數(shù)學(xué)方程不僅有用——很多都很漂亮。許多科學(xué)家承認(rèn)，他們常常喜歡特定的公式，不僅是因?yàn)樗鼈兊墓δ埽€因?yàn)樗鼈兊男问?，以及它們包含的?jiǎn)單、詩(shī)意的真理。
雖然某些著名的方程，如愛(ài)因斯坦的E = mc2，贏得了最多的榮譽(yù)，但許多不太熟悉的公式在科學(xué)家中都有他們的擁護(hù)者。當(dāng)物理學(xué)家、天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家被問(wèn)及他們最喜歡的方程式時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)了以下的結(jié)果：
廣義相對(duì)論
上面的公式是愛(ài)因斯坦在1915年提出的開(kāi)創(chuàng)性的廣義相對(duì)論的一部分。這一理論徹底改變了科學(xué)家們對(duì)重力的理解，他們將重力描述為時(shí)空結(jié)構(gòu)的扭曲。
太空望遠(yuǎn)鏡科學(xué)研究所天體物理學(xué)家馬里奧·里維奧(Mario Livio)說(shuō)：“一個(gè)這樣的數(shù)學(xué)方程能描述時(shí)空是怎么回事，我還是覺(jué)得不可思議。”“愛(ài)因斯坦的所有真正的天才都體現(xiàn)在這個(gè)等式里?！?/p>
“方程的右邊描述了我們宇宙的能量含量（包括推動(dòng)當(dāng)前宇宙加速的‘暗能量’），”里維奧解釋道。左邊描述了時(shí)空的幾何結(jié)構(gòu)。這個(gè)等式反映了這樣一個(gè)事實(shí)，即在愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論中，質(zhì)量和能量決定幾何形狀，同時(shí)也決定了曲率，這就是我們所說(shuō)的重力的表現(xiàn)。
“這是一個(gè)非常優(yōu)雅的方程，”紐約大學(xué)的物理學(xué)家凱爾·克蘭默說(shuō)，“這個(gè)等式告訴你它們之間的關(guān)系——太陽(yáng)的存在如何扭曲時(shí)空，使地球繞著它在軌道上運(yùn)行，等等。它還告訴你宇宙自大爆炸以來(lái)是如何進(jìn)化的，并預(yù)測(cè)應(yīng)該存在黑洞?！?/p>
標(biāo)準(zhǔn)模型
標(biāo)準(zhǔn)模型是物理學(xué)的另一個(gè)主導(dǎo)理論，它描述了目前被認(rèn)為構(gòu)成宇宙的基本粒子的集合。
這個(gè)理論可以概括為一個(gè)叫做標(biāo)準(zhǔn)模型拉格朗日方程（以18世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）的主要方程，它被加利福尼亞SLAC國(guó)家加速器實(shí)驗(yàn)室的理論物理學(xué)家蘭斯·迪克森選為他最喜歡的公式。
“它成功地描述了迄今為止我們?cè)趯?shí)驗(yàn)室觀察到的所有基本粒子和力——除了重力，”迪克森說(shuō)。當(dāng)然，這包括最近發(fā)現(xiàn)的希格斯玻色子(類(lèi)似)，公式中的phi。它完全符合量子力學(xué)和狹義相對(duì)論。
然而，標(biāo)準(zhǔn)模型理論還沒(méi)有與廣義相對(duì)論結(jié)合起來(lái)，這就是為什么它不能描述重力。
微積分
前兩個(gè)方程描述了我們宇宙的特定方面，另一個(gè)最喜歡的方程可以應(yīng)用于所有的情況。微積分基本定理構(gòu)成了微積分?jǐn)?shù)學(xué)方法的主干，并將其兩個(gè)主要思想，積分的概念和導(dǎo)數(shù)的概念聯(lián)系起來(lái)。
“簡(jiǎn)單的說(shuō)，它的意義是，平穩(wěn)和持續(xù)的凈變化量（如行駛距離），在一個(gè)給定的時(shí)間間隔（即在時(shí)間間隔的端點(diǎn)處的量的值的差值）的積分等于量的變化率，即速度的積分，“福特漢姆大學(xué)數(shù)學(xué)系系主任梅爾卡納·布拉卡羅瓦-特雷維西克(Melkana Brakalova-Trevithick)說(shuō)，她最喜歡這個(gè)方程?！拔⒎e分基本定理(FTC)允許我們根據(jù)整個(gè)區(qū)間的變化速率來(lái)確定一個(gè)區(qū)間內(nèi)的凈變化。”
微積分思想的萌芽起源于古代，但大部分的統(tǒng)一應(yīng)用，是17世紀(jì)艾薩克·牛頓用微積分來(lái)描述行星圍繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)。
勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）
著名的畢達(dá)哥拉斯定理是一種“老態(tài)龍鐘”的方程，每一個(gè)初學(xué)者都能從中學(xué)到東西。
這個(gè)公式描述了，對(duì)于任何直角三角形，斜邊長(zhǎng)度的平方（直角三角形最長(zhǎng)的邊）等于其他兩個(gè)邊長(zhǎng)度的平方之和。
“第一個(gè)讓我驚訝的數(shù)學(xué)事實(shí)就是畢達(dá)哥拉斯定理，”康奈爾大學(xué)的數(shù)學(xué)家戴娜·泰米娜說(shuō)。“那時(shí)候我還是個(gè)孩子，我覺(jué)得它在幾何和數(shù)字方面都很出色！”
歐拉方程
這個(gè)簡(jiǎn)單的公式概括了球的性質(zhì)：
'它說(shuō)，如果你把球體的表面切成面，邊和頂點(diǎn)，讓F代表面的數(shù)量，E代表邊的數(shù)量和V代表頂點(diǎn)的數(shù)量，你將永遠(yuǎn)得到V - E + F = 2，'馬薩諸塞州的威廉姆斯學(xué)院的數(shù)學(xué)家科林·亞當(dāng)斯如是說(shuō)。
“比如，拿一個(gè)四面體為例，由四個(gè)三角形、六個(gè)邊和四個(gè)頂點(diǎn)組成，”亞當(dāng)斯解釋道?！叭绻阌昧Υ迪蛞粋€(gè)有彈性面的四面體，你可以把它膨脹為一個(gè)球體，從這個(gè)意義上說(shuō)，一個(gè)球體可以被切割成四個(gè)面，六個(gè)邊和四個(gè)頂點(diǎn)。我們看到V - E + F = 2。同樣的道理也適用于有五個(gè)面的金字塔（四個(gè)三角形，一個(gè)正方形），八個(gè)邊和五個(gè)頂點(diǎn)。'以及任何其他面的、邊和頂點(diǎn)的組合。
“一個(gè)非?？岬氖聦?shí)！頂點(diǎn)、邊和面的組合方式捕捉了球面形狀的一些基本特征。
狹義相對(duì)論
愛(ài)因斯坦的狹義相對(duì)論公式也被列入了這個(gè)清單。狹義相對(duì)論描述了時(shí)間和空間不是絕對(duì)的概念，而是相對(duì)的，取決于觀察者的速度。上面的方程顯示了一個(gè)人朝任何方向移動(dòng)的速度越快，時(shí)間就會(huì)膨脹或變慢。
“關(guān)鍵是它真的非常簡(jiǎn)單，”日內(nèi)瓦歐洲核子研究中心實(shí)驗(yàn)室的粒子物理學(xué)家比爾·默里(Bill Murray)說(shuō)。中學(xué)生都能計(jì)算，沒(méi)有復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)和線性代數(shù)。但它所體現(xiàn)的是一種全新的看待世界的方式，一種對(duì)現(xiàn)實(shí)的態(tài)度以及我們與現(xiàn)實(shí)的關(guān)系。突然之間，僵化不變的宇宙被一掃而空，取而代之的是與你所觀察到的有關(guān)的個(gè)人世界。你跳出宇宙的外部，向下看，研究里面的一個(gè)組成部分。但這些概念和數(shù)學(xué)可以被任何想要的人理解。
默里說(shuō)，他更喜歡狹義相對(duì)論方程，而不是愛(ài)因斯坦后期理論中更為復(fù)雜的公式?！拔矣肋h(yuǎn)無(wú)法理解廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)，”他說(shuō)。
1 = 0.999999999….
這個(gè)簡(jiǎn)單的方程，表述了數(shù)量為0.999，后面跟著無(wú)限的n，等于1，這是康奈爾大學(xué)的數(shù)學(xué)家史蒂文·斯特羅加茲最喜歡的方程。
斯特羅加茲說(shuō)：“我喜歡它的簡(jiǎn)單性（每個(gè)人都明白它的意思），但它是多么具有煽動(dòng)性?！痹S多人不相信這是真的。它也是漂亮的平衡。左邊代表數(shù)學(xué)的開(kāi)始；右邊是無(wú)限的奧秘。
歐拉—拉格朗日方程和諾特定理
紐約大學(xué)的克蘭默說(shuō)：“這些都很抽象，但卻非常強(qiáng)大?！薄坝腥さ氖?，這種對(duì)物理學(xué)的思考方式在物理學(xué)的一些重大變革中幸存了下來(lái)，比如量子力學(xué)、相對(duì)論等等?！?/p>
L表示拉格朗日量，這是對(duì)物理系統(tǒng)能量的測(cè)量，比如彈簧，杠桿或者基本粒子?？颂m默說(shuō)：“解出這個(gè)方程可以告訴你系統(tǒng)是如何隨時(shí)間而演化的?！?/p>
在20世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家埃米·諾特之后，拉格朗日方程的一個(gè)衍生被稱(chēng)為諾特定理?？颂m默說(shuō)：“這個(gè)定理對(duì)物理學(xué)和對(duì)稱(chēng)性的作用非常重要?！薄胺钦降卣f(shuō)，如果你的系統(tǒng)有一個(gè)對(duì)稱(chēng)性，那么就有一個(gè)相應(yīng)的守恒定律。例如，物理學(xué)的基本定律今天和明天是一樣的（時(shí)間對(duì)稱(chēng)）意味著能量是守恒的。物理定律在這里和在外層空間是一樣的，這意味著動(dòng)量是守恒的。對(duì)稱(chēng)性可能是基礎(chǔ)物理學(xué)的驅(qū)動(dòng)力，主要是因?yàn)橹Z特的貢獻(xiàn)。
卡蘭-西曼齊克（Callan-Symanzik）方程
羅格斯大學(xué)(Rutgers University)的理論物理學(xué)家馬特·斯特拉斯勒(Matt Strassler)表示：“卡蘭-西曼齊克方程是1970年以來(lái)一個(gè)至關(guān)重要的第一原理方程，對(duì)于描述樸素的預(yù)測(cè)在量子世界中會(huì)如何失敗至關(guān)重要?！?/p>
這個(gè)方程有很多應(yīng)用，包括物理學(xué)家可以估算質(zhì)子和中子的質(zhì)量和大小，而中子是構(gòu)成原子的原子核。
基礎(chǔ)物理學(xué)告訴我們，兩個(gè)物體之間的萬(wàn)有引力和電磁力與它們之間距離的平方成正比。簡(jiǎn)單地說(shuō)，同樣的道理也適用于強(qiáng)大的核力，它把質(zhì)子和中子結(jié)合在一起形成原子核，并把夸克結(jié)合在一起形成質(zhì)子和中子。然而，微小的量子漲落可以稍微改變力對(duì)距離的依賴，這對(duì)強(qiáng)大的核力產(chǎn)生了戲劇性的影響。
斯特拉斯勒說(shuō)：“它阻止了這種力在長(zhǎng)距離的減少，并導(dǎo)致它捕獲夸克，并將它們結(jié)合形成我們這個(gè)世界的質(zhì)子和中子。”“卡蘭 -西曼齊克方程的作用與這個(gè)巨大的難以計(jì)算的效應(yīng)相關(guān)聯(lián)，當(dāng)距離在大概質(zhì)子大小的尺寸時(shí)它很重要，當(dāng)距離比質(zhì)子尺寸小很多時(shí)它更加敏感，更容易計(jì)算其效應(yīng)?！?/p>
極小曲面方程
威廉姆斯學(xué)院的數(shù)學(xué)家弗蘭克·摩根說(shuō)：“極小曲面方程以某種方式形成了美麗的肥皂薄膜，這個(gè)你可以用金屬框伸進(jìn)肥皂水中泡一下再拿出來(lái)而制作?！薄笆聦?shí)上，這個(gè)方程是‘非線性的’，包含了冪和導(dǎo)數(shù)的乘積，其中暗含的數(shù)學(xué)表現(xiàn)在肥皂薄膜的奇怪反應(yīng)上。”這與我們更熟悉的線性偏微分方程形成了對(duì)比，比如熱方程、波動(dòng)方程和量子物理學(xué)的薛定諤方程。
歐拉線（The Euler line）
紐約數(shù)學(xué)博物館的奠基人格倫·惠特尼（Glen Whiteney）選擇了另一個(gè)幾何定理，它與歐拉線有關(guān)，以十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）來(lái)命名。
惠特尼這樣解釋?zhuān)骸斑x擇任一個(gè)三角形，畫(huà)一個(gè)包含此三角形的最小的圓，并找到其圓心。找到三角形的重心——如果把三角形從紙上切下來(lái)，針頂著重心可令它保持平衡。畫(huà)出三角形的三條垂線（過(guò)三角形任意定角，并垂直于該角對(duì)邊的線），找到它們交匯的點(diǎn)。該定理是說(shuō)，你剛才找到的同一個(gè)三角形的這三個(gè)點(diǎn)始終位于一條直線上，這條線就叫三角形的歐拉線?！?/p>
這條定理蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)的美與強(qiáng)大，數(shù)學(xué)經(jīng)常會(huì)用簡(jiǎn)潔、熟悉的形狀提示出令人驚訝的模式。
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