斐波那契數(shù)列是一個眾所周知的且經(jīng)過研究的數(shù)字序列，經(jīng)常在學(xué)校和休閑數(shù)學(xué)中使用，因為它很容易被那些受過有限的專業(yè)數(shù)學(xué)教育的人理解。序列的定義如下：第一項是零，第二項是一，任何其他項都是序列前兩項的和。這個序列的正式寫法如下
當(dāng)n> 1時。序列的前十項為0、1、1、2、3、5、8、13、21、34。
有大量證據(jù)表明，這些數(shù)字是Sanskit詩歌傳統(tǒng)的一部分，在2000年前就為人們所熟知。在歐洲，該序列首次出現(xiàn)在1202 年斐波那契的書Liber Abaci中，在那里他用它來模擬兔子種群。如今，該序列已在許多領(lǐng)域得到應(yīng)用，包括經(jīng)濟學(xué)，光學(xué)和金融市場交易
斐波那契數(shù)具有很多有趣且令人驚訝的特性，在此我將舉例說明和證明其中兩個。兩種證明都將使用數(shù)學(xué)歸納法
1.數(shù)學(xué)歸納法
如果您不熟悉數(shù)學(xué)歸納法，請這樣考慮。想象一下，我擁有一套永無止境的多米諾骨牌，而我將把它們?nèi)颊酒饋?，形成一串多米諾骨牌，它們將永遠(yuǎn)相互撞倒。為確保發(fā)生這種情況，我需要了解以下內(nèi)容：
第一個多米諾骨牌被擊倒了。
2.碰到任何多米諾骨牌都會導(dǎo)致下一個多米諾骨牌被碰倒。
以類似的方式，我們可以通過證明以下事實來證明對于所有數(shù)字n都是正確的：
1. n = 1時成立(稱為歸納開始)
2. 如果n = k成立，那么n = k + 1也成立。(這被稱為歸納步驟。即證明如果所有n≤k都成立，那么n = k + 1也成立。)
2。關(guān)于“斐波那契三胞胎”的一個有趣的結(jié)果
三個連續(xù)的斐波那契數(shù)的所有組之間都有一種迷人的關(guān)系。在我們將定理和證明形式化之前，這里首先是一個例子。
例2.1：如果您采用任意三個連續(xù)的斐波那契數(shù)，則中間數(shù)的平方與外部兩個數(shù)的乘積始終不超過1。觀察連續(xù)的三元組8、13、21，可以看到168 ﹣169 = -1。如果您查看后面的三元組89、144、233，我們會看到20737 ﹣20736 = 1。
讓我們正式證明這個結(jié)果。
定理2.2：對于任何三個連續(xù)的斐波那契數(shù)集
證明：為了從n= 1 開始?xì)w納，我們看到前兩個斐波那契數(shù)是0和1，并且根據(jù)需要0 ﹣ 1 = -1?，F(xiàn)在對于歸納步驟，我們假設(shè)對于n = k，結(jié)果為true ，即：
現(xiàn)在我們來看n= k + 1的情況，我們觀察到：
現(xiàn)在我們從假設(shè)中知道
將其代入先前的等式，我們得到：
最后，可以將其重新排列為：
這是n=k+1所需的結(jié)果。
3.在斐波那契數(shù)列中“跳躍式前進(jìn)”
如果你認(rèn)為在不知道前兩項的情況下，是不可能計算斐波那契數(shù)列中的一項的，這是可以理解的，但這并不完全正確。下面的結(jié)果可以讓您基于在序列中相當(dāng)靠后的項來計算項的值。
定理3.1：對于任何正整數(shù)m和n：
證明：我們對m使用歸納法。對于m = 1，方程簡化為一個平凡恒等式，因此建立了歸納法。
現(xiàn)在我們假設(shè)結(jié)果對m = k成立我們的目標(biāo)是證明它對m = k + 1成立。我們來看看方程的右邊m = k + 1的情況。
例3.2:為了好玩，讓我們來計算第21個斐波那契數(shù)——這將演示如何構(gòu)建算法來構(gòu)造非常大的斐波那契數(shù)。首先，我們可以說，20 = 10 + 10，遞歸地工作，直到我們找到早期的斐波那契數(shù)的值：
