黃金螺旋
（Golden Sprial ）
神圣幾何
它既是光也是眼睛
在上兩篇關(guān)于神圣幾何的系列文章中，我們分別介紹了宇宙的神圣數(shù)學(xué)——黃金比例和斐波那契數(shù)列，其實(shí)它們兩者是密不可分的關(guān)系，而螺旋就是將二者緊密連接起來的關(guān)鍵所在。
黃金螺旋就是黃金比例的完美數(shù)學(xué)模型以斐波那契整數(shù)數(shù)列的方式來呈現(xiàn)，它們其實(shí)就是同一事物在理想和現(xiàn)實(shí)層面的不同展現(xiàn)。
自然界最偉大的秘密
螺旋是自然界最偉大的秘密，所有的能量、所有的存在都是照著螺旋形在移動(dòng)，一切都是以螺旋運(yùn)作。大自然的螺旋，是我們奧妙生命中最大的提示。
螺旋是地球上的主要標(biāo)志，在世界各地都可以發(fā)現(xiàn)古老的螺旋。在整個(gè)歐洲都可以找到成千上萬(wàn)種這樣的古代螺旋形，北美新墨西哥州，猶他州，澳大利亞，中國(guó)，俄羅斯。幾乎地球上的每一種土著文化。古老的螺旋形象征著太陽(yáng)內(nèi)體現(xiàn)的增長(zhǎng)，膨脹和宇宙能量和天堂。螺旋形式反映了不斷發(fā)展的宇宙本身的宏觀世界。
圖1
但是在大自然中，有一種螺旋獨(dú)受寵愛，我們看到的多數(shù)螺旋都跟它有關(guān)，這就是黃金螺旋，也被稱為對(duì)數(shù)螺旋。
圖2
如果要將黃金螺旋畫出來，可以用一個(gè)特別的矩形呈現(xiàn)，叫做黃金矩形。而黃金比例就是它的長(zhǎng)短邊比，即1：1.618。當(dāng)你將一個(gè)正方形置于黃金矩形內(nèi)，剩下的空間會(huì)形成一個(gè)新的小黃金矩形（垂直旋轉(zhuǎn)）。在新的黃金矩形中再放入一個(gè)正方形，則又會(huì)留出一個(gè)更小的黃金矩形。這樣可以不斷地重復(fù)下去，這個(gè)就叫做黃金矩形。
圖3
接下來，我們?cè)诿總€(gè)正方形內(nèi)畫四分之一圓。每條半徑都是它們所在正方形的邊，圓心是新出現(xiàn)的黃金矩形的頂點(diǎn)，即圖中的點(diǎn)1、點(diǎn)2、點(diǎn)3、點(diǎn)4、點(diǎn)5等：
圖4
隨著黃金矩形不斷變小，如果我們繼續(xù)畫圓弧就會(huì)得到一個(gè)所謂的對(duì)數(shù)螺線的近似圖形：
圖5
這樣的螺旋在數(shù)學(xué)上被稱為黃金螺旋（或稱對(duì)數(shù)螺旋、對(duì)角螺旋），黃金螺旋是最優(yōu)美、奇妙的幾何圖形之一，它有三個(gè)獨(dú)一無(wú)二的特點(diǎn)：
1、黃金螺旋每一次全程旋轉(zhuǎn)，都會(huì)以一個(gè)固定的比率增加它到極點(diǎn)的距離；這個(gè)比率因螺線的不同而異，并決定螺線的增長(zhǎng)率。所以，螺旋看起來像是漸開的花一樣。
圖6
2、由于黃金螺旋是等角螺線，所以它就成了圓的“近親”——圓的“徑切角”是90°。事實(shí)上，原就是一種增長(zhǎng)率為0的特殊對(duì)數(shù)螺旋。我們知道，圓也是最美的圖形之一。
圖7
3、如果沿著對(duì)數(shù)螺旋線上的任意一點(diǎn)向內(nèi)朝著極點(diǎn)走，就必須走許多圈，但走的距離確實(shí)有限的——一個(gè)有趣的、似乎難以直線的迷人事實(shí)！
圖8
所謂等角螺線就是向徑和切線的交角永遠(yuǎn)不變的曲線。這些發(fā)散曲線的螺旋角一般在137.5度，更為精確的數(shù)字應(yīng)該是137.50776度，因?yàn)?37.5=360-360*0.618，所以這個(gè)角度又被稱為黃金角度。
黃金角度十分特別，是因?yàn)闆]有任何360度的簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)能加以表達(dá)；360度的5/8相當(dāng)接近，8/13更為接近，13/21則算是最接近的了，但沒有任何一個(gè)分?jǐn)?shù)能準(zhǔn)確地表達(dá)出黃金角度跟360度的比例。
如下圖，將一個(gè)圓周進(jìn)行黃金分割，它的短弧所對(duì)應(yīng)的角度成為“黃金角”，即360×（1－0.618…）≈137.5° 。
將黃金螺旋上取距離相等的一系列點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)于點(diǎn)連線之間的夾角(發(fā)散角)都為黃金角。
下圖計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果可看出，發(fā)散角為137.4°和137.6°的螺旋都無(wú)法填滿平面，而恰好發(fā)散角為137.5°的黃金螺旋可以填滿平面，做到點(diǎn)于點(diǎn)之 間距離相等。向日葵和菊花都滿足這樣的排布，這樣可以使單位面積內(nèi)花瓣或種子排列數(shù)目最多。
圖9
黃金螺旋和斐波那契螺旋
很多地方把這種螺旋也叫做斐波那契螺旋，確實(shí)它們之間非常相似，但是斐波那契螺旋和黃金螺旋是有區(qū)別的。
黃金螺旋是線性的，這意味著它可以無(wú)限的向內(nèi)或向外旋轉(zhuǎn)，并且由于它具有這種獨(dú)一無(wú)二的自相似性，它也是分形得以實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵特性。
圖10
但是在自然界任何生命的生長(zhǎng)必須有一個(gè)固定的開始，舉例來說，一種名叫珠蓍的植物，剛從地面長(zhǎng)出來時(shí)，只有一片葉子，過了一段時(shí)間，還是一片葉子；當(dāng)它長(zhǎng)到高過莖的時(shí)候，就出現(xiàn)了兩片葉子，然后 3片、5 片、8 片，然后長(zhǎng)出 13 朵花，最終它得到一個(gè)數(shù)列1,3,5,8,13,21,34,55…，這個(gè)數(shù)列就是斐波納契數(shù)列，它對(duì)生命起著決定性的作用。
圖11
我們?cè)倏戳硪粋€(gè)例子，許多書中都說，鸚鵡螺﹙nautilus shell﹚是黃金分割螺旋，實(shí)際上它是斐波納契螺旋，因?yàn)槟憧梢郧宄乜吹剿衅瘘c(diǎn)。如果你沿著松果的螺旋數(shù)下去，你會(huì)發(fā)現(xiàn)結(jié)果總是斐波納契數(shù)列中的一個(gè)數(shù)，5 個(gè)、8 個(gè)、13 個(gè)、21 個(gè)。許多其他的螺旋都有這樣的特征，例如向日葵也與斐波納契數(shù)列有關(guān)。
圖12
這就是黃金螺旋和斐波那契螺旋之間的區(qū)別，黃金螺旋是完美的的源頭藍(lán)圖，它沒有開端，向內(nèi)無(wú)限小，向外無(wú)窮大，如同佛經(jīng)所言“小而無(wú)內(nèi)，大而無(wú)外”，代表的是無(wú)窮無(wú)盡的宇宙分形模式。
黃金螺旋是生命創(chuàng)造的藍(lán)圖，但是這種理想化的幾何藍(lán)圖是無(wú)法直接在自然界展現(xiàn)出來的，因?yàn)橹参锊豢赡荛L(zhǎng)出1.618片葉子來，所以為了讓黃金螺旋在生命中得以展開，大自然就選擇了最接近黃金螺旋的斐波那契整數(shù)數(shù)列形式來實(shí)現(xiàn)它。
這就好像量子力學(xué)中的波粒二象性一樣，現(xiàn)實(shí)存在中的物質(zhì)必須要有一個(gè)量化的具體表現(xiàn)，而未顯化的能量則是以完美的波的形式存在。
圖13
從上面的比較我們可以看出，斐波那契數(shù)列后兩項(xiàng)的比值越靠后就越接近黃金比例，可以說斐波那契螺旋是無(wú)限接近黃金螺旋的，它們之間的區(qū)別只是在最開始的時(shí)候比較明顯，越往后越相似。
換一個(gè)比較容易理解的說法，斐波那契螺旋就是黃金螺旋在生命中的具體實(shí)現(xiàn)，所以多數(shù)時(shí)候我們把在現(xiàn)實(shí)中看到的這種螺旋統(tǒng)稱為黃金螺旋也無(wú)不可。
大自然中的斐波那契
黃金螺旋有一個(gè)非常獨(dú)特的特性——它的形狀不會(huì)隨著大小增長(zhǎng)而改變。這個(gè)特性被稱做自我相似性。自然界里許多生長(zhǎng)現(xiàn)象都具有的特性。舉個(gè)例子，當(dāng)鸚鵡螺殼內(nèi)的身體長(zhǎng)大時(shí)，它會(huì)建成越來越大的外殼，把不用的小殼封起。每次外殼長(zhǎng)度的增加都伴隨著適當(dāng)比例半徑的增長(zhǎng)，所以外殼形狀保持不變。所以，鸚鵡螺一生中都只看到同一個(gè)“家”，不需要隨著自身的長(zhǎng)大進(jìn)行調(diào)整以保持平衡。
圖14
那么為什么自然界中的螺旋傾向于選擇黃金螺旋呢？我們從下圖的黃金矩形出發(fā)，將黃金矩形每一個(gè)小矩形沿對(duì)角線向外移動(dòng)1/2 個(gè)邊長(zhǎng)，依次類推，如圖12，這些黃金矩形會(huì)圍成一個(gè)基本填滿平面區(qū)域的螺旋，例如圖中紅矩形和藍(lán)矩形之間的距離很小。有興趣的讀者不妨畫圖證明，任何其他矩形以這種方式自相似排列，都會(huì)重疊或者在平面上留下很大縫隙。只有黃金矩形會(huì)趨向于排滿平面。
下圖中黃金矩形的排列可看成黃金螺旋的離散化，如果將其收縮邊緣連續(xù)起來，就會(huì)出現(xiàn)海螺的那種布滿整個(gè)平面區(qū)域的黃金螺旋。也就是說，只有黃金螺旋這種“依次排列”的自相似才會(huì)占滿平面區(qū)域。
圖15
人類耳朵的形狀也是符合“黃金螺旋”形狀的。這種形狀的構(gòu)造幫助人類可以更好得接收音波，增強(qiáng)人類聽覺。甚至人類耳朵的形狀也是符合“黃金螺旋”形狀的。這種形狀的構(gòu)造幫助人類可以更好得接收音波，增強(qiáng)人類聽覺。
圖16
人體處于黃金分割的關(guān)節(jié)都是能夠蜷縮的位置，如手指骨節(jié)，肘部，膝蓋，頸部，腰腹等等（身體蜷縮時(shí)候，蜷縮點(diǎn)位于人體黃金分割——肚臍處），許多哺乳動(dòng)物關(guān)節(jié)都具有這種特點(diǎn)，這都是生物經(jīng)過幾十億年進(jìn)化的結(jié)果，能讓身體和四肢完全地蜷縮來抓住東西和自我保護(hù)，因此生物界選擇了這種沒有縫隙的蜷縮——黃金螺旋。
圖17
符合這一特性還有公羊?qū)?shù)螺旋形狀的角（雖然它們并不處于一個(gè)平面上），以及大象的象牙。隨著本身的增長(zhǎng)，黃金螺旋變得更大，從底部生長(zhǎng)出的角上的“圈”之間的距離也隨之變大。
圖18
具體來說，轉(zhuǎn)了相同角度以后，與底部的距離也隨著相同的比率增長(zhǎng)。如果我們?cè)陲@微鏡的幫助下，把這些肉眼看不到的圈擴(kuò)大到如下圖般大小，就會(huì)看見，它們完全符合螺旋線形狀。
圖19
大自然鐘情于對(duì)數(shù)螺旋。從向日葵、海貝殼、旋渦到颶風(fēng)和巨大的銀河系，都像是自然選擇了這個(gè)神奇的螺旋作為它喜愛的飾品。各種大小的對(duì)數(shù)螺旋在自然界里得到完美體現(xiàn)，無(wú)論是細(xì)小化石或是稱做有孔蟲類的單細(xì)胞生物，其形態(tài)都是如此。雖然在這個(gè)例子里的螺旋殼是復(fù)合結(jié)構(gòu)（不是一個(gè)連續(xù)的管狀），它們化石內(nèi)部的X光線圖顯示這種形態(tài)的對(duì)數(shù)螺旋幾千年都保持不變。
圖20
當(dāng)仔細(xì)觀察向日葵的中心時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)有一系列的螺旋形狀。這些種子的擺放方式居然夸張地符合“黃金螺旋”的形狀。對(duì)向日葵來說，以這種方式生長(zhǎng)可以讓種子之間自始至終沒有絲毫縫隙。當(dāng)仔細(xì)觀察向日葵的中心時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)有一系列的螺旋形狀。這些種子的擺放方式居然夸張地符合“黃金螺旋”的形狀。對(duì)向日葵來說，以這種方式生長(zhǎng)可以讓種子之間自始至終沒有絲毫縫隙。
圖21
在松樹果球的結(jié)構(gòu)中，“黃金螺旋”形狀又出現(xiàn)了?！包S金螺旋”形狀在植物的構(gòu)造中十分常見。
圖22
甚至像蘆薈這樣的多肉植物也會(huì)呈現(xiàn)出“黃金螺旋”的形狀。植物以“黃金螺旋”的形式生長(zhǎng)出新的細(xì)胞，然后就會(huì)呈現(xiàn)出這種形狀。這種方式讓植物的新生葉子與舊葉子互相之間不會(huì)相互遮擋太多，能最大程度地享用陽(yáng)光和雨露。
圖23
宇宙中的黃金螺旋
茫茫的宇宙中，隱藏著無(wú)數(shù)奧秘——被揭開的、不知曉的，其中之一就是許多物體都呈漩渦狀，而且有的是黃金螺旋線。
黃金螺旋是基于黃金分割比。黃金螺旋總是以這個(gè)比例增加——螺旋每轉(zhuǎn)四分之一圈，它就會(huì)變寬一倍φ。在這里，黃金螺旋正好與螺旋星系相吻合。
銀河系有許多旋臂，圍繞著一個(gè)厚度約為10000光年的中心核心。每個(gè)旋臂都有大約12度的對(duì)數(shù)螺旋。螺旋的形狀和黃金螺旋是一樣的，黃金矩形可以畫在任何螺旋星系上。
圖24
為什么如此眾多的星系顯示出螺旋形狀呢？螺旋星系就如同我們的銀河系，有一個(gè)相對(duì)較薄的銀盤（就像薄烤餅），由氣體、灰塵（細(xì)微顆粒）和星星組成。整個(gè)銀河系的銀盤圍繞銀河系中心旋轉(zhuǎn)。例如，在太陽(yáng)周闈，繞銀河中心旋轉(zhuǎn)的軌道速度是140英里／秒，完成一圈需要大約2.25億年。離中心距離不同，速度也不同——近的快，遠(yuǎn)的慢——也就是說，銀河系的銀盤并不是整塊旋轉(zhuǎn)，而是分別以不同的速度運(yùn)動(dòng)。從正面看，螺旋星系在中心近旁生成螺旋臂，外圍穿過星云向外擴(kuò)散
圖25
黃金螺線和“斐波那契螺線”，并沒有本質(zhì)的區(qū)別。太陽(yáng)系本身就是一條斐波那契螺線，形成以太陽(yáng)為中心的漩渦。
圖26
提丟斯波得定則可以寫成r=0.4+0.3e^0.11θ，θ取-∞，0，2π……圖象是等角螺線，與Ⅹ軸的交點(diǎn)即行星到太陽(yáng)的距離
事實(shí)上，斐波那契就說過：“與車輪不同的是，漩渦越趨中心速度越快。”例如，水星年（水星繞行太陽(yáng)一周）等于地球年的88天，而冥王星的1年是地球年的248倍。翠茜·特威曼和鮑伊德·賴斯在《上帝之舟》一書中列舉的事實(shí)，則更進(jìn)一步：太陽(yáng)與水星的距離，加上水星與金星距離，正好等于金星和地球的距離。
圖27
還有某些颶風(fēng)、云層的漩渦和著名的“澡盆漩渦”也都是黃金螺旋在自然的展現(xiàn)。澡盆漩渦，又叫“謝皮羅漩渦”——澡盆排水時(shí)，北渦是逆時(shí)針方向，南半球的漩渦是順時(shí)針方向，赤道上不形成漩渦。澡盆漩渦由地球自轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的“科里奧利力”引起，是美國(guó)麻省理工學(xué)院機(jī)械工程系主任A．謝皮羅教授在1962年最早發(fā)現(xiàn)的。類似的漩渦還能從裊裊上升的炊煙和碧湖中輕輕蕩開的漣漪中找到。
圖28
螺旋欣賞
所有的能量、
所有的存在都是照著螺旋形在移動(dòng)，
一切都是以螺旋運(yùn)作。
大自然的螺旋，
是我們奧妙生命中最大的提示。
然而人們總是忽略自然的重要，
還不斷的濫用大自然來達(dá)成個(gè)人私利。
大家不知道的是在被人們奴役前，
大自然跟生物們最初是要來幫助我們蛻變、
與宇宙連結(jié)。
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