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概率簡史:一門來自賭徒的學(xué)問

你好,歡迎來到我的《數(shù)學(xué)通識50講》,我們進(jìn)入新模塊概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)和博弈論的學(xué)習(xí)。課程進(jìn)行到這里,其實(shí)遵循著一個暗含的線索,從不確定到確定,再到不確定。

比如前面的幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)和微積分,我把它們作為數(shù)學(xué)通識課的內(nèi)容,因?yàn)樗鼈兡軒椭覀冊诘谝浑A段提高認(rèn)識,幾何學(xué)通過幾個公理和邏輯推演,讓我們認(rèn)識到很多定理,這是從不確定到確定的過程。在代數(shù)學(xué)中,求出方程的解,顯然也是把不確定的未知數(shù)確定下來。至于函數(shù)則是把變量之間的關(guān)系確定下來。

在微積分中,我們對確定性的理解從宏觀進(jìn)入到了微觀,當(dāng)然也可以從微觀來確定宏觀。微積分的出現(xiàn),使得人類有了空前的自信,覺得那么細(xì)微、短暫的規(guī)律都能把握,那么還有什么不能把握的呢?

到了麥克斯韋的時代,他通過幾個非常確定的方程,把看不見、摸不著的電磁場描繪得清清楚楚。這樣一來,世界上不存在不確定的事情了,以至于大物理學(xué)家普朗克在選擇專業(yè)時,一度考慮要學(xué)習(xí)物理以外的學(xué)科,因?yàn)槟莻€時代的科學(xué)家們覺得物理規(guī)律都被發(fā)現(xiàn)完了,剩下的只是修修補(bǔ)補(bǔ)。

我們知道,后來普朗克恰恰成了帶有不確定性物理學(xué),也就是量子力學(xué)的開山鼻祖。與此同時,數(shù)學(xué)的發(fā)展也開始注重對不確定性的研究了。從這一講開始,我們就來講述揭示不確定性世界規(guī)律的數(shù)學(xué)分支——概率論。

概率論起源

最早從數(shù)學(xué)的角度研究不確定性,尋找隨機(jī)性背后的規(guī)律的人既不是數(shù)學(xué)家,也不是科學(xué)家們,而是賭徒。他們經(jīng)常需要了解賭局中什么情況更可能出現(xiàn),以至于好下注掙錢。我在年輕的時候一度癡迷于橋牌,打橋牌就要算牌,算算某張牌可能在誰的手里。

比如黑桃有13張牌,你和你的搭檔有9張,對方有4張。最大的兩張A和K都在你手里,但是第三大的Q在對方手里。這時你要作一個判斷,對方手中的四張黑桃,2-2分布的可能性有多大?如果超過50%,你直接打出A和K,將對方手里的Q砸死即可。但是如果1-3分配的可能性很大,而Q恰好在有三張黑桃的人的手里,你就不能這么打了。

事實(shí)上,打橋牌的人基本上背下了主要牌型分布的概率,在打牌時是靠概率趨勢,而不是運(yùn)氣。需要說明的是,各種牌型的概率通常和人們的直覺相違背,比如在剛才說的4張牌的分布中,1-3分布要比2-2分布的概率大不少,這就和我們的常識相違背。

在沒有概率論之前,算清楚牌型的概率不是很容易,而且絕大多數(shù)賭徒會因?yàn)閼{直覺判斷而出錯。莊家雖然也算不清,但是因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)多,他們在長期設(shè)賭局的生涯中會不知不覺地統(tǒng)計(jì)出來概率分布,因此通常會占到玩家的便宜。

在歷史上有明確記載的最早研究隨機(jī)性的數(shù)學(xué)家是帕斯卡和費(fèi)馬。帕斯卡就是最早發(fā)明機(jī)械計(jì)算機(jī)的那位數(shù)學(xué)家,他并不是賭徒,但是他有些賭徒朋友,那些人常常玩一種擲骰子游戲,游戲規(guī)則是由玩家連續(xù)擲4次骰子,如果其中沒有6點(diǎn)出現(xiàn),玩家贏,如果出現(xiàn)一次6點(diǎn),則莊家贏。

在這個賭局中,由于雙方的贏面差不多,不是大家能夠憑直覺判斷準(zhǔn)的,因此玩家并不覺得吃虧,甚至還覺得贏面大一些。但是,只要時間一長,莊家總是贏家,玩家注定是輸家。1654年,一位賭徒朋友就向帕斯卡請教,是否能證明莊家的贏面更大?

帕斯卡經(jīng)過計(jì)算,發(fā)現(xiàn)莊家的贏面還真是稍微大一點(diǎn),大約是52%vs48%。大家不要小看這多出來的四個百分點(diǎn),累積起來,能聚斂很多財(cái)富。在研究賭局概率的過程中,帕斯卡和費(fèi)馬有很多通信,今天一般認(rèn)為他們二人創(chuàng)立了概率論。

他們二人的工作表明,雖然各種不確定性問題無法找到一個確定的答案,但是背后依然是有規(guī)律可循的。至于“52%vs48%”的結(jié)果是怎么算出來的,就是這講我留給你的思考題。

概率論的發(fā)展

到了18世紀(jì)啟蒙時代,法國政府債臺高筑,不得不經(jīng)常發(fā)一些彩票補(bǔ)貼財(cái)政。但是由于當(dāng)時人們的數(shù)學(xué)水平普遍不高,發(fā)彩票的人其實(shí)也搞不清該如何獎勵中彩者。

著名的啟蒙學(xué)者伏爾泰是當(dāng)時最精通數(shù)學(xué)的人之一,他算出了法國政府彩票的漏洞,找到了一些只賺不賠的買彩票的方法,賺了一輩子也花不完的錢。伏爾泰一生沒有擔(dān)任任何公職,或者做生意,但是從來沒有為錢發(fā)過愁。這讓他能夠?qū)P膶懽?,研究學(xué)問。

從18世紀(jì)末到19世紀(jì),數(shù)學(xué)家們對概率論產(chǎn)生了濃厚的興趣,像法國的伯努利、拉普拉斯和泊松等人,德國的高斯,以及俄羅斯的切比雪夫和馬爾可夫等人,都對概率論的發(fā)展有很大的貢獻(xiàn)。經(jīng)過他們共同的努力,概率論的基礎(chǔ)理論逐漸建立起來,很多實(shí)際的問題也得到了解決。

在這些人中,劃時代的人物是拉普拉斯。拉普拉斯是一位了不起的科學(xué)家,但是卻又熱衷于當(dāng)官。他有一個著名的學(xué)生叫做拿破侖,靠這層關(guān)系他后來當(dāng)上了政府的部長。不過,他的政績不太好,因此拿破侖講,他是一個偉大的數(shù)學(xué)家,但卻是一個不太稱職的部長。不過,拉普拉斯一生在科學(xué)上的貢獻(xiàn)還是非常大的,比如關(guān)于宇宙構(gòu)成的星云說,就是由他完成的。

數(shù)學(xué)家拉普拉斯

當(dāng)然他最為人所知的是以他的名字命名的拉普拉斯變換。在概率論方面,拉普拉斯定義了什么是概率,以及它該如何計(jì)算。在拉普拉斯之前,人們對“有可能”和“概率大”是分不清的。其實(shí)你今天問一些人,買彩票中彩的概率是多少?他依然會說50%,因?yàn)橹挥兄胁屎筒恢胁蕛煞N情況。

拉普拉斯是如何定義概率的呢?他先定義了一種可能性相同的基本隨機(jī)事件,也稱為單位事件。

比如我們同時擲兩個骰子,兩個骰子的點(diǎn)加起來可以是從2到12之間的任何正數(shù)。那么我問你,這些數(shù)出現(xiàn)的概率相等嗎?很多人會認(rèn)為相等,因?yàn)閺?到12一共有11種情況,每一種情況的概率就是1/11。但是,這11種情況并非基本的隨機(jī)事件,而是可以拆分為更小的單位事件。

比如兩個骰子加起來是5點(diǎn),里面包含了四種單位事件,即第一個骰子的點(diǎn)數(shù)是1,2,3,4,第二個的點(diǎn)數(shù)是4,3,2,1?;趩挝皇录母拍睿绽苟x了古典的概率公式,即

在上面擲骰子的問題中,兩個骰子點(diǎn)數(shù)的組合有36種,即當(dāng)?shù)谝粋€骰子是1點(diǎn)時,第二個骰子為1~6點(diǎn)六種情況。當(dāng)?shù)谝粋€骰子是兩點(diǎn)時,第二個骰子為1~6點(diǎn)六種情況,等等,算下來一共是36種。每一種不可再分,都是單位事件。單位事件的概率稱為原子概率,在這個例子中,原子概率就是1/36。

如果我們要計(jì)算兩個骰子加起來是5點(diǎn)的情況,只要數(shù)數(shù)里面包括了多少單位事件,它里面有4個單位事件,然后我們用4除以總數(shù)36即可,這樣算下來,兩個骰子加起來為5點(diǎn)的概率是1/9。用這種方法我們會發(fā)現(xiàn)2點(diǎn)和12點(diǎn)的概率最小,是1/36,中間7點(diǎn)的概率最大,是1/6。因此這11種情況并不是等概率。

根據(jù)拉普拉斯對概率的定義,所有可能發(fā)生的情況放在一起,構(gòu)成了一個隨機(jī)事件總的集合(也稱為概率空間)。任何一個隨機(jī)事件,都是隨機(jī)事件總集合里的一個子集。

比如擲兩個骰子,隨機(jī)事件總的集合就包含那36種情況。而某個隨機(jī)事件,比如“兩個骰子總點(diǎn)數(shù)大于10”,就是其中的一個子集,這個子集包含三個單位事件,即第一個骰子是5點(diǎn),第二個骰子是6點(diǎn),或者反過來,兩個骰子都是六點(diǎn)。

如果一個隨機(jī)事件,包含了隨機(jī)事件空間中所有的單位事件,那么這個事件必然會發(fā)生,它被稱為必然事件,概率就是1。另一方面,如果一個隨機(jī)事件不包括隨機(jī)事件空間中任何一個單位事件,它就不可能發(fā)生,被稱為不可能事件,概率為零。剩下來的隨機(jī)事件,概率都在0和1之間,里面包含的單位事件越多,概率就越大,用通俗的話講,就是發(fā)生的可能性越大。

拉普拉斯對于概率論的描述其實(shí)有不少漏洞,比如在現(xiàn)實(shí)中是否存在著可能性完全相等的單位事件,這本身就是一個大問號。我們知道,沒有骰子是完美對稱的,因此和骰子相關(guān)的概率問題似乎就不存在單位事件了。當(dāng)然,這還不是拉普拉斯定義中最大的缺陷,他給出的定義本身有循環(huán)定義的嫌疑。

拉普拉斯為了說明一個隨機(jī)事件A的概率,用了等可能性的單位事件這個說法。但是在沒有概率的定義之前,等可能性又從何談起?此外,根據(jù)拉普拉斯的定義,要先已知隨機(jī)事件空間,或者說各種可能性總的集合,比如擲骰子我們需要知道一個骰子有六種結(jié)果。

但是對于未來的預(yù)測,常常無法把各種隨機(jī)性都列舉出來。比如醫(yī)療保險(xiǎn)公司無法確定一個60歲的人在接下來的3年里得大病的概率,因?yàn)闊o法知道都可能發(fā)生什么意外。不過由于拉普拉斯這種定義大家都能理解,也就暫時不追究其嚴(yán)密性了。

要點(diǎn)總結(jié):

隨機(jī)性是一種自然的屬性,我們無法否認(rèn)它的存在,它導(dǎo)致很多結(jié)果變得不確定。但是對于特定的隨機(jī)試驗(yàn),它得到什么結(jié)果,還是有規(guī)律可循的,于是數(shù)學(xué)家們用了一個概率的概念來描述這種不確定性。雖然人類最初的動機(jī)和金錢相關(guān),但是一旦掌握了不確定性背后的規(guī)律,就從自發(fā)狀態(tài)進(jìn)入了自由狀態(tài)。

下一講我們就來了解一下有關(guān)隨機(jī)性的規(guī)律是什么樣的,它們又是怎樣被一步步地了解的。我們下一講再見?!獏擒姟稊?shù)學(xué)通識五十講》

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