這個關(guān)于素數(shù)的鮮為人知但很棒的屬性可能會改變您對加密的看法

Image by F. Zielen (original of Euler by J. E. Handmann)

質(zhì)數(shù)構(gòu)成現(xiàn)代加密的基礎(chǔ)。 原因很簡單：到目前為止，我們還不了解它們的數(shù)學性質(zhì)。 但是，通過解開素數(shù)，世界將發(fā)生巨大變化。 在本文中，我介紹了一些關(guān)于素數(shù)的鮮為人知但令人敬畏的特性，它可能會改變您對密碼學的看法。 不用擔心，這在高管層上將是簡短易懂的內(nèi)容。

回顧和動機

讓我們來回顧一下：質(zhì)數(shù)是整數(shù)，只能被1除或數(shù)字本身無除。 例如，5是質(zhì)數(shù)（除數(shù)1和5），但6不是質(zhì)數(shù)（除數(shù)1，2，3和6）。

有無限質(zhì)數(shù)，但到目前為止，尚無有效的算法來確定它們。 特別是，沒有公式來計算第n個素數(shù)，也沒有遞歸的方法，即如果我們知道前面的（較小的）素數(shù)，我們就可以計算素數(shù)，也沒有明確的方式，即我們可以不知道前面的素數(shù)而直接計算素數(shù)。

例如，這使得著名的RSA密碼系統(tǒng)如此安全。 加密所需的公鑰基于兩個（很大）質(zhì)數(shù)的乘積。 如果要導出解密所需的私鑰，則'只是'需要確定該產(chǎn)品的主要因素。 但是，這目前需要花費大量計算時間，因此RSA在實踐中無法解鎖。

但是，如果我們發(fā)現(xiàn)立即計算素數(shù)的公式，將會發(fā)生什么？ 這也可能產(chǎn)生非?？焖俚乃財?shù)分解方法，這對于當今大多數(shù)密碼系統(tǒng)而言將意味著死刑。 但是，甚至有可能找到素數(shù)的公式嗎？

驚人的歐拉公式

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）是世界上最杰出的數(shù)學家之一。 在18世紀，他得出了一種如今被稱為歐拉積的公式。 在這里，我們重點介紹他開拓性發(fā)現(xiàn)的特殊情況。 即使下一行乍一看象形文字，也請不要停止閱讀。

Euler product

我們進行翻譯：等式左側(cè)的符號代表乘積。 此外，它是所有質(zhì)數(shù)的無限乘積，即我們需要用所有質(zhì)數(shù)替換變量p并乘以項。 讓我們寫下來清楚。

First factors of the Euler product

這意味著：如果我們計算以上乘積所有質(zhì)數(shù)的乘積，我們將得到明確定義的結(jié)果pi2/ 6。 太棒了，感覺像是個謎。 請讓我告訴你為什么。

破壞性后果

我們知道有無限的質(zhì)數(shù)，但是我們沒有質(zhì)數(shù)的封閉式有效表示形式（'公式'）。 有了計算能力，我們可以確定最大的已知質(zhì)數(shù)。 盡管如此，歐拉證明了如果我們根據(jù)歐拉乘積將所有素數(shù)相乘，我們將獲得pi2/ 6值-盡管我們不知道所有素數(shù)！

恕我直言，這表明到目前為止我們還沒有發(fā)現(xiàn)很多有關(guān)質(zhì)數(shù)的知識。 如果我們可以在無窮多個素數(shù)上計算出歐拉積，那么我們也應(yīng)該能夠?qū)С鏊財?shù)的公式。 例如，對于特殊質(zhì)數(shù)，閉合表示是已知的。

這表明我們必須加大數(shù)字理論研究的力度，以發(fā)現(xiàn)素數(shù)的真實性質(zhì)。 可能會迷惑于此任務(wù)的人將受到慶?；蚱群?。

奧托羅

我問自己這樣一個書呆子的話題是否會吸引讀者。 我是數(shù)論愛好者，但是，這不是我的日常工作，因此感謝您的評論。 如果您想進一步了解這些東西或數(shù)學，請告訴我，也許我會寫一篇后續(xù)文章。

(本文翻譯自Frank Zielen的文章《Why Euler's Formula for Primes could disrupt the World》，參考：https://towardsdatascience.com/why-eulers-formula-for-primes-could-disrupt-the-world-edc41bd3ba5b)