自有記錄的歷史開始以來，數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)就一直處于每一個(gè)文明社會(huì)的前沿，甚至在最原始的文化中也得到應(yīng)用。數(shù)學(xué)的需求是建立在社會(huì)需求的基礎(chǔ)上的。社會(huì)越復(fù)雜，數(shù)學(xué)需求就越復(fù)雜。原始部落所需要的僅僅是數(shù)數(shù)的能力，他們還依靠數(shù)學(xué)來計(jì)算太陽的位置和狩獵的物理原理。

數(shù)學(xué)史

我們今天所知道的，在中國(guó)，印度，埃及，中美洲和美索不達(dá)米亞的幾個(gè)文明為數(shù)學(xué)做出了貢獻(xiàn)。蘇美爾人是最早建立計(jì)數(shù)系統(tǒng)的人。數(shù)學(xué)家開發(fā)了算術(shù)，其中包括基本運(yùn)算，乘法，分?jǐn)?shù)和平方根。蘇美爾人的體系通過公元前300年的阿卡德帝國(guó)傳給巴比倫人。600年后，在美國(guó)，瑪雅人發(fā)展了復(fù)雜的歷法系統(tǒng)。大約在這個(gè)時(shí)候，零的概念得以發(fā)展。

隨著文明的發(fā)展，數(shù)學(xué)家開始研究幾何學(xué)，通過計(jì)算面積和體積來測(cè)量角度，并有許多實(shí)際應(yīng)用。幾何學(xué)被用于從家庭建筑到時(shí)尚和室內(nèi)設(shè)計(jì)的一切。

幾何學(xué)與代數(shù)密切相關(guān)，9世紀(jì)由波斯數(shù)學(xué)家穆罕默德·伊本·穆薩·阿勒霍瓦里茲米發(fā)明。他還開發(fā)了快速乘法和跳轉(zhuǎn)數(shù)字的方法，這些方法被稱為算法

代數(shù)為文明提供了一種劃分遺產(chǎn)和分配資源的方式。對(duì)代數(shù)的研究意味著數(shù)學(xué)家要解線性方程組和系統(tǒng)，也要解二次方程，并深入研究正解和負(fù)解。古代數(shù)學(xué)家也開始研究數(shù)論。數(shù)論起源于形狀的構(gòu)造，研究數(shù)字的形狀、數(shù)字的特征和定理。

數(shù)學(xué)與希臘人

早期文明中對(duì)數(shù)學(xué)的研究是希臘人奠定了數(shù)學(xué)的基石，他們通過幾何發(fā)展了抽象數(shù)學(xué)的模型。希臘，以其令人難以置信的建筑和復(fù)雜的政府體系，一直是數(shù)學(xué)成就的典范，直到現(xiàn)代。希臘數(shù)學(xué)家被分成幾個(gè)學(xué)派：

• 愛奧尼亞學(xué)派，由泰勒斯創(chuàng)立，常被認(rèn)為是第一個(gè)給出演繹證明并發(fā)展了平面幾何的五個(gè)基本定理的人。
• 畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）創(chuàng)建的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派（Pythagorean School）研究比例，平面和實(shí)體幾何以及數(shù)論
• 埃里克派的埃洛派（Eleatic School），以他的四個(gè)悖論而聞名。詭辯學(xué)校，因在先進(jìn)的希臘城市提供高等教育而受到贊譽(yù)。
• 詭辯學(xué)校，因在先進(jìn)的希臘城市提供高等教育而受到贊譽(yù)。詭辯家使用抽象推理來進(jìn)行公開辯論。
• 柏拉圖學(xué)派，由柏拉圖創(chuàng)立，他鼓勵(lì)在類似于現(xiàn)代大學(xué)的環(huán)境中進(jìn)行數(shù)學(xué)研究。
• 由尤多克斯（Eudoxus）創(chuàng)立的尤多克斯學(xué)院（Eudoxus），他發(fā)展了比例和大小理論并提出了許多平面幾何定理
• 亞里斯多德學(xué)派，也被稱為學(xué)園，由亞里士多德創(chuàng)立，并遵循柏拉圖式的學(xué)校。

除了上面列出的希臘數(shù)學(xué)家，一些希臘人在數(shù)學(xué)史上留下了不可磨滅的印記。阿基米德、阿波羅、丟番圖、帕普斯和歐幾里得都來自這個(gè)時(shí)代。為了更好地理解序列以及這些數(shù)學(xué)家是如何相互影響的，請(qǐng)?jiān)L問這個(gè)時(shí)間線。

在這段時(shí)間里，數(shù)學(xué)家開始研究三角學(xué)。在計(jì)算性質(zhì)上，三角法需要測(cè)量角度和計(jì)算三角函數(shù)，包括正弦、余弦、正切和它們的倒數(shù)。三角法依賴于像歐幾里得這樣的希臘數(shù)學(xué)家發(fā)展的綜合幾何。例如，托勒密定理給出了角和差和弦的規(guī)則，它們對(duì)應(yīng)于正弦和余弦的和差公式。在過去的文化中，三角學(xué)被應(yīng)用于天文學(xué)和天球角度的計(jì)算

羅馬帝國(guó)滅亡后，阿拉伯人接著是歐洲人，開始了數(shù)學(xué)的發(fā)展。斐波那契是歐洲最早的數(shù)學(xué)家之一，他以算術(shù)、代數(shù)和幾何學(xué)理論聞名。文藝復(fù)興導(dǎo)致了包括小數(shù)、對(duì)數(shù)和射影幾何在內(nèi)的進(jìn)步。數(shù)論得到了極大的發(fā)展，概率論、解析幾何等理論開創(chuàng)了以微積分為核心的數(shù)學(xué)新時(shí)代

微積分的發(fā)展

在17世紀(jì)，艾薩克·牛頓和戈特弗里德·萊布尼茨獨(dú)立發(fā)展了微積分的基礎(chǔ)。微積分的發(fā)展經(jīng)歷了預(yù)期、發(fā)展和嚴(yán)格三個(gè)階段。在預(yù)期階段，數(shù)學(xué)家們?cè)噲D使用涉及無限過程的技術(shù)來尋找曲線下的區(qū)域面積或得到極大值和極小值。在發(fā)展階段，牛頓和萊布尼茨通過導(dǎo)數(shù)和積分將這些技術(shù)結(jié)合在一起。雖然他們的方法在邏輯上并不總是正確的，但在18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們對(duì)其不斷嚴(yán)格化，并且能夠證明他們是正確的，今天，我們用極限來定義導(dǎo)數(shù)和積分。

與微積分不同的是，微積分是一種連續(xù)數(shù)學(xué)，其他數(shù)學(xué)家則采用了一種更理論化的方法。離散數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它處理的對(duì)象只能假定不同的、分離的值。離散對(duì)象可以用整數(shù)來表示，而連續(xù)對(duì)象需要實(shí)數(shù)。離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)的數(shù)學(xué)語言，因?yàn)樗怂惴ǖ难芯?。離散數(shù)學(xué)的領(lǐng)域包括組合學(xué)、圖論和計(jì)算理論。

人們常常想知道數(shù)學(xué)家在今天有什么意義。在現(xiàn)代世界，數(shù)學(xué)，比如應(yīng)用數(shù)學(xué)，不僅相關(guān)，而且至關(guān)重要。應(yīng)用數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，涉及到物理、生物或社會(huì)學(xué)領(lǐng)域的研究。應(yīng)用數(shù)學(xué)的理念是創(chuàng)造一組解決科學(xué)問題的方法。應(yīng)用數(shù)學(xué)的現(xiàn)代領(lǐng)域包括數(shù)學(xué)物理、數(shù)學(xué)生物學(xué)、控制理論、航空航天工程和數(shù)學(xué)金融。應(yīng)用數(shù)學(xué)不僅解決問題，而且發(fā)現(xiàn)新的問題或發(fā)展新的工程學(xué)科。應(yīng)用數(shù)學(xué)家需要有數(shù)學(xué)和科學(xué)的許多領(lǐng)域、物理直覺、常識(shí)和協(xié)作方面的專業(yè)知識(shí)。應(yīng)用數(shù)學(xué)中常用的方法是建立一個(gè)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，解決該模型，并提出改進(jìn)性能的建議。

雖然與應(yīng)用數(shù)學(xué)不一定相反，純數(shù)學(xué)是由抽象問題驅(qū)動(dòng)的，而不是現(xiàn)實(shí)世界的問題。純數(shù)學(xué)家所追求的很多東西都可以從具體的物理問題中找到根源，但對(duì)這些現(xiàn)象的深入理解會(huì)帶來問題和技術(shù)性問題。這些抽象問題和技術(shù)性問題正是純數(shù)學(xué)試圖解決的，這些嘗試為人類帶來了重大發(fā)現(xiàn)，包括艾倫·圖靈在1937年提出的“通用圖靈機(jī)”理論。通用圖靈機(jī)最初只是一個(gè)抽象概念，后來為現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。純數(shù)學(xué)是抽象的，基于理論，因此不受物理世界的限制。

根據(jù)一位純粹數(shù)學(xué)家的說法，純粹數(shù)學(xué)家證明定理，而應(yīng)用數(shù)學(xué)家構(gòu)造理論。純粹和應(yīng)用并不是相互排斥的，但它們植根于數(shù)學(xué)和解決問題的不同領(lǐng)域。雖然純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)所涉及的復(fù)雜數(shù)學(xué)超出了大多數(shù)人的理解，但從這些過程中發(fā)展出來的解決方案已經(jīng)影響并改善了所有人的生活。