典型例題一
例1 橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A?2，0?，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 分析：題目沒(méi)有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置． 解：（1）當(dāng)A?2，0?為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，a?2，b?1，
x
2
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
4
y
2
1
1；
（2）當(dāng)A?2，0?為短軸端點(diǎn)時(shí)，b?2，a?4，
x
2
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
4
y
2
16
1；
說(shuō)明：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)，給出一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況．
典型例題二
例2 一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)將其準(zhǔn)線間的距離三等分，求橢圓的離心率． 解：?2c?
a
2
c
33
2?
13
∴3c2?a2，
∴e?
3
．
說(shuō)明：求橢圓的離心率問(wèn)題，通常有兩種處理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齊次方程，再化含e的方程，解方程即可．
典型例題三
例3 已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與直線x?y?1?0交于A、B兩點(diǎn)，M為AB中點(diǎn)，OM的斜率為0.25，橢圓的短軸長(zhǎng)為2，求橢圓的方程．
解：由題意，設(shè)橢圓方程為
xa
22
y?1，
2
1 / 20
x?y?1?0?2由?x2，得?1?a?x2?2a2x?0，
2
2?y?1?a
∴xM?
x1?x2
2yMxM
2
1?aa
2
2
，yM?1?xM?
11?a
2
，
kOM?
1a
2
14
，∴a2?4，
∴
x
2
4
y?1為所求．
說(shuō)明：（1）此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；（2）直線與曲線的綜合問(wèn)題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來(lái)解決弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)、弦斜率問(wèn)題．
典型例題四
例4橢圓
x
2
25
y9
2
9?
1上不同三點(diǎn)A?x1，y1?，B?4?，C?x2，y2?與焦點(diǎn)F?4，0?的
5?
距離成等差數(shù)列．
（1）求證x1?x2?8；
（2）若線段AC的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為T，求直線BT的斜率k． 證明：（1）由橢圓方程知a?5，b?3，c?4． 由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：
AFa
2
ca
，
c
x1
∴ AF?a?ex1?5?同理 CF?5?
45
45
x1．
x2．
95
∵ AF?CF?2BF，且BF?
4
，
∴ ?5?
4???18
， x1???5?x2??
5??55?
即 x1?x2?8．
（2）因?yàn)榫€段AC的中點(diǎn)為?41
y?y2?
，所以它的垂直平分線方程為 2?
2 / 20
y?
y1?y2
2
x1?x2y1?y2
x?4?．
又∵點(diǎn)T在x軸上，設(shè)其坐標(biāo)為?x0，0?，代入上式，得 x0?4?
y1?y2
2
2
2?x1?x2?
又∵點(diǎn)A?x1，y1?，B?x2，y2?都在橢圓上， ∴ y12? y2?
22
925925
2
25?x?
2
1
25?x?
22
∴ y1?y2??
925
x1?x2??x1?x2?．
將此式代入①，并利用x1?x2?8的結(jié)論得 x0?4??
9
3625
∴ kBT
0
5??．
4?x04
典型例題五
例5 已知橢圓
x
2
2
4
y3
1，F(xiàn)1、F2為兩焦點(diǎn)，問(wèn)能否在橢圓上找一點(diǎn)M，使M到
左準(zhǔn)線l的距離MN是MF1與MF2的等比中項(xiàng)？若存在，則求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：假設(shè)M存在，設(shè)M?x1，y1?，由已知條件得
a?2，b?
3，∴c?1，e?
12
．
∵左準(zhǔn)線l的方程是x??4， ∴MN?4?x1． 又由焦半徑公式知：
3 / 20
MF1?a?ex1?2?MF2?a?ex1?2?
1212
x1， x1．
∵M(jìn)N
2
MF1?MF2，
2
∴?x1?4???2?
1
1???
x1??2?x1?． 2??2?
整理得5x12?32x1?48?0． 解之得x1??4或x1??
125
． ①
另一方面?2?x1?2． ② 則①與②矛盾，所以滿足條件的點(diǎn)M不存在．
說(shuō)明：
（1）利用焦半徑公式解?？珊?jiǎn)化解題過(guò)程．
（2）本例是存在性問(wèn)題，解決存在性問(wèn)題，一般用分析法，即假設(shè)存在，根據(jù)已知條件進(jìn)行推理和運(yùn)算．進(jìn)而根據(jù)推理得到的結(jié)果，再作判斷．
（3）本例也可設(shè)M2cos?3sin?存在，推出矛盾結(jié)論（讀者自己完成）．
典型例題六
例6 已知橢圓
x
11?2
y?1，求過(guò)點(diǎn)P??且被P平分的弦所在的直線方程． 2?22?
2
分析一：已知一點(diǎn)求直線，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為k，利用條件求k． 解法一：設(shè)所求直線的斜率為k，則直線方程為y?整理得
1
1??
k?x??．代入橢圓方程，并22??
1?2k?x
2
2
2k?2kx?
2
2
12
k?k?
2
32
0．
由韋達(dá)定理得x1?x2?
2k?2k1?2k
2
．
12
∵P是弦中點(diǎn)，∴x1?x2?1．故得k??所以所求直線方程為2x?4y?3?0．
．
4 / 20
分析二：設(shè)弦兩端坐標(biāo)為?x1，y1?、?x2，y2?，列關(guān)于x1、x2、y1、y2的方程組，從而求斜率：
y1?y2x1?x2
．
解法二：設(shè)過(guò)P??的直線與橢圓交于A?x1，y1?、B?x2，y2?，則由題意得
22?
11?
x122
y1?1，?2?2?x22
y2?1，??2
x1?x2?1，?
y1?y2?1.
①② ③④
2
2
2
①－②得
x1?x2
2
2
y1?y2?0． ⑤
y1?y2x1?x2
12
12
將③、④代入⑤得??，即直線的斜率為?．
所求直線方程為2x?4y?3?0．
說(shuō)明：
（1）有關(guān)弦中點(diǎn)的問(wèn)題，主要有三種類型：過(guò)定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦；平行弦的中點(diǎn)軌跡；過(guò)定點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡．
（2）解法二是“點(diǎn)差法”，解決有關(guān)弦中點(diǎn)問(wèn)題的題較方便，要點(diǎn)是巧代斜率． （3）有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問(wèn)題常用的方法是：“韋達(dá)定理應(yīng)用”及“點(diǎn)差法”．有關(guān)二次曲線問(wèn)題也適用．
典型例題七
例7 求適合條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
6?； （1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且過(guò)點(diǎn)?2，
（2）在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的聯(lián)機(jī)互相垂直，且焦距為6． 分析：當(dāng)方程有兩種形式時(shí)，應(yīng)分別求解，如（1）題中由
xa
222
ybx
22
1求出a?148，
2
b?37，在得方程
2
x
2
148
y
2
37
1后，不能依此寫出另一方程
y
2
148
37
1．
5 / 20
為所求點(diǎn)，因此yM?3，且M在橢圓上．故xM?23．所以M233．
說(shuō)明：本題關(guān)鍵在于未知式AM?2MF中的“2”的處理．事實(shí)上，如圖，e?
12
，
即MF是M到右準(zhǔn)線的距離的一半，即圖中的MQ，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求橢圓上一點(diǎn)M，使M到A的距離與到右準(zhǔn)線距離之和取最小值．
典型例題九
例9 求橢圓
x
2
3
y?1上的點(diǎn)到直線x?y?6?0的距離的最小值．
2
分析：先寫出橢圓的參數(shù)方程，由點(diǎn)到直線的距離建立三角函數(shù)關(guān)系式，求出距離的最小值．
解：橢圓的參數(shù)方程為?直線的距離為
3cos??sin??6d?
2
2sin?????6
3?
2
x?
3cos?，
設(shè)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)為
y?sin?.
3cos?，sin?，則點(diǎn)到
．
當(dāng)sin?
1時(shí)，d最小值?22． ?3?
說(shuō)明：當(dāng)直接設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)不易解決問(wèn)題時(shí)，可建立曲線的參數(shù)方程．
典型例題十
例10 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e?
32
3?2?
，已知點(diǎn)P?0?到
這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是7，求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上的點(diǎn)P的距離等于7的點(diǎn)的坐標(biāo)．
分析：本題考查橢圓的性質(zhì)、距離公式、最大值以及分析問(wèn)題的能力，在求d的最大值時(shí)，要注意討論b的取值范圍．此題可以用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也可用橢圓的參數(shù)方程，要
善于應(yīng)用不等式、平面幾何、三角等知識(shí)解決一些綜合性問(wèn)題，從而加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)換、形數(shù)結(jié)合的思想，提高邏輯推理能力．
7 / 20
解法一：設(shè)所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是
xa
22
yb
22
1，其中a?b?0待定．
由e?
2
ca
22
a?ba
2
22
1?
ba
22
可得
ba
e?
2
34
12
，即a?2b．
設(shè)橢圓上的點(diǎn)?x，y?到點(diǎn)P的距離是d，則
2
3?y?9?2?2
x??y???a?1??y?3y? 2??2?b?4??
2
2
2
d
2
1??
4b?3y?3y???3?y???4b2?3
42??
2
2
9
其中?b?y?b． 如果b?
12
，則當(dāng)y??b時(shí)，d2（從而d）有最大值．
2
由題設(shè)得
7?
3??
b??，由此得b?
2??
2
7?
32
12
，與b?
12
矛盾．
因此必有b?由題設(shè)得
12
2
成立，于是當(dāng)y??
12
時(shí)，d2（從而d）有最大值．
7?
2
4b?3，可得b?1，a?2．
∴所求橢圓方程是
x
2
4
y
2
1
1．
由y??
12
及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點(diǎn)??
3，?
1??
，點(diǎn)?2??
3，?
1?
到點(diǎn)2?
3?
P?0?的距離是7． ?2?
x?acos??y?bsin?
解法二：根據(jù)題設(shè)條件，可取橢圓的參數(shù)方程是?
0???2?，?為參數(shù)．
，其中a?b?0，待定，
由e?
2
ca
22
a?ba
2
22
b?
1???可得
a?
2
8 / 20
ba
e?
2
34
12
，即a?2b．
設(shè)橢圓上的點(diǎn)?x，y?到點(diǎn)P?0?的距離為d，則
2?
2
2
3?
d
2
3?3???22
x??y???acos???bsin???
2?2???
2
4b2?3b2sin2??3bsin??
2
94
1??2
3b2?sin????4b?3
2b??
如果
12b
1，即b?
12
，則當(dāng)sin???1時(shí)，d2（從而d）有最大值．
2
由題設(shè)得成立．
7?
2
3??
b??，由此得b?
2??12b
7?
32
12
，與b?
12
矛盾，因此必有
12b
1
于是當(dāng)sin???由題設(shè)知
時(shí)d2（從而d）有最大值．
7?
2
2
4b?3，∴b?1，a?2．
x?2cos?
∴所求橢圓的參數(shù)方程是?．
y?sin??
12
由sin???
，cos???
32
，可得橢圓上的是??
3，?
1??
，?2??
3，?
1?
． 2?
典型例題十一
例11 設(shè)x，y?R，2x?3y?6x，求x?y?2x的最大值和最小值． 分析：本題的關(guān)鍵是利用形數(shù)結(jié)合，觀察方程2x?3y?6x與橢圓方程的結(jié)構(gòu)一致．設(shè)x?y?2x?m，顯然它表示一個(gè)圓，由此可以畫出圖形，考慮橢圓及圓的位置關(guān)系求得最值．
解：由2x?3y?6x，得
2
2
2
2
2
2
22
22
9 / 20
3??
2?x??y?? ??1
93????
2?4?
2
可見(jiàn)它表示一個(gè)橢圓，其中心在?點(diǎn)．
設(shè)x2?y2?2x?m，則 ?x?1??y2?m?1
2
3
，0?點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)（0，0）點(diǎn)和（3，0）?2?
它表示一個(gè)圓，其圓心為（－1，0）半徑為m?1?m??1?．
在同一坐標(biāo)系中作出橢圓及圓，如圖所示．觀察圖形可知，當(dāng)圓過(guò)（0，0）點(diǎn)時(shí)，半徑最小，即m?1?1，此時(shí)m?0；當(dāng)圓過(guò)（3，0）點(diǎn)時(shí)，半徑最大，即m?1?4，∴m?15．
∴x2?y2?2x的最小值為0，最大值為15．
典型例題十二
xy
例12 已知橢圓C2?2?1?a?b?0?，A、B是其長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．
ab
b如何變化，?APB?120．（1）過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)F作垂直于長(zhǎng)軸的弦PP?，求證：不論a、
22
（2）如果橢圓上存在一個(gè)點(diǎn)Q，使?AQB?120，求C的離心率e的取值范圍． 分析：本題從已知條件出發(fā)，兩問(wèn)都應(yīng)從?APB和?AQB的正切值出發(fā)做出估計(jì)，因
10 / 20
此要從點(diǎn)的坐標(biāo)、斜率入手．本題的第（2）問(wèn)中，其關(guān)鍵是根據(jù)什么去列出離心率e滿足的不等式，只能是橢圓的固有性質(zhì)：x?a，y?b，根據(jù)?AQB?120?得到
2ayx?y?a
2
2
2
將x?a???3，
22
ab
22
2
b、消去x，用a、以便利用y?bc表示y，y代入，
列出不等式．這里要求思路清楚，計(jì)算準(zhǔn)確，一氣呵成．
解：（1）設(shè)F?c，0?，B?a，0?，A??a，0?． ?x?c?b2
P? ?22
2222?ca
bx?ay?ab
于是kAP?
b
2
a?c?a?
，kBP?
b
2
a?c?a?
．
∵?APB是AP到BP的角．
b
2
∴tan?APB?
ac?a1?
2
b
4
2
ac?a2
2
b
2ac
2
2
ac?a
∵a2?c2 ∴tan?APB??2
故tan?APB??3 ∴?APB?120?． （2）設(shè)Q?x，y?，則kQA?
yx?a
，kQB?
yx?a
．
由于對(duì)稱性，不妨設(shè)y?0，于是?AQB是QA到QB的角．
y
y
2ay? 2222
yx?y?a
2
∴tan?AQB?1?
x?a
2
∵?AQB?120， ∴
2ayx?y?a
2
2
2
3
222
整理得3?x?y?a??2ay?0
∵x?a?
22
ab
22
y
2
2
a?2
∴3??1?b2?y?2ay?0
11 / 20
PF1?4b?PF2?4b?b?3b．
由橢圓第二定義，
PF1d1
e，d1為P到左準(zhǔn)線的距離，
∴d1?
PF1e
23b，
即P到左準(zhǔn)線的距離為23b．
PF2d2
解法二：∵
e，d2為P到右準(zhǔn)線的距離，e?
ca
32
，
∴d2?
PF2e
233
b．
又橢圓兩準(zhǔn)線的距離為2?
a
2
c
833
b．
∴P到左準(zhǔn)線的距離為
833
b?
233
b?23b．
說(shuō)明：運(yùn)用橢圓的第二定義時(shí)，要注意焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的同側(cè)性．否則就會(huì)產(chǎn)生誤解． 橢圓有兩個(gè)定義，是從不同的角度反映橢圓的特征，解題時(shí)要靈活選擇，運(yùn)用自如．一般地，如遇到動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的問(wèn)題，用橢圓第一定義；如果遇到動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離問(wèn)題，則用橢圓的第二定義．
典型例題十五
x?4cos?,?
例15 設(shè)橢圓?(?為參數(shù))上一點(diǎn)P與x軸正向所成角?POx?，求
3?y?23sin?.P點(diǎn)坐標(biāo)．
分析：利用參數(shù)?與?POx之間的關(guān)系求解．
解：設(shè)P(4cos?,23sin?)，由P與x軸正向所成角為
3
23sin?4cos?
3
，
∴tan?，即tan??2．
而sin??0，cos??0，由此得到cos??
55
，sin??
255
，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(
455
,
45
)．
13 / 20
典型例題十六
例16 設(shè)P(x0,y0)是離心率為e的橢圓
xa
22
22
yb
1 (a?b?0)上的一點(diǎn)，P到左焦
點(diǎn)F1和右焦點(diǎn)F2的距離分別為r1和r2，求證：r1?a?ex0，r2?a?ex0．
分析：本題考查橢圓的兩個(gè)定義，利用橢圓第二定義，可將橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離．
解：P點(diǎn)到橢圓的左準(zhǔn)線l：x??
PF1PQ
a
2
c
的距離，PQ?x0?
a
2
c
，
由橢圓第二定義，?e，
∴r1?ePQ?a?ex0，由橢圓第一定義，r2?2a?r1?a?ex0．
說(shuō)明：本題求證的是橢圓的焦半徑公式，在解決與橢圓的焦半徑（或焦點(diǎn)弦）的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，有著廣泛的應(yīng)用．請(qǐng)寫出橢圓焦點(diǎn)在y軸上的焦半徑公式．
典型例題十七
例17 已知橢圓
P是橢圓上一點(diǎn)．
2
2
x
9
y
5
1內(nèi)有一點(diǎn)A(1,1)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)
(1) 求PA?PF1的最大值、最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P坐標(biāo)； (2) 求PA?
32
PF2的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
分析：本題考查橢圓中的最值問(wèn)題，通常探求變量的最值有兩種方法：一是目標(biāo)函數(shù)當(dāng)，即代數(shù)方法．二是數(shù)形結(jié)合，即幾何方法．本題若按先建立目標(biāo)函數(shù)，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉(zhuǎn)化目標(biāo)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，就能簡(jiǎn)捷求解．
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解：
(1)如上圖，2a?6，F(xiàn)2(2,0)，AF2?PF1?PF2?2a?6
2，設(shè)P是橢圓上任一點(diǎn)，由
，
PA?PF2?AF2
，∴
PA?PF1?PF1?PF2?AF2?2a?AF2?6?等號(hào)僅當(dāng)PA?PF2?AF2時(shí)成2，
立，此時(shí)P、A、F2共線．
由PA?PF2?AF2，∴PA?PF1?PF1?PF2?AF2?2a?AF2?6?號(hào)僅當(dāng)PA?PF2?AF2時(shí)成立，此時(shí)P、A、F2共線．
x?y?2?0,
建立A、F2的直線方程x?y?2?0，解方程組?2得兩交點(diǎn) 2
5x?9y?45?
P1(97?1514
2,
57?1514
2)、P2(
97?1514
2,
57?1514
2)．
2，等
綜上所述，P點(diǎn)與P1重合時(shí)，PA?PF1取最小值6?PA?PF2取最大值6?
2．
2，P點(diǎn)與P2重合時(shí)，
(2)如下圖，設(shè)P是橢圓上任一點(diǎn)，作PQ垂直橢圓右準(zhǔn)線，Q為垂足，由a?3，c?2，
23
∴e?
32
．由橢圓第二定義知
PF2PQ
e?
23
，∴PQ?
32
PF2
，∴
PA?
PF2?PA?PQ，要使其和最小需有A、P、Q共線，即求A到右準(zhǔn)線距離．右
92
準(zhǔn)線方程為x?．
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∴A到右準(zhǔn)線距離為
6551e
72
．此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)與A點(diǎn)縱坐標(biāo)相同為1，代入橢圓得滿足條
件的點(diǎn)P坐標(biāo)(,1)．
說(shuō)明：求PA?
PF2的最小值，就是用第二定義轉(zhuǎn)化后，過(guò)A向相應(yīng)準(zhǔn)線作垂線段．巧
用焦點(diǎn)半徑PF2與點(diǎn)準(zhǔn)距PQ互化是解決有關(guān)問(wèn)題的重要手段．
典型例題十八
例18 (1)寫出橢圓
x
2
2
9
y
4
1的參數(shù)方程；
(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積．
分析：本題考查橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用．為簡(jiǎn)化運(yùn)算和減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，常用橢圓的參數(shù)方程表示曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)，所求問(wèn)題便化歸為三角問(wèn)題．
x?3cos?
解：(1) ?(??R)．
y?2sin??
(2)設(shè)橢圓內(nèi)接矩形面積為S，由對(duì)稱性知，矩形的鄰邊分別平行于x軸和y軸，設(shè)
(3cos?,2sin?)為矩形在第一象限的頂點(diǎn)，(0???
2)，
則S?4?3cos??2sin??12sin2??12
故橢圓內(nèi)接矩形的最大面積為12．
說(shuō)明：通過(guò)橢圓參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題，一般地，與圓錐曲線有關(guān)的最值問(wèn)題，用參數(shù)方程形式較簡(jiǎn)便．
典型例題十九
例19 已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且?F1PF2?60?． (1)求橢圓離心率的取值范圍；
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(2)求證?PF1F2的面積與橢圓短軸長(zhǎng)有關(guān)． 分析：不失一般性，可以設(shè)橢圓方程為
xa
22
yb
22
，P(x1,y1)（y1?0）． ?1（a?b?0）
KPF2?KPF11?KPF2KPF1
2
思路一：根據(jù)題設(shè)容易想到兩條直線的夾角公式，即tan60???3，設(shè)
P(x1,y1)，F(xiàn)1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)，化簡(jiǎn)可得
x1a
2
3x1?
2
3y1?2cy1?
2
3c?0．又
2
y1b
2
2
1，兩方程聯(lián)立消去x1得3cy1?2bcy1?
2222
3b?0，由y1?(0,b]，可以
4
確定離心率的取值范圍；解出y1可以求出?PF1F2的面積，但這一過(guò)程很繁．
思路二：利用焦半徑公式PF1?a?ex1，PF2?a?ex1，在?PF1F2中運(yùn)用余弦定理，求x1，再利用x1?[?a,a]，可以確定離心率e的取值范圍，將x1代入橢圓方程中求y1，便可求出?PF1F2的面積．
思路三：利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合PF1?PF2?2a求解．
xa
22
解：(法1)設(shè)橢圓方程為
c?0，
yb
22
，P(x1,y1)，F(xiàn)1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)，?1（a?b?0）
則PF1?a?ex1，PF2?a?ex1． 在?PF1F2中，由余弦定理得
cos60??
12?
(a?ex1)?(a?ex1)?4c
2(a?ex1)(a?ex1)
2
2
2
2
，
解得x1?
2
2
4c?a3e
2
2
．
2
(1)∵x1?(0,a]，
∴0?
4c?a3e
2
22
a，即4c?a?0．
222
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22?m?n?mn
2?(m?n)?3mn
∵m?n?2a，
∴4c2?4a2?3mn，即mn?
1
23343(a?c)?2243b． 2∴S?PFF?12mnsin60??b． 2
即?PF1F2的面積與橢圓短軸長(zhǎng)有關(guān)．
說(shuō)明：橢圓上的一點(diǎn)P與兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的三角形為橢圓的焦點(diǎn)三角形，涉及有
關(guān)焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，通常運(yùn)用三角形的邊角關(guān)系定理．解題中通過(guò)變形，使之出現(xiàn)PF1?PF2的結(jié)構(gòu)，這樣就可以應(yīng)用橢圓的定義，從而可得到有關(guān)a，c的關(guān)系式，使問(wèn)
題找到解決思路．
典型例題二十
例20 橢圓x
a2222?yb?1(a?b?0)與x軸正向交于點(diǎn)A，若這個(gè)橢圓上總存在點(diǎn)P，
使OP?AP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求其離心率e的取值范圍．
分析：∵O、A為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，可以P點(diǎn)坐標(biāo)作為參數(shù)，把OP?AP，轉(zhuǎn)化為P點(diǎn)坐標(biāo)的一個(gè)等量關(guān)系，再利用坐標(biāo)的范圍建立關(guān)于a、b、c的一個(gè)不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的不等式．為減少參數(shù)，易考慮運(yùn)用橢圓參數(shù)方程．
解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程是??x?acos?
y?bsin?(a?b?0)，
則橢圓上的點(diǎn)P(acos?,bsin?)，A(a,0)，
bsin?
acos?bsin?acos??a∵OP?AP，∴???1，
即(a?b)cos??acos??b?0，解得cos??1或cos??
2
222222b222a?b22， ∵?1?cos??1 ∴cos??1（舍去），?1?b2a?b?1，又b?a?c 2
∴0?
ac22?2，
∴e?2
2，又0?e?1，∴2
2?e?1．
說(shuō)明：若已知橢圓離心率范圍(證明？
22,1)，求證在橢圓上總存在點(diǎn)P使OP?AP．如何
轉(zhuǎn)載請(qǐng)保留出處，http://www.wendangku.net/doc/e1204bf9941ea76e58fa04df.html
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