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1．曲線與方程的定義
一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)＝0的實數(shù)解建立如下的對應關系：
那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。
2．求動點的軌跡方程的基本步驟
考點一、直接法求軌跡方程
例1已知△ABC的頂點B(0，0)，C(5，0)，AB邊上的中線長|CD|＝3，則頂點A的軌跡方程為________.
[答案] (1) A (2) (2，2)
[解析] 設A(x，y)，由題意可知Dx2，y2.
又∵|CD|＝3，∴x2－52＋y22＝9，即(x－10)2＋y2＝36，
由于A，B，C三點不共線，∴點A不能落在x軸上，即y≠0，
∴點A的軌跡方程為(x－10)2＋y2＝36(y≠0).
[類題通法]
直接法求軌跡方程時最關鍵的就是把幾何條件或等量關系翻譯為代數(shù)方程，要注意翻譯的等價性。
通常將步驟簡記為建系設點、列式、代換、化簡、證明這五個步驟，但最后的證明可以省略，如果給出了直角坐標系則可省去建系這一步，求出曲線的方程后還需注意檢驗方程的純粹性和完備性。
[對點訓練]
在平面直角坐標系xOy中，點B與點A(－1，1)關于原點O對稱，P是動點且直線AP與BP的斜率之積等于－13，則動點P的軌跡方程為________________．
[答案] x2＋3y2＝4(x≠±1)
[解析]
因為點B與點A(－1，1)關于原點O對稱，
所以點B的坐標為(1，－1)．
設點P的坐標為(x，y)，
由題意得y－1x＋1·y＋1x－1＝－13，化簡得x2＋3y2＝4(x≠±1)，
故動點P的軌跡方程為x2＋3y2＝4(x≠±1)
考點二、相關點(代入)法求軌跡方程
例2設F(1,0)，M點在x軸上，P點在y軸上，且MN―→＝2MP―→，PM―→⊥PF―→，當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡方程[解析] 設M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，考點三、定義法求軌跡方程
例3已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動圓P與圓M外切并且與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線C.求C的方程
[解析]
由已知得圓M的圓心為M(－1，0)，半徑r1＝1；
圓N的圓心為N(1，0)，半徑r2＝3.
設圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.
因為圓P與圓M外切并且與圓N內切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2
由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點，長半軸長為2，短半軸長為3的橢圓(左頂點除外)，其方程為 x24＋y23＝1(x≠－2)
【變式1】將本例的條件“動圓P與圓M外切并且與圓N內切”改為“動圓P與圓M、圓N都外切”，求圓心P的軌跡方程
[解析]
由已知得圓M的圓心為M(－1，0)，半徑r1＝1；
圓N的圓心為N(1，0)，半徑r2＝3.
設圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R，
因為圓P與圓M，N都外切，
所以|PM|－|PN|＝(R＋r1)－(R＋r2)＝r1－r2＝－2，
即|PN|－|PM|＝2，又|MN|＝2
所以點P的軌跡方程為y＝0(x<－2)
【變式2】把本例中圓M的方程換為：(x＋3)2＋y2＝1，圓N的方程換為：(x－3)2＋y2＝1，求圓心P的軌跡方程
[解析]
由已知條件可知圓M和N外離，所以|PM|＝1＋R，|PN|＝R－1，
故|PM|－|PN|＝(1＋R)－(R－1)＝2<|MN|＝6，
由雙曲線的定義知點P的軌跡是雙曲線的右支
其方程為x2－y28＝1(x>1)
【變式3】在本例中，若動圓P過圓N的圓心，并且與直線x＝－1相切，求圓心P的軌跡方程
[解析]
由于點P到定點N(1，0)和定直線x＝－1的距離相等，
所以根據(jù)拋物線的定義可知，
點P的軌跡是以N(1，0)為焦點，以x軸為對稱軸、開口向右的拋物線，
故其方程為y2＝4x
[類題通法]
應用定義法求軌跡方程的關鍵在于由已知條件推出關于動點的等量關系式，由等量關系結合曲線定義判斷是何種曲線，再設出標準方程，用待定系數(shù)法求解
[對點訓練]
設圓x2＋y2＋2x－15＝0的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E
(1)證明|EA|＋|EB|為定值；
(2)求點E的軌跡方程，并求它的離心率
[解析]
(1)證明：因為|AD|＝|AC|，EB∥AC，
所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圓A的標準方程為(x＋1)2＋y2＝16，從而|AD|＝4，
所以|EA|＋|EB|＝4
(2)由圓A方程(x＋1)2＋y2＝16，知A(－1,0)．又B(1,0)，
因此|AB|＝2，則|EA|＋|EB|＝4>|AB|
由橢圓定義，知點E的軌跡是以A，B為焦點，長軸長為4的橢圓(不含與x軸的交點)
所以a＝2，c＝1，則b2＝a2－c3＝3
所以點E的軌跡方程為x24＋y23＝1(y≠0)
故曲線方程的離心率e＝ca＝12
