀，所以知道優(yōu)秀應(yīng)該是什么樣子。所以我們?cè)谔剿骱⒆咏逃矫婢椭酪玫姆较蛞龑?dǎo)。但是家長(zhǎng)們可能對(duì)某一科學(xué)領(lǐng)域不是特別了解，所以在引領(lǐng)孩子時(shí)無(wú)所適從。我希望可以給大家提供一些思路，至少讓孩子不要被帶歪教笨。
01
給孩子探索數(shù)學(xué)的時(shí)間
王教授的同事兼好友李克正教授曾經(jīng)表示，如果一個(gè)人數(shù)數(shù)這一關(guān)沒(méi)有過(guò)好，那么他將注定是個(gè)數(shù)學(xué)盲。雖然這句話可能有些過(guò)于偏激，但王教授也贊同，要給孩子足夠的時(shí)間學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)。據(jù)觀察，一個(gè)孩子真正學(xué)會(huì)數(shù)數(shù)，至少要經(jīng)過(guò)兩年，這個(gè)學(xué)會(huì)，不是背誦、記憶，是真的激發(fā)了數(shù)學(xué)的思考學(xué)會(huì)的。
王教授的兒子上一年級(jí)時(shí)，提出了一個(gè)問(wèn)題，世界上最大的數(shù)是多少？他認(rèn)為這是一個(gè)非常好的問(wèn)題，有的家長(zhǎng)會(huì)說(shuō)，無(wú)窮大，但是無(wú)窮大并不是一個(gè)數(shù)。真正的答案是，沒(méi)有。因?yàn)榧偃缬幸粋€(gè)最大的數(shù)，那么加一，就不是最大了。如果直接告訴孩子，一分鐘就夠了，但他們花了2年時(shí)間來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。王教授認(rèn)為，這個(gè)過(guò)程中，孩子不斷地思考總結(jié)推翻，那么收獲的，絕不只是一個(gè)答案那么簡(jiǎn)單。
有家長(zhǎng)說(shuō)，她的孩子6歲，問(wèn)了一個(gè)問(wèn)題，6個(gè)9乘以5個(gè)9是多少？在沒(méi)有教乘法口訣這些之前，怎么解決呢？王教授認(rèn)為，完全可以交給孩子自己去解決，也許兩年還沒(méi)有得到正確答案，但是這個(gè)過(guò)程的滋養(yǎng)，對(duì)孩子非常重要。
王教授的兒子6歲時(shí)，會(huì)計(jì)算10以內(nèi)的加法了，有一次讓他計(jì)算90+20，父子倆坐在波蘭一個(gè)城堡門(mén)口，孩子用數(shù)手指的辦法算了2個(gè)小時(shí)，父親就陪了兩個(gè)小時(shí)，教授說(shuō)：當(dāng)然這里有一個(gè)物質(zhì)誘惑，因?yàn)樗芟ＭI(mǎi)一把城堡里賣的弓箭，我說(shuō)做出這個(gè)就可以。孩子真的就堅(jiān)持了兩個(gè)小時(shí)，最后解決了問(wèn)題。（小編按：所以父母的陪伴和鼓勵(lì)就顯得格外重要，無(wú)論是解決最大數(shù)的問(wèn)題，還是6個(gè)9乘以5個(gè)9，我想，絕不只是讓孩子在那里枯坐干想，父母的耐心和陪伴和稍加引導(dǎo)都是必不可少的因素。）
02
家庭規(guī)則與邏輯關(guān)系
博雅小學(xué)堂轉(zhuǎn)發(fā)過(guò)王教授的一篇博文《幼小數(shù)學(xué)教育的真功夫》，文中提到了家庭規(guī)則對(duì)于低幼兒童建立邏輯關(guān)系的重要性。大家可以想象一下，一個(gè)家庭規(guī)則混亂的家庭，孩子的邏輯關(guān)系通常也是混亂的。
基于此，王教授做一個(gè)矩陣：
最后發(fā)現(xiàn)，其實(shí)只有一種情況是合理的，也就是只有四分之一。這既是數(shù)學(xué)，也是道德。
那么其實(shí)，可以把這個(gè)矩陣改一下：
這種情況下，合理的情況增加了，變成了九分之四。
03
概念引入
數(shù)學(xué)中的有些概念，是孩子不可能靠自己研究出來(lái)的，比如十進(jìn)制。假如我們生活在一個(gè)六指人的社會(huì)，沒(méi)準(zhǔn)我們就是12進(jìn)制。所以數(shù)學(xué)的一些基本概念，是需要教給孩子的，比如數(shù)學(xué)符號(hào)、十進(jìn)制、減法就是加法的逆運(yùn)算、除法就是乘法的逆運(yùn)算。
王教授說(shuō)：在陪兒子學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)的過(guò)程中，一路從幼兒園走回家，就會(huì)撿石子，在這點(diǎn)上，我贊同華德福的看法，充分的利用自然中的東西，而不是蒙氏的沒(méi)有生命的教具。每數(shù)十個(gè)小石子，就會(huì)用一顆中石子代替，繼續(xù)數(shù)，知道有十顆中石子，就用一顆大石子代替。這個(gè)過(guò)程反復(fù)進(jìn)行，孩子慢慢就理解了十進(jìn)制。
04
用身體學(xué)數(shù)學(xué)
在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，利用我們的身體是非常有益的嘗試。比如拍手?jǐn)?shù)數(shù)；比如小孩子小時(shí)候上樓梯，家長(zhǎng)一邊上一邊數(shù)樓梯數(shù)；比如小朋友剛開(kāi)始學(xué)加法會(huì)數(shù)手指，都是非常好的例子。
王教授在他籌建的小教室還使用了另一個(gè)方法，捏手。小朋友手交叉，另一個(gè)人先在他左手捏7下，再在右手捏8下，小朋友就馬上知道下一個(gè)數(shù)是9。大人反倒會(huì)有點(diǎn)迷糊。
我們知道，學(xué)習(xí)過(guò)程中更多的用到了我們的視覺(jué)和聽(tīng)覺(jué)，那么用身體學(xué)習(xí)，就又調(diào)動(dòng)了觸覺(jué)。大腦得到更多的刺激，教授認(rèn)為這一定是有益無(wú)害的。
05
日常練習(xí)
有了概念引入和學(xué)習(xí)，余下的日常練習(xí)就變得很重要。這個(gè)日常練習(xí)也許很簡(jiǎn)單，耗時(shí)也很短，但是這就像澆灌小樹(shù)苗，每天一杯水，才可以讓小樹(shù)苗茁壯成長(zhǎng)。
王教授建議的日常練習(xí)主要有兩個(gè)，一個(gè)是背誦九九乘法表，一個(gè)是做百格計(jì)算。人的大腦是有不同的分區(qū)和職責(zé)的。這兩個(gè)簡(jiǎn)單的練習(xí)會(huì)刺激到我們大腦的數(shù)學(xué)區(qū)域，持續(xù)做這兩個(gè)看似簡(jiǎn)單的工作，每天大概就10到20分鐘，比解決奧數(shù)問(wèn)題帶來(lái)的刺激還要有效。
背誦九九乘法表需要注意，是不是真的刺激到了數(shù)學(xué)區(qū)域，而不要變成機(jī)械的背誦，變成了背古詩(shī)。有一個(gè)方法可以驗(yàn)證，就是突然提出一個(gè)除法，低年級(jí)就可以提一個(gè)整除的問(wèn)題，學(xué)了有余除法，可以提個(gè)復(fù)雜點(diǎn)的，比如14除以4。如果當(dāng)時(shí)愣住了，大概就停在單純的背誦了。
百格計(jì)算，是日本人陰山英男提倡的方法。示例：
與平時(shí)的口算練習(xí)稍有不同的是，在找到對(duì)應(yīng)格子的過(guò)程中，訓(xùn)練了視覺(jué)。但是如果孩子的學(xué)校已經(jīng)很重視口算了，已經(jīng)有類似的訓(xùn)練，那么就不需要再額外進(jìn)行了。
做百格計(jì)算，可以家長(zhǎng)自己打印好空白的格子，孩子自己填數(shù)字。填數(shù)字的過(guò)程還可以有另一個(gè)方法：就是比如第一個(gè)格子填了12，后面每個(gè)格子的個(gè)位順勢(shì)+3，十位順勢(shì)-3。
因?yàn)?與10互逆，這樣得到的數(shù)字隨機(jī)性最大。
如果做乘法的百格，教授認(rèn)為做到兩位數(shù)乘以一位數(shù)就夠了。這個(gè)練習(xí)，他建議持續(xù)3年。
06
概念反芻
有了概念引入，日常練習(xí)，還需要有個(gè)概念反芻的過(guò)程。
目前有一套很好的關(guān)于數(shù)學(xué)的書(shū)《漢聲數(shù)學(xué)》。王教授建議的閱讀方式，是家長(zhǎng)自己看懂，然后慢慢地講給孩子，也許用一個(gè)月甚至更長(zhǎng)時(shí)間討論完一本書(shū)的內(nèi)容，而不是馬上給孩子看書(shū)，半個(gè)小時(shí)孩子就知道了答案。
而另一個(gè)用法，是高年級(jí)的孩子，用來(lái)做概念反芻。他已經(jīng)都學(xué)過(guò)了，回過(guò)頭來(lái)再看，也許理解和認(rèn)識(shí)又都有了不同。
關(guān)于概念反芻，小教室有個(gè)例子，在孩子3年級(jí)時(shí)做了一道題：200+300為什么等于500？
有些孩子就會(huì)重復(fù)老師的教法，2+3=5，后面再加上兩個(gè)0。這只是計(jì)算方法，而不是概念，不能解釋為什么。
有的孩子會(huì)想到，2個(gè)100+3個(gè)100=5個(gè)100。但是“個(gè)”不是一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)。一個(gè)數(shù)學(xué)公式中，只能出現(xiàn)數(shù)學(xué)符號(hào)。
最后孩子們跟老師一起得到：
2*100+3*100
=（2+3）*100
=5*100
這個(gè)過(guò)程，就是一個(gè)概念反芻的過(guò)程。
07
小教室的實(shí)踐
最后王教授給大家提供了一些在小教室做過(guò)的實(shí)踐，有些也許并沒(méi)有得到驗(yàn)證，但教授認(rèn)為這些實(shí)踐是有益的。
1矩陣
首先是前面說(shuō)的規(guī)則或者說(shuō)是道德矩陣。
還有一個(gè)問(wèn)題問(wèn)孩子：左手在上，平，下，有三個(gè)位置，右手也有三個(gè)位置，那么兩個(gè)手同時(shí)舉，會(huì)有幾種位置組合？大部分孩子一開(kāi)始會(huì)回答6種?？梢宰尯⒆臃磸?fù)去摸索琢磨這個(gè)問(wèn)題。
因?yàn)樾〗淌业暮⒆油瑫r(shí)學(xué)數(shù)學(xué)、武術(shù)和書(shū)法，實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，武術(shù)也藏著數(shù)學(xué)。比如五花炮（一種拳法），拳法就兩種劈拳和沖拳，加上前手和后手，就演變成4個(gè)動(dòng)作。
書(shū)法里，分先橫筆，后橫筆，先豎筆，后豎筆，也演變成4個(gè)筆法。小教室的書(shū)法老師聶老師認(rèn)為，書(shū)法的所有內(nèi)涵都包含在這4種筆法中。
借鑒華德福的形線畫(huà)，小教室也做了跟數(shù)學(xué)相關(guān)的嘗試（華德福的形線畫(huà)雖然歸類在數(shù)學(xué)中，但是，更偏重藝術(shù)，與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)，雖然有對(duì)稱，但是只是一點(diǎn)幾何范疇，王教授認(rèn)為華德福在數(shù)學(xué)教學(xué)上是非常不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模?/p>
先向外，先向內(nèi)，后向外，后向內(nèi)，又是4種圖形。而這4種又可以繼續(xù)演變（上面交叉、封頂，分出4種，下面同理分出4種），變成64種。
第五個(gè)，是甩胳膊。一只胳膊向前，向后?？此凭蛢煞N，如果加上手掌的變化，手心向下，手心向上，手刃向下，手刃向上。那就是8種。而且，在胳膊甩動(dòng)過(guò)程中，一定要有肩部的變化，否則是不能畫(huà)圓的（小編認(rèn)為，以上結(jié)合了道德、武術(shù)、書(shū)法、畫(huà)圖、身體，孩子們不斷地感受數(shù)字的組合變化。）
2運(yùn)算
加法的練習(xí)時(shí)，在孩子會(huì)用手指計(jì)算類似7+8以后，可以讓他試試用手指計(jì)算37+8。并且開(kāi)始進(jìn)入整十的計(jì)算。目前的數(shù)學(xué)教材，包括美國(guó)的數(shù)學(xué)教材都是10以內(nèi)加法學(xué)會(huì)后緊跟著20以內(nèi)加法的學(xué)習(xí)。但王教授認(rèn)為，十以內(nèi)加法掌握后，應(yīng)該進(jìn)入整十的計(jì)算，再回頭學(xué)習(xí)20以內(nèi)的加法就迎刃而解。
減法的練習(xí)時(shí)，首先要給孩子一個(gè)概念，減法是加法的逆運(yùn)算?，F(xiàn)在大部分老師不會(huì)告訴孩子這個(gè)概念。另一個(gè)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，孩子在做減法時(shí)，會(huì)有很多自己的小方法，比如湊數(shù)的方法，王教授認(rèn)為應(yīng)該鼓勵(lì)孩子有這種不同的計(jì)算過(guò)程，這說(shuō)明他們?cè)跀?shù)學(xué)上有靈氣。
乘法的學(xué)習(xí)時(shí)，因?yàn)樾〗淌乙粋€(gè)孩子的問(wèn)題，王教授和小教室的孩子們花了2年的時(shí)候搞懂了次方。
1+1=2=21
2+2=4=22
4+4=8=23
8+8=16=24
……
王教授認(rèn)為，這組式子一直寫(xiě)下去，是非常有美感的。這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，在小教室的博文里有詳細(xì)的介紹。
不過(guò)孩子們一直對(duì)20=1有疑惑，認(rèn)為20=0。王教授的解釋是，如果真的20=0，那么這個(gè)世界就不存在了。因?yàn)椋?/p>
20*2m=20+m=2m，如果20=0，那么2m=0，這顯然是不成立的。
所以我們也可以從20*2m=20+m=2m推出20=1
有家長(zhǎng)問(wèn)到分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)，正好前一段王教授的兒子提了一個(gè)問(wèn)題，世界上的數(shù)是不是都可以除盡？他的這個(gè)問(wèn)題引出了小教室現(xiàn)在做的一個(gè)功課，哪些數(shù)字可以被11整除。這兩個(gè)問(wèn)題目前都還在解決過(guò)程中。
分?jǐn)?shù)其實(shí)就是一個(gè)餅切成幾塊。進(jìn)行分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)可以按節(jié)奏給出幾個(gè)問(wèn)題：
第一個(gè)：1/2+1/4=
第二個(gè)：1/2+1/3=
第三個(gè)：1/77+1/33=
前面概念反芻提到200+300=500，這里還隱含了另一個(gè)問(wèn)題，為什么2+3=5？這個(gè)問(wèn)題有點(diǎn)難，F(xiàn)ields獎(jiǎng)得主Bombieri給小孩子寫(xiě)了篇數(shù)學(xué)科普，十幾頁(yè)的文章，其實(shí)說(shuō)的就是這個(gè)問(wèn)題。
解決這個(gè)問(wèn)題首要是給數(shù)字定義：
1=1是固定的
2=1+1
那么3呢？3=1+1+1，有孩子就會(huì)提出，那右邊不還是3個(gè)？用3定義3，這不合理。
所以3=2+1
4=3+1
5=4+1
這個(gè)過(guò)程，在小教室的博客中有記錄。
以上就是王教授自己的一些對(duì)幼小數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思考和實(shí)踐。這也是他為什么反對(duì)大家到商業(yè)機(jī)構(gòu)學(xué)習(xí)奧數(shù)的原因。那種學(xué)習(xí)過(guò)程，剝奪了孩子思考的權(quán)利，甚至有些很聰明的孩子，也只能聽(tīng)懂一半，當(dāng)然也有天才的孩子完全不存在問(wèn)題。他的同事李克正教授曾經(jīng)給奧數(shù)競(jìng)賽出了一道扔色子的題目，當(dāng)年，全國(guó)那么多聰明孩子，只有一個(gè)做對(duì)了，李教授至今對(duì)那孩子印象深刻。但是這道題，現(xiàn)在出現(xiàn)在3、4年級(jí)奧數(shù)班里，而且是一節(jié)課5道題中的一道。
而目前公立學(xué)校的教法，也常常把孩子帶歪，那么就只好靠家長(zhǎng)自己，先有一個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)的正確認(rèn)識(shí)，然后給孩子一些有益的引領(lǐng)。同時(shí)，家長(zhǎng)自己也要自信，要相信孩子可以做到。方法上也不是非黑即白，家長(zhǎng)首先不要焦慮，不用糾結(jié)過(guò)多細(xì)節(jié)性的問(wèn)題。
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