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世界頂尖數學家、前哈佛數學系主任、現于清華大學任教的

丘成桐，在接受“人文清華”的采訪時，

有一句話刷屏了：

其它學科只是“逼近”真理，而數學本身“就是”真理

想要弄清楚這一問題，

就必須要弄清楚科學-數學-哲學的關系！

科學的基礎，是數學和哲學

哲學，規(guī)定了科學認知的“方法論”

數學，則是研究與描述科學的“工具”！

一、科學與哲學的關系

當代科學發(fā)展成今天這個樣子

其實是以“哲學”中的”認識論“為基礎的。

哲學研究的重要主題之一，是：

人類應該如何去認識世界

不同的認識論，

當然就會導致對世界不同的認知方式。

正如復旦大學網紅教授、哲學家王德峰所言

科學不需要哲學對它進行概括和總結，
而是科學向來依賴哲學做它的基礎的前提！

以下為王德峰教授所講的一段小視頻：

關于科學-數學-哲學的關系

可以在古希臘哲學中找到思想根源。

（現代的數學、科學都是在古希臘哲學中產生的，所以只能“言必稱希臘”了……）

在古希臘哲學中，關于應該如何認知世界

有這樣一些基本的認識：

你所看到的事物，都是流動變化的假象
真正不變的，是事物背后的支配力量！
推理的邏輯，比感官更接近于“真實”！

我們可以簡單地把3句話理解為，它們分別指代

“經驗”、“科學”、和“數學”！

那么，前兩句話，

說的就是“經驗”與“科學”的關系了。

我們來看一個例子：

'太陽每天都從東邊升起”，

這是真理嗎？

顯然，這只是一個通過感官得到的“現象”

以及基于”現象“的歸納總結（即所謂”經驗“）

所以，它不是真理！

請注意：

一切基于經驗或現象的”歸納“，

都是無法得到”真理“的！

真理，

只可能通過“演繹推理”而獲得！

（這就涉及到科學與數學的關系，見后）

歷史中著名的“黑天鵝”事件，即是如此！

當時的人們所見到的所有天鵝，

無一例外，都是白的，

所以人們就得出了“所有天鵝都是白的”的結論

這在“經驗”中，當然是正確的

經驗當然也很有用，

但這樣的“歸納”卻并不能保證

世界上不存在黑天鵝！

——作為故事的結局，

是后來真的有人發(fā)現了黑天鵝！

但即使從未有人發(fā)現過黑天鵝

“所有天鵝都是白的”這種基于經驗的歸納

也不能被視為“真理”！

那什么才是真理呢？

古希臘哲學觀認為：

背后的支配力量，才是真理！

因此，

使得“天鵝一定是白色”的支配力量

使得“太陽每天從東邊升起”的支配力量

才是真理!

今天的人們很容易理解

“太陽每天從東邊升起”的支配力量，是：

地球的自轉、且方向為自西向東

——因為，如果地球不自轉了

或者自東向西、甚至自南向北自轉

甚至，太陽毀滅了/熄滅了

“太陽每天從東方升起”這個現象

立馬就不成立了！

因此，古希臘人的哲學觀

使得他們對“流動變化的假象”興趣不大

而特別注重找到“現象背后的支配力量”！

這種“現象背后的支配力量”

就是“科學理論”、或“科學假設”！

（當然科學還需要數學的支撐，見后）

這就導致，

古希臘人特別熱衷于做各種“模型”！

所謂模型，

不就是對“支配力量”的猜測和模擬嘛！

比如，關于宇宙運行的規(guī)律

亞里士多德構建出了一套“天球模型”

到托勒密時代，

為了解釋行星繞地球時產生的“逆行”現象

他提出了盛行1600多年的“本輪-均輪”模型：

（就是給每個行星增加一個小的圓形軌道，行星既繞地球公轉、又繞自己的圓形軌道公轉）

值得一提的是：

托勒密這個模型并不符合現代宇宙模型，

但卻較為完滿的解釋了當時觀測到的行星運動情況

（它還成功地指導了航海，說明其在數學上上也非常精確）

其實現代的幾乎全部科學理論

開普勒行星三定律

牛頓“力學三定律”

相對論、量子力學

都同樣是把一切“現象”視為“假象”

而試圖去尋找“背后的支配力量”！

——我們總說“中國人不擅長科學創(chuàng)新”

本質上不是因為我們學的知識太多、

沒有讓學生自己探究知識、發(fā)現知識

而是我們對關于“真理是什么”

在“認識論”層面缺乏理解！

二、科學與數學的關系

科學研究的對象是

隱藏在萬事萬物內部的“規(guī)律”

而規(guī)律是看不見、摸不著的！

我們能看到的，只是受到規(guī)律支配的“現象”！

既然看不見、摸不著，

那么我們又應該如何描述這一規(guī)律呢？

一種方案，如“神學”

給一個斷言，不斷重復、讓大家習以為常

或者像亞里士多德那樣

給一個符合經驗的“定性”描述

——比如，世界是由“水火土氣”組成的

以及一個看起來也符合經驗的“解釋”

然而，既然這些結論

既無法完全證實、也無法完全證偽

那么完全就可以有其它的說法

——比如，世界是由“金木水火土”組成的

世界是由“氣”組成的

只要有一個看似合理的解釋即可

甚至“強辭奪理”的解釋，也未嘗不可！

因此，所謂“科學”的理論

必須要能經得起“檢驗”，才可以！

而且，這種檢驗，

必須要能明確地區(qū)分出“正確”、或“錯誤”

不能模棱兩可才行！

追溯科學史，

伽利略最先開創(chuàng)了一種新方法！

英國著名的科學史專家WC·丹皮爾

在他的著作《科學史》中寫道：

伽利略要發(fā)現的不是物體為什么降落，而是怎樣降落，即是依照怎樣的數學關系而降落；這是科學方法上的一個大發(fā)展！

伽利略認為，不僅天體的運動可以像第谷和開普勒等所做的那樣，用數學公式精確描述，地球上的物體運動也同樣可以！

伽利略成功地定量描述了地球上物體的運動。而在他之前，人們不是沒有去發(fā)現“ 物體是樣降落的' ，而是人們對這一問題的探討僅僅停留在“ 定性的粗略地述' 上。

伽利略的那句名言，也一直被后世科學家忠實奉行：

科學的語言，必須要以數學寫就。

伽利略的“實驗+定量研究”的做法，大大地促進了物理學的發(fā)展。在伽利略的成功的激勵下， 追求定量化，努力揭示物理量之間的數量關系，成為科學家們的一致的追求。

一個多世紀后，拉瓦錫在化學科學方面也做了同樣的事情，從而也大大地促進了化學學科的發(fā)展。

伽利略開創(chuàng)的科學研究傳統(tǒng)

直接促成了現代最有影響的“科學哲學”理論：

“邏輯實證主義”的誕生！

邏輯實證主義的基本主張是：

所有理論命題，都要以“邏輯”的形式表達，并且必須要通過經驗的檢驗，才能成立！

邏輯實證主義

成為”現代科學“所公認的認識方法！

以下是網紅哲學科普：小播讀書

對邏輯實證主義哲學的的介紹，

講解簡潔、易懂，推薦大家觀看：

令人萬分驚奇的是，

當科學研究采用“數學”作為工具后，

人們發(fā)現它不僅便于“檢驗”，

而且還可以“推導”出更多規(guī)律

以及“預測”出未知的現象！

（這就涉及到數學與哲學的關系，見后）

狄拉克在晚年對他人談論他自己的工作時說：

“ 我主要的工作是擺弄方程，看它最終能給出什么。'

通過擺弄方程，狄拉克預言了正電子的存在！

類似的例子太多了，比如：

愛因斯坦的引力波、引力透鏡等諸多預言

麥克思韋預言：光是一種電磁波

門捷列夫通過自己“編排”的元素周期表，預言了眾多新元素

……

科學與數學的關系還不止于此！

數學對科學還有“啟發(fā)與指導”作用。

從牛頓的《自然學的數學原理》、拉格朗日的《分析力學》、麥克斯韋方程組、愛因斯坦的相對論，到海森堡薛定諤、狄拉克的量子力學，幾乎所有理論發(fā)明中，都體現出了如下規(guī)律：

“理論物理的創(chuàng)造性原則寓于數學之中，“ 理論物理學家越來越不得不服從于數學的形式考慮的支配' （愛因斯坦語）

那么，

為什么作為“純邏輯”的數學

居然能深刻地描述、甚至預測這個世界呢？

這就需要弄明白“數學與哲學”的關系！

三、數學與哲學的關系

數學與哲學的關系，

大約可以追溯到古希臘的畢達哥拉斯

他提出的那條著名的“萬物皆數”

雖不知從何得來

但確實反映了“數學與世界”的深刻關系！

而且，這一理念對于畢達哥拉斯學派來說

可不僅僅是一個“學說”

而是一個不可動搖的“信仰”！

這就導致發(fā)現了根號2的那個家伙

被沉入海底的悲慘命運！

想想看，這跟布魯諾支持日心說被燒死，

有何兩樣呢。。。

為什么數學，

居然能成為一種“信仰”？

讓我們回到本文開頭提到的古希臘認識論：

你所看到的事物，都是流動變化的假象
真正不變的，是事物背后的支配力量！
推理的邏輯，比感官更接近于“真實”！

我們已經分析了前2句話

對應的是“經驗-科學”的關系

那么，第3句話

則規(guī)定“支配力量”又如何才能保證為“真”

古希臘的哲學觀要求：

不能采用“歸納”的方法來“總結真理”！

而必須要用“邏輯推理/演繹”的方法來描述“支配力量”

才能保證其是真實的、而非虛構、或不準確的！

怎么理解”推理的邏輯，比感官更接近于“真實”呢？

我們以蘇格拉底著名的三段論來說明：

人都是會死的
蘇格拉底是人
所以蘇格拉底也是會死的

第一句話，是真的嗎？

——不是！

因為它還是人基于經驗/假象的“歸納”

前文說過，

一切對現象進行歸納得出結論

并非“真理”！

第二句話，是真的嗎？

這只是個“分類”的問題，談不上“真理”，

但作為一個命題，肯定是正確的。

第三句話，是真的嗎？

——仍然不是！

原因很簡單：

你的前提都不是真理，

結論怎么可能是真理呢？

既然都不是真的，

那這個“三段論”，還有什么價值呢？

其實，三段論中，唯一為“真”的，

是“推理的邏輯”！

由大前提、小前提、而得出結論的這個“邏輯過程”，

是“真”！

因此，古希臘人認為

與其相信感官、基于感官經驗的歸納

不如相信邏輯！

感官可能會騙人

但邏輯卻不會！

這也直接導致，所有科學理論，

無一例外地以“邏輯命題”的方式呈現

體現在理化生等學科中，就是一大堆“定理”！

而數學

無疑是最為純粹、最為嚴格的邏輯推理

是用數量關系、空間關系

描述世界內在結構的一種特殊語言！

前文我們說過，

在解釋“事物背后的支配力量”時，

古希臘人往往會建立“模型”

其實，在“模型”的構建中，

“數學”往往起到關鍵性作用！

因為，但凡能精確地解釋世界運行規(guī)律的模型

必然要構建準確的空間關系、數量關系！

而數量關系與空間關系

正是數學的研究范疇！

比如托勒密的宇宙模型

就能準確地指導航海中事業(yè)的開展

可見在其模型中，

各項參數是非常準確的！

（一個并不符合客觀事實的模型，還能做到這一點，確實令人驚嘆！）

哥白尼提出“日心說”時，

其實也只是個“假說”

當然，他也做了一個模型

也有相應的參數

但是，在天文觀測數據方面，

據說還沒有“本輪-均輪”模型準確呢！

這也直接導致“日心說”

在此后數百年內一直未被主流科學所承認！

——大家都是玩模型、玩數學的

你要想打敗別人的模型

就必須要在數據、計算上

比別人準確才行！

哥白尼的“日心說”當然也在不斷完善

后來，一直到牛頓提出“萬有引力”理論

并進行了大量天文觀測數據驗證后

才獲得科學界的認同

不過，當時的人們還沒有能力

直接觀測到地球繞著太陽轉

它被承認主要是基于如下原因：

在測量、計算結果相同的情況下，

“日心說”在數學形式上更為“簡潔”！

其實從數學上，這一點也很容易理解

由于數學上可以做任意的等效變換，

因此，無論你以什么為“中心”

——哪怕你說以“月亮”為中心

都一定都能找到一種正確的數學表達形式！

只不過，

更符合客觀情況的數學模型，

一定更簡潔而已！

通過以上宇宙模型的演變，

相信大家能夠理解古希臘的哲學觀

由于他們認為“事物背后的支配力量”才是真理

所以就會追求“科學”的解釋

由于他們認為“推理的邏輯比感官更接近于真實”

所以就會追求邏輯

用簡潔、嚴密的數學表達！

關于數學，一個比較玄妙的話題是：

數學，確實能反映事物的最底層特征！

部分原因是因為，

數學是把事物的一切表面現象全部抽離

比如大小、顏色、種類、作用等等

——反正這些表面現象都是“流動變化的假象”

只剩下事物之間的數量關系/空間關系

并運用最嚴格的邏輯推導，

開展各種運算、變換，

并確保每一步在邏輯上都絕對正確！

——既然“推理的邏輯比感官更接近于真實”

那么數學規(guī)律就代表了人類所能達到的“真理”！

更為奇妙的是：

數量、以及數量關系，

確實在很大程度上決定了事物本身的性質

以及某種內在規(guī)律！

或者說，世界的所有內在規(guī)律

必然能用某種數量關系/空間關系進行描述！

比如：

化學元素的種類，完全是由“質子數”決定的！
粒子帶電情況，是由“質子數-電子數”公式決定的
物態(tài)變化，是由“分子間距的數值”不同決定的
DNA完全是由4種堿基、以不同的配對方式生成的
即使外表完全相同的雙胞胎，其DNA也不可能完全相同！
DNA完全相同的人必然是同一個人！
溫度，是由分子的平均動能決定的
圓周率、最低溫度、光速、普朗克常數都是某個常數
F=ma，E=mc^2……

這讓我們不由得想起了

畢達哥拉斯的“萬物皆數”

某種意義上，它確實是世界的“真理”！

在這方面，最讓王玨老師感到最“驚艷”的

是“泡利不相容原理”：

在費米子(如電子）組成的系統(tǒng)中，不能有兩個或兩個以上的粒子處于完全相同的狀態(tài)！

這個例子似乎是大自然鐵了心要說明

不可能存在數量關系/空間關系100%一樣的兩個事物！

果真如此的話，

那么，數量關系/空間關系，

也就確實可以“決定”事物的最本質特征！

總之，我們也許不知道具體原因

但數學，確實能有效描述大自然的內在規(guī)律！

而揭示大自然的規(guī)律，

是物、化、生、地等各個學科的使命

因此，數學，

也就成為了這些學科的標準語言！

【本文小結】

數學'就是'真理，至少有兩條原因：

“事物背后支配力量”才是真理+“推導的邏輯比感官更接近真實”-->支配力量是看不見摸不著的，需要構建模型-->能解釋客觀世界的模型必然需要具備空間關系、數量關系的準確描述
數學學科本身，它描述的是抽去一切表象后、僅存的關系，而且這一關系往往反映了事物的內在本質和規(guī)律

科學只能逼近真理，是因為：

科學是對經驗的總結、抽象，而人類的經驗、感官能力、思維能力總是有限的、往往容易被誤導，總結抽象出來的理論必定存在局限性。
為了減謬，必須要采用完全客觀的“數量關系/空間關系'、數學模型來表達理論，只有構建出合理數學模型的，才”有可能“是正確的理論（也不一定就是正確的）。
擁有數學模型的理論，也便于通過測量、計算，來驗證理論的正確性。

哲學指導了人類認識世界的方式

有什么樣的認識論，人類就會塑造出怎樣的世界！

數學、科學，都需要哲學作為基礎和前提
邏輯實證主義，是現代科學發(fā)展的指導哲學理論
對于現代科學來說，邏輯=命題+數學模型，實證=實驗

(因本人能力有限，本文觀點未必準確。若有不當之處，敬請諒解、歡迎指正！)

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