設(shè)樣本均值為
很多人可能都會有疑問，為什么要除以n-1，而不是n，但是翻閱資料，發(fā)現(xiàn)很多都是交代到，如果除以n，對樣本方差的估計(jì)不是無偏估計(jì)，比總體方差要小，要想是無偏估計(jì)就要調(diào)小分母，所以除以n-1，那么問題來了，為什么不是除以n-2、n-3等等。所以在這里徹底總結(jié)一下，首先交代一下無偏估計(jì)。
無偏估計(jì)
以例子來說明，假如你想知道一所大學(xué)里學(xué)生的平均身高是多少，一個(gè)大學(xué)好幾萬人，全部統(tǒng)計(jì)有點(diǎn)不現(xiàn)實(shí)，但是你可以先隨機(jī)挑選100個(gè)人，統(tǒng)計(jì)他們的身高，然后計(jì)算出他們的平均值，記為。如果你只是把作為整體的身高平均值，誤差肯定很大，因?yàn)槟阍匐S機(jī)挑選出100個(gè)人，身高平均值很可能就跟剛才計(jì)算的不同，為了使得統(tǒng)計(jì)結(jié)果更加精確，你需要多抽取幾次，然后分別計(jì)算出他們的平均值，分別記為：然后在把這些平均值，再做平均，記為：，這樣的結(jié)果肯定比只計(jì)算一次更加精確，隨著重復(fù)抽取的次數(shù)增多，這個(gè)期望值會越來越接近總體均值，如果滿足，這就是一個(gè)無偏估計(jì)，其中統(tǒng)計(jì)的樣本均值也是一個(gè)隨機(jī)變量，就是的一個(gè)取值。無偏估計(jì)的意義是：在多次重復(fù)下，它們的平均數(shù)接近所估計(jì)的參數(shù)真值。
介紹無偏估計(jì)的意義就是，我們計(jì)算的樣本方差，希望它是總體方差的一個(gè)無偏估計(jì)，那么假如我們的樣本方差是如下形式：
那么，我們根據(jù)無偏估計(jì)的定義可得：
由上式可以看出如果除以n，那么樣本方差比總體方差的值偏小，那么該怎么修正，使得樣本方差式總體方差的無偏估計(jì)呢？我們接著上式繼續(xù)化簡：
到這里得到如下式子，看到了什么？該怎修正似乎有點(diǎn)眉目。
如果讓我們假設(shè)的樣本方差乘以，即修正成如下形式，是不是可以得到樣本方差是總體方差的無偏估計(jì)呢？
則：
因此修正之后的樣本方差的期望是總體方差的一個(gè)無偏估計(jì)，這就是為什么分母為何要除以n-1。
