你好，歡迎來到我的《數(shù)學(xué)通識50講》，我們進(jìn)入新模塊概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)和博弈論的學(xué)習(xí)。課程進(jìn)行到這里，其實(shí)遵循著一個暗含的線索，從不確定到確定，再到不確定。
比如前面的幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)和微積分，我把它們作為數(shù)學(xué)通識課的內(nèi)容，因?yàn)樗鼈兡軒椭覀冊诘谝浑A段提高認(rèn)識，幾何學(xué)通過幾個公理和邏輯推演，讓我們認(rèn)識到很多定理，這是從不確定到確定的過程。在代數(shù)學(xué)中，求出方程的解，顯然也是把不確定的未知數(shù)確定下來。至于函數(shù)則是把變量之間的關(guān)系確定下來。
在微積分中，我們對確定性的理解從宏觀進(jìn)入到了微觀，當(dāng)然也可以從微觀來確定宏觀。微積分的出現(xiàn)，使得人類有了空前的自信，覺得那么細(xì)微、短暫的規(guī)律都能把握，那么還有什么不能把握的呢？
到了麥克斯韋的時代，他通過幾個非常確定的方程，把看不見、摸不著的電磁場描繪得清清楚楚。這樣一來，世界上不存在不確定的事情了，以至于大物理學(xué)家普朗克在選擇專業(yè)時，一度考慮要學(xué)習(xí)物理以外的學(xué)科，因?yàn)槟莻€時代的科學(xué)家們覺得物理規(guī)律都被發(fā)現(xiàn)完了，剩下的只是修修補(bǔ)補(bǔ)。
我們知道，后來普朗克恰恰成了帶有不確定性物理學(xué)，也就是量子力學(xué)的開山鼻祖。與此同時，數(shù)學(xué)的發(fā)展也開始注重對不確定性的研究了。從這一講開始，我們就來講述揭示不確定性世界規(guī)律的數(shù)學(xué)分支——概率論。
最早從數(shù)學(xué)的角度研究不確定性，尋找隨機(jī)性背后的規(guī)律的人既不是數(shù)學(xué)家，也不是科學(xué)家們，而是賭徒。他們經(jīng)常需要了解賭局中什么情況更可能出現(xiàn)，以至于好下注掙錢。我在年輕的時候一度癡迷于橋牌，打橋牌就要算牌，算算某張牌可能在誰的手里。
比如黑桃有13張牌，你和你的搭檔有9張，對方有4張。最大的兩張A和K都在你手里，但是第三大的Q在對方手里。這時你要作一個判斷，對方手中的四張黑桃，2-2分布的可能性有多大？如果超過50%，你直接打出A和K，將對方手里的Q砸死即可。但是如果1-3分配的可能性很大，而Q恰好在有三張黑桃的人的手里，你就不能這么打了。
事實(shí)上，打橋牌的人基本上背下了主要牌型分布的概率，在打牌時是靠概率趨勢，而不是運(yùn)氣。需要說明的是，各種牌型的概率通常和人們的直覺相違背，比如在剛才說的4張牌的分布中，1-3分布要比2-2分布的概率大不少，這就和我們的常識相違背。
在沒有概率論之前，算清楚牌型的概率不是很容易，而且絕大多數(shù)賭徒會因?yàn)閼{直覺判斷而出錯。莊家雖然也算不清，但是因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)多，他們在長期設(shè)賭局的生涯中會不知不覺地統(tǒng)計(jì)出來概率分布，因此通常會占到玩家的便宜。
在歷史上有明確記載的最早研究隨機(jī)性的數(shù)學(xué)家是帕斯卡和費(fèi)馬。帕斯卡就是最早發(fā)明機(jī)械計(jì)算機(jī)的那位數(shù)學(xué)家，他并不是賭徒，但是他有些賭徒朋友，那些人常常玩一種擲骰子游戲，游戲規(guī)則是由玩家連續(xù)擲4次骰子，如果其中沒有6點(diǎn)出現(xiàn)，玩家贏，如果出現(xiàn)一次6點(diǎn)，則莊家贏。
在這個賭局中，由于雙方的贏面差不多，不是大家能夠憑直覺判斷準(zhǔn)的，因此玩家并不覺得吃虧，甚至還覺得贏面大一些。但是，只要時間一長，莊家總是贏家，玩家注定是輸家。1654年，一位賭徒朋友就向帕斯卡請教，是否能證明莊家的贏面更大？
帕斯卡經(jīng)過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)莊家的贏面還真是稍微大一點(diǎn)，大約是52%vs48%。大家不要小看這多出來的四個百分點(diǎn)，累積起來，能聚斂很多財(cái)富。在研究賭局概率的過程中，帕斯卡和費(fèi)馬有很多通信，今天一般認(rèn)為他們二人創(chuàng)立了概率論。
他們二人的工作表明，雖然各種不確定性問題無法找到一個確定的答案，但是背后依然是有規(guī)律可循的。至于“52%vs48%”的結(jié)果是怎么算出來的，就是這講我留給你的思考題。
到了18世紀(jì)啟蒙時代，法國政府債臺高筑，不得不經(jīng)常發(fā)一些彩票補(bǔ)貼財(cái)政。但是由于當(dāng)時人們的數(shù)學(xué)水平普遍不高，發(fā)彩票的人其實(shí)也搞不清該如何獎勵中彩者。
著名的啟蒙學(xué)者伏爾泰是當(dāng)時最精通數(shù)學(xué)的人之一，他算出了法國政府彩票的漏洞，找到了一些只賺不賠的買彩票的方法，賺了一輩子也花不完的錢。伏爾泰一生沒有擔(dān)任任何公職，或者做生意，但是從來沒有為錢發(fā)過愁。這讓他能夠?qū)Ｐ膶懽?，研究學(xué)問。
從18世紀(jì)末到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們對概率論產(chǎn)生了濃厚的興趣，像法國的伯努利、拉普拉斯和泊松等人，德國的高斯，以及俄羅斯的切比雪夫和馬爾可夫等人，都對概率論的發(fā)展有很大的貢獻(xiàn)。經(jīng)過他們共同的努力，概率論的基礎(chǔ)理論逐漸建立起來，很多實(shí)際的問題也得到了解決。
在這些人中，劃時代的人物是拉普拉斯。拉普拉斯是一位了不起的科學(xué)家，但是卻又熱衷于當(dāng)官。他有一個著名的學(xué)生叫做拿破侖，靠這層關(guān)系他后來當(dāng)上了政府的部長。不過，他的政績不太好，因此拿破侖講，他是一個偉大的數(shù)學(xué)家，但卻是一個不太稱職的部長。不過，拉普拉斯一生在科學(xué)上的貢獻(xiàn)還是非常大的，比如關(guān)于宇宙構(gòu)成的星云說，就是由他完成的。
數(shù)學(xué)家拉普拉斯
當(dāng)然他最為人所知的是以他的名字命名的拉普拉斯變換。在概率論方面，拉普拉斯定義了什么是概率，以及它該如何計(jì)算。在拉普拉斯之前，人們對“有可能”和“概率大”是分不清的。其實(shí)你今天問一些人，買彩票中彩的概率是多少？他依然會說50%，因?yàn)橹挥兄胁屎筒恢胁蕛煞N情況。
拉普拉斯是如何定義概率的呢?他先定義了一種可能性相同的基本隨機(jī)事件，也稱為單位事件。
比如我們同時擲兩個骰子，兩個骰子的點(diǎn)加起來可以是從2到12之間的任何正數(shù)。那么我問你，這些數(shù)出現(xiàn)的概率相等嗎？很多人會認(rèn)為相等，因?yàn)閺?到12一共有11種情況，每一種情況的概率就是1/11。但是，這11種情況并非基本的隨機(jī)事件，而是可以拆分為更小的單位事件。
比如兩個骰子加起來是5點(diǎn)，里面包含了四種單位事件，即第一個骰子的點(diǎn)數(shù)是1，2，3，4，第二個的點(diǎn)數(shù)是4，3，2，1?；趩挝皇录母拍睿绽苟x了古典的概率公式，即
在上面擲骰子的問題中，兩個骰子點(diǎn)數(shù)的組合有36種，即當(dāng)?shù)谝粋€骰子是1點(diǎn)時，第二個骰子為1～6點(diǎn)六種情況。當(dāng)?shù)谝粋€骰子是兩點(diǎn)時，第二個骰子為1～6點(diǎn)六種情況，等等，算下來一共是36種。每一種不可再分，都是單位事件。單位事件的概率稱為原子概率，在這個例子中，原子概率就是1/36。
如果我們要計(jì)算兩個骰子加起來是5點(diǎn)的情況，只要數(shù)數(shù)里面包括了多少單位事件，它里面有4個單位事件，然后我們用4除以總數(shù)36即可，這樣算下來，兩個骰子加起來為5點(diǎn)的概率是1/9。用這種方法我們會發(fā)現(xiàn)2點(diǎn)和12點(diǎn)的概率最小，是1/36，中間7點(diǎn)的概率最大，是1/6。因此這11種情況并不是等概率。
根據(jù)拉普拉斯對概率的定義，所有可能發(fā)生的情況放在一起，構(gòu)成了一個隨機(jī)事件總的集合（也稱為概率空間）。任何一個隨機(jī)事件，都是隨機(jī)事件總集合里的一個子集。
比如擲兩個骰子，隨機(jī)事件總的集合就包含那36種情況。而某個隨機(jī)事件，比如“兩個骰子總點(diǎn)數(shù)大于10”，就是其中的一個子集，這個子集包含三個單位事件，即第一個骰子是5點(diǎn)，第二個骰子是6點(diǎn)，或者反過來，兩個骰子都是六點(diǎn)。
如果一個隨機(jī)事件，包含了隨機(jī)事件空間中所有的單位事件，那么這個事件必然會發(fā)生，它被稱為必然事件，概率就是1。另一方面，如果一個隨機(jī)事件不包括隨機(jī)事件空間中任何一個單位事件，它就不可能發(fā)生，被稱為不可能事件，概率為零。剩下來的隨機(jī)事件，概率都在0和1之間，里面包含的單位事件越多，概率就越大，用通俗的話講，就是發(fā)生的可能性越大。
拉普拉斯對于概率論的描述其實(shí)有不少漏洞，比如在現(xiàn)實(shí)中是否存在著可能性完全相等的單位事件，這本身就是一個大問號。我們知道，沒有骰子是完美對稱的，因此和骰子相關(guān)的概率問題似乎就不存在單位事件了。當(dāng)然，這還不是拉普拉斯定義中最大的缺陷，他給出的定義本身有循環(huán)定義的嫌疑。
拉普拉斯為了說明一個隨機(jī)事件A的概率，用了等可能性的單位事件這個說法。但是在沒有概率的定義之前，等可能性又從何談起？此外，根據(jù)拉普拉斯的定義，要先已知隨機(jī)事件空間，或者說各種可能性總的集合，比如擲骰子我們需要知道一個骰子有六種結(jié)果。
但是對于未來的預(yù)測，常常無法把各種隨機(jī)性都列舉出來。比如醫(yī)療保險(xiǎn)公司無法確定一個60歲的人在接下來的3年里得大病的概率，因?yàn)闊o法知道都可能發(fā)生什么意外。不過由于拉普拉斯這種定義大家都能理解，也就暫時不追究其嚴(yán)密性了。
隨機(jī)性是一種自然的屬性，我們無法否認(rèn)它的存在，它導(dǎo)致很多結(jié)果變得不確定。但是對于特定的隨機(jī)試驗(yàn)，它得到什么結(jié)果，還是有規(guī)律可循的，于是數(shù)學(xué)家們用了一個概率的概念來描述這種不確定性。雖然人類最初的動機(jī)和金錢相關(guān)，但是一旦掌握了不確定性背后的規(guī)律，就從自發(fā)狀態(tài)進(jìn)入了自由狀態(tài)。
下一講我們就來了解一下有關(guān)隨機(jī)性的規(guī)律是什么樣的，它們又是怎樣被一步步地了解的。我們下一講再見?！獏擒姟稊?shù)學(xué)通識五十講》
