一、近代數(shù)學的特點是什么？與古代數(shù)學有什么不同？
1.變量數(shù)學：對不對呢？體現(xiàn)在哪些地方？
古代數(shù)學：常量數(shù)學。
近代數(shù)學：變量數(shù)學。
同樣是一個面積，可以看成是靜態(tài)的，也可以看成是動態(tài)的（比如掃過的面積）。這是觀念的不同決定的。
2.研究對象，研究內(nèi)容，研究方法。（角度：數(shù)和形兩部分）
（1）常量數(shù)學。
a.研究對象。
數(shù)：自然數(shù)，整數(shù)，分數(shù)（小數(shù)，有理數(shù)），無理數(shù)
形：點線面，三角形正方形矩形梯形，圓。圓錐曲線。圓錐，圓柱，棱錐，棱柱，圓臺，球。
b.研究內(nèi)容。
數(shù)：數(shù)的運算和計算，方程。
形：周長（線的長度），面積（面的面積），體積（體的體積），角度。全等。
c.研究方法。
數(shù)：計算，解方程。
形：做輔助線綜合分析。
Eg.尼羅河流域，分土地，多與少，怎么刻畫呢？產(chǎn)生了這個問題。從數(shù)學角度怎么解決大小的問題呢？需要引進數(shù)學概念。怎么用數(shù)來描述呢？需要一定的方法。梯形→（割補）→矩形，矩形的面積（直覺中的直角坐標系思想）。
（2）變量數(shù)學。（觀念的調(diào)整：動態(tài)的觀念）
a.研究對象：函數(shù)（基本的研究對象，變量和變量的依附關(guān)系）。
b.研究內(nèi)容：極值，單調(diào)性，連續(xù)性，可微性，可積性等。
c.研究方法：微分法、積分法等。
3.一個事物的轉(zhuǎn)變需要有力（動力）。
（1）常量數(shù)學向變量數(shù)學時代過渡，它的動因是什么呢？
是和資本主義的發(fā)展聯(lián)系在一塊的。科學的進步，沖破宗教神學統(tǒng)治，促進生產(chǎn)力的發(fā)展。資本主義萌芽，零散的積累。到17世紀，伽利略時代，近代自然科學開始興起，主要是近代力學。想反抗宗教神學，研究運動的自然規(guī)律，并不是上帝想讓它運動才運動。從伽利略開始，有非常強的數(shù)學化傾向。先想出來的，借助理想斜面實驗，比如平方關(guān)系是先算出來再去驗證的，不是歸納出來的。這個方法論對于自然科學的發(fā)展意義非常大。以往主要是通過事實的歸納。方法論的轉(zhuǎn)變：從一些事實中抽象出數(shù)學規(guī)律，再去驗證。文藝復興，哲學上理性主義的興起。要想反抗宗教神學，上帝意志不再作為標準了，那什么東西可以作為標準呢？
（2）西方近代數(shù)學的代數(shù)學、幾何學的發(fā)展是怎么發(fā)生的呢？
貿(mào)易和戰(zhàn)爭。中國、印度在古代講求算法。西方引進其它地區(qū)的數(shù)學成果再加以發(fā)展。新航路開辟之后，涉及航海問題，要解決定位和地圖測繪的問題。三角學開始發(fā)展起來（球面三角，地球表面），和天文問題結(jié)合在一起。大量計算，出現(xiàn)對數(shù)。文藝復興，透視，射影幾何。
4.如何看待常量數(shù)學和變量數(shù)學？
小初高中學的東西，常量數(shù)學，與日常生活的需求更密切。也有利于我們掌握一般的科學方法。對于工程師，做科學研究，變量數(shù)學變得很重要?，F(xiàn)實生活中，變量數(shù)學應該更能反應本質(zhì)。
二、微積分的誕生。
1.笛卡爾的坐標系（微積分誕生前的基礎(chǔ)工作）。
之前解決幾何問題，需要做輔助線，必須靠直觀、直覺。而利用坐標系，可以把幾何轉(zhuǎn)化成代數(shù)，算就行了，平民也可以做。把數(shù)和形結(jié)合、統(tǒng)一到一塊去了。引入了動態(tài)的觀念（動點的軌跡，這是從形的角度），點在動，數(shù)也在動（變量概念的由來）。當然幾何直觀有時也可以猜到答案，為計算提供方向，各有各的優(yōu)勢。在解析幾何中能把兩種優(yōu)勢發(fā)揮出來。沒有變量就沒有函數(shù)，就沒有微積分，沒有變量數(shù)學時代，群也不會有。
2.微積分萌芽
古代窮竭法，沒成體系，偶然發(fā)生。真正微積分的誕生，從17世紀開始，醞釀，再由N-L分別創(chuàng)立。微積分的誕生是在常量到變量的轉(zhuǎn)折階段發(fā)生的。神學→文藝復興，啟蒙運動，打破封建神學觀念→觀測天體運行，積累和醞釀；望遠鏡的發(fā)展，求切線。
3.微分問題和積分問題。一個一個被孤立地提出來。
a.微分問題：切線（望遠鏡），近日遠日點（最值），炮彈射程，瞬時速度。
b.積分問題：求質(zhì)心（以質(zhì)點為模型解決運動問題），掃過的面積。
數(shù)學是解決數(shù)量關(guān)系與空間形式的問題。提出的要求：忽略具體問題背景，抽象出統(tǒng)一的數(shù)學工具。N-L把上面的問題歸類，微分問題，積分問題，兩類問題是互逆關(guān)系，微積分從此誕生。
4.N-L思想。
a.Newton：1665-1667，躲瘟疫，《流數(shù)簡論》，小o的問題。研究位移和速度的關(guān)系。小o是時間的一瞬。后來，小o作為變量的無窮小增量。再后來，又回到了前面，時間是最終變量。再往后，首末比方法，進一步說明：“消逝量的最終比實際上并非最終量之比，而是無限減小的量之比所趨向的極限.它們無限接近這個極限，其差可小于任意給定“，極限思想。
b.Leibniz：1684發(fā)表了一篇微分學文章，1686發(fā)表了積分學文章。牛頓急忙發(fā)表《自然哲學的數(shù)學原理》。帕斯卡的四分之一圓問題，從微分三角形開始研究。從序列出發(fā)，發(fā)現(xiàn)離散的求差與求和。組合數(shù)學的開創(chuàng)者是Leibniz。數(shù)軸就是一個一個的點x挨在一起，求切線不過是求差（連續(xù)的求差用以表達微分），求面積就是求和（微分的和就是積分），導數(shù)就是微商。到了這里誕生了自己的微積分原理。
5.微積分方法的發(fā)展和牛頓的那一套沒有太大的關(guān)系。
牛頓發(fā)表文章后，微積分優(yōu)先權(quán)之爭。Leibniz到伯努利到歐拉（經(jīng)過兩代人），微積分方法就完成80%了。英國開始不接受Leibniz思想，100多年沒怎么發(fā)展，后來不得不引入歐洲大陸的思想，才趕上。
數(shù)學經(jīng)緯網(wǎng)，縱覽數(shù)學歷史和文化，橫貫數(shù)學大家故事、數(shù)學哲學、數(shù)學科普，追蹤數(shù)學前沿發(fā)展，適合于數(shù)學愛好者、數(shù)學專業(yè)者。
