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參考論文：D. Comaniciu and P. Meer, “Mean shift: A robust approach toward feature space analysis,” IEEE T. PAMI, vol. 24, no. 5, pp. 603-619, May 2002

MeanShift 可以翻譯為“均值漂移”，它在聚類、圖像平滑、圖像分割和跟蹤方面得到了比較廣泛的應(yīng)用。MeanShift 這個(gè)概念最早是由Fukunaga等人于1975年在一篇關(guān)于概率密度梯度函數(shù)的估計(jì)（The Estimation of the Gradient of a Density Function, with Applications in Pattern Recognition）中提出來的。其最初含義正如其名：就是偏移的均值向量。在這里MeanShift是一個(gè)名詞，它指代的是一個(gè)向量。但隨著Mean Shift理論的發(fā)展，MeanShift的含義也發(fā)生了變化。如果我們說MeanShift算法，一般是指一個(gè)迭代的步驟，即先算出當(dāng)前點(diǎn)的偏移均值，移動(dòng)該點(diǎn)到其偏移均值，然后以此為新的起始點(diǎn)繼續(xù)移動(dòng)，直到滿足一定的條件結(jié)束。

在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，MeanShift算法都沒有得到足夠的重視，直到1995年另一篇重要論文的發(fā)表。該論文的作者Yizong Cheng定義了一族核函數(shù)，使得隨著樣本與被偏移點(diǎn)的距離不同，其偏移量對(duì)均值偏移向量的貢獻(xiàn)也不同。其次，他還設(shè)定了一個(gè)權(quán)重系數(shù)，使得不同樣本點(diǎn)的重要性不一樣，這大大擴(kuò)展了MeanShift的應(yīng)用范圍。此外，還有研究人員將非剛體的跟蹤問題近似為一個(gè)MeanShift的最優(yōu)化問題，使得跟蹤可以實(shí)時(shí)進(jìn)行。目前，利用MeanShift進(jìn)行跟蹤已經(jīng)相當(dāng)成熟。MeanShift算法其實(shí)是一種核密度估計(jì)算法，它將每個(gè)點(diǎn)移動(dòng)到密度函數(shù)的局部極大值點(diǎn)處。

下面介紹MeanShift算法的理論：

在給定d維空間R^d的n個(gè)樣本點(diǎn)

,i=1,…,n.則核密度估計(jì)函數(shù)可以表示為：

核函數(shù)K(x)滿足如下關(guān)系：

歸一化：

對(duì)稱性：

權(quán)重的指數(shù)衰減：

    條件：

其中上式c為常數(shù)。對(duì)于有限數(shù)量的data，實(shí)際應(yīng)用中K(x)有兩種獲取的形式：

    

第一種形式，在各個(gè)維度上都使用相同的函數(shù)k(x)，第二種形式表示只使用了向量的長(zhǎng)度。因?yàn)閨|*||表示歐式距離。在R^{d表示的d維空間中，參數(shù)h是樣本數(shù)量n的函數(shù)，應(yīng)當(dāng)滿足}

，從而保證估計(jì)的^{漸進(jìn)無偏性。為了確保估計(jì)的均方一致性}，h需要滿足條件：

。為了確保^{全局一致性}，h需要滿足條件

.

^{其中，當(dāng)核函數(shù)采用Epanechnikov核時(shí)，均方誤差最小。Epanechnikov核表示為：}

其中

為d維單位球體體積。另外一個(gè)也被用到的核函數(shù)為高斯核：

定義核函數(shù)的輪廓(profile，也可翻譯為剖面函數(shù))函數(shù)k(x)滿足k:[0,

)->R，即

其中

為歸一化常數(shù)，保證K(x)積分為1，且嚴(yán)格為正。由此帶入最初的核密度估計(jì)函數(shù)，可將核密度估計(jì)函數(shù)重寫為：

下面介紹Kernel DensityGradientEstimation:

定義一個(gè)輪廓函數(shù)(profile)

,并且構(gòu)造出g(x)的核函數(shù)：

參考文獻(xiàn)中說K(x)was called the shadow of G(x)，這里不太理解這個(gè)shadow的意思?同樣也說Epanechnikov kernel is the shadow of the uniform kernel

根據(jù)核函數(shù)的可微性，密度梯度估計(jì)恒等于核密度估計(jì)的梯度，可以得到：

將g(x)帶入上式得到：

假設(shè)

大于0。可以得到關(guān)于核函數(shù)G在點(diǎn)x的表達(dá)式如下，可理解為以G為核函數(shù)對(duì)概率密度函數(shù)f(x)的估計(jì)：

則mean shift向量可表示為：

以核函數(shù)作為權(quán)重，x作為窗口的中心。

上面的式子表明，在點(diǎn)x處，基于核函數(shù)G(x)的mean shift向量與基于核函數(shù)K(x)的密度梯度估計(jì)僅相差一個(gè)常數(shù)的比例系數(shù)。而梯度是指密度變化最大的方向，所以mean shift向量也是指向密度增大最大的方向。

反復(fù)進(jìn)行以下步驟就是MeanShift算法的過程：

1）計(jì)算mean shift向量

；

2)根據(jù)

，移動(dòng)核（窗口）；

3）若

，則結(jié)束循環(huán)，否則繼續(xù)迭代。

最終核函數(shù)的中心點(diǎn)收斂到數(shù)據(jù)空間中密度最大的點(diǎn)，它的密度梯度估計(jì)為0。mean shift向量也總是指向密度增大最大的方向，這可由上式的分子項(xiàng)來保證。而分母項(xiàng)則表示每次迭代核函數(shù)移動(dòng)的步長(zhǎng)。在不包含興趣特征的區(qū)域內(nèi)，步長(zhǎng)較長(zhǎng)；在感興趣的區(qū)域內(nèi)，步長(zhǎng)較短。即MeanShift算法是一個(gè)變步長(zhǎng)的梯度上升算法，或稱為自適應(yīng)梯度上升算法。

小結(jié)：

根據(jù)mean shift向量，定義半徑為h的高維球區(qū)域S-_{h，并滿足一下關(guān)系的y點(diǎn)的集合：}

k表示在這n個(gè)點(diǎn)x_{i中，有k個(gè)點(diǎn)落入S-h區(qū)域中。}

_{我們可以看到(xi - x)是樣本點(diǎn)xi相對(duì)于點(diǎn)x的偏移向量。mean shift向量就是對(duì)落入?yún)^(qū)S-h中的k個(gè)樣本點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)x的偏移向量求和然后再平均。從直觀上看，如果樣本點(diǎn)xi從一個(gè)概率密度函數(shù)f(x)中采樣得到，由于非零的概率密度梯度指向概率密度增加最大的方向。因此從平均上來說，區(qū)域內(nèi)的樣本點(diǎn)更多的落在沿著概率密度梯度的方向。因此，對(duì)應(yīng)的mean shift向量應(yīng)該指向概率密度梯度的方向。如下圖所示：}

_{大圓圈所圈定的范圍就是S-h，小圓圈代表落入S-h區(qū)域內(nèi)的樣本點(diǎn)。黑點(diǎn)就是meanshift的基準(zhǔn)點(diǎn)，箭頭表示樣本點(diǎn)相對(duì)于基準(zhǔn)點(diǎn)x的偏移向量。很明顯的，我們可以看出平均的偏移向量}

會(huì)指向樣本分布最多的區(qū)域，也就是概率密度函數(shù)的梯度方向。把每個(gè)偏移向量相加就可以得到meanshift向量，再以meanshift向量的終點(diǎn)，即質(zhì)心畫球，移動(dòng)，重復(fù)此過程即可收斂到概率密度最大的方向。即最稠密，密集的地方。