概念是思維的細(xì)胞．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開推理，推理離不開判斷，而判斷是以概念為基礎(chǔ)的．所以，理解概念是一切數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)，概念不清就無法進(jìn)一步開展其他數(shù)學(xué)活動(dòng)．學(xué)生的概念理解和應(yīng)用的水平也是衡量教學(xué)質(zhì)量高低的最重要標(biāo)準(zhǔn)．因此，數(shù)學(xué)教師必須特別重視概念的教學(xué)．
函數(shù)不僅是一種重要的數(shù)學(xué)概念，而且是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它是聯(lián)系中學(xué)代數(shù)主要內(nèi)容的一條紐帶．因此，函數(shù)概念的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要課題．特別是初中階段的函數(shù)概念的教學(xué)，具有承上啟下的作用，對(duì)它學(xué)習(xí)的好壞，會(huì)直接影響到高中階段函數(shù)概念的教學(xué)，乃至以后數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)．因此對(duì)函數(shù)概念教學(xué)的研究不僅是必要的，而且應(yīng)是深入的．2008年11月“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念結(jié)構(gòu)體系及教學(xué)設(shè)計(jì)研究與實(shí)踐”課題組在沈陽對(duì)函數(shù)的概念進(jìn)行了研究和實(shí)踐，下面結(jié)合廣州民航子弟學(xué)校的林俊偉老師的這節(jié)課談?wù)労瘮?shù)概念引入的有效性．
一、概念引入簡(jiǎn)介
教師一上課就給出學(xué)生兩張圖片，同時(shí)結(jié)合圖片請(qǐng)學(xué)生思考以下兩個(gè)問題：
1.《名偵探柯南》中有這樣一個(gè)情景：柯南根據(jù)案發(fā)現(xiàn)場(chǎng)的腳印，鎖定疑犯的身高．你知道其中的道理嗎？
2.我們班中同學(xué)A與職業(yè)相撲運(yùn)動(dòng)員，誰的飯量大？你能說明理由嗎？
上述兩個(gè)問題中都涉及兩個(gè)量的關(guān)系，這一節(jié)課我們研究?jī)蓚€(gè)量的關(guān)系，研究怎樣由一個(gè)量來確定另一個(gè)量．
二、概念引入分析
教師從學(xué)生熟悉的生活入手，創(chuàng)設(shè)豐富的情景，開門見山，在極短的時(shí)間內(nèi)指明本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容．但仔細(xì)研究引入內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，會(huì)發(fā)現(xiàn)腳印與身高、體重與飯量之間是存在著相關(guān)關(guān)系，但不一定是函數(shù)關(guān)系，二者只有在特定范圍內(nèi)才可能是函數(shù)關(guān)系，而且這種函數(shù)關(guān)系中既包含一對(duì)一，也包含多對(duì)一．
三、概念引入反思
1．情景選擇的反思
新課程理念提倡教師在教學(xué)中選擇恰當(dāng)?shù)乃夭?，?chuàng)設(shè)一個(gè)有利于教學(xué)發(fā)展的情景，這是好的，但在教學(xué)的實(shí)踐中，教學(xué)情境必須為課堂教學(xué)服務(wù)，必須為教學(xué)目標(biāo)服務(wù)．教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)不能為情境而情境，不能和教學(xué)內(nèi)容脫節(jié)，不能只有“面子”沒有“里子”．再說情景的選擇必須與學(xué)生的實(shí)際水平相符合，而課例中的情景腳印與身高、體重與飯量之間關(guān)系的探究似乎也高出初學(xué)者的實(shí)際水平．因此在教學(xué)中對(duì)情景的選擇要有目標(biāo)意識(shí)、要符合學(xué)生實(shí)際、而且還要有真實(shí)性．因?yàn)椴磺‘?dāng)?shù)慕虒W(xué)情境不僅不會(huì)給教學(xué)活動(dòng)帶來好處，往往還會(huì)產(chǎn)生負(fù)面作用．
2．反例使用的反思
概念的教學(xué)一般要經(jīng)歷幾個(gè)環(huán)節(jié)：概念的引入、概念的形成、概念的明確、概念的表示、概念的鞏固和應(yīng)用．概念的引入與概念的形成實(shí)際上是需要給學(xué)生各種刺激，是需要學(xué)生辨別各種刺激的模式．這些刺激模式可以是學(xué)生自己在日常生活中的經(jīng)驗(yàn)或事實(shí)，也可以是教師提供的有代表性的典型事例．但不管是哪種刺激模式，都必須通過比較，在知覺水平上進(jìn)行分析、辨認(rèn)，根據(jù)事物的外部特征進(jìn)行概括．但在學(xué)生對(duì)概念認(rèn)識(shí)的初級(jí)階段或起始階段，給學(xué)生提供的刺激模式應(yīng)該是正例，而且數(shù)量要恰當(dāng)．不然就會(huì)影響概念的形成．但在概念的鞏固和應(yīng)用中，可以通過適當(dāng)?shù)姆蠢寣W(xué)生辨析概念，達(dá)到對(duì)概念內(nèi)涵和外延的掌握．本節(jié)課引入中的例子，似乎與函數(shù)的概念的內(nèi)涵有些偏離，可能會(huì)對(duì)函數(shù)概念的形成產(chǎn)生不利的影響．
四、借鑒概念的發(fā)展歷史引入概念
概念的引入在遵循結(jié)構(gòu)性原則，參與性原則，激發(fā)性原則等的前提下，可以從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的需要引入，也可以從實(shí)際應(yīng)用的需要引入，還可以通過類比引入以及復(fù)習(xí)舊課引入等．眾所周知，人的發(fā)展是在無數(shù)代前輩人的全部經(jīng)驗(yàn)總和的基礎(chǔ)上進(jìn)行的．人在掌握前人的經(jīng)驗(yàn)時(shí)要簡(jiǎn)略地重演前人獲得相應(yīng)經(jīng)驗(yàn)的過程，“我們所賴以生活的一切和我們所占有的一切，本身都帶有社會(huì)起源的痕跡”（巴索夫，1926）．因此當(dāng)我們考察和研究學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程時(shí)，必須注意研究作為人類社會(huì)生活經(jīng)驗(yàn)結(jié)晶之一的數(shù)學(xué)概念的發(fā)展過程．
函數(shù)的概念一次又一次的擴(kuò)張，就是前人思維困難的一次又一次的突破，從中我們可以看到函數(shù)概念的內(nèi)涵不斷被挖掘、豐富和精確刻畫．華東師大汪曉勤老師曾經(jīng)做過對(duì)函數(shù)概念的調(diào)查，讓學(xué)生根據(jù)自己的理解寫出函數(shù)的定義，從調(diào)查中可以看出，即使在教材和教學(xué)的影響之下，也仍然有很多的被試給出不同于教材、卻類似于歷史上數(shù)學(xué)家的回答．這種函數(shù)概念理解中的歷史相似性表明，函數(shù)概念歷史發(fā)展過程中的認(rèn)識(shí)障礙也會(huì)成為今天課堂上學(xué)生的認(rèn)知障礙．因此，在函數(shù)概念教學(xué)中，如果能恰當(dāng)?shù)亟梃b歷史，根據(jù)函數(shù)歷史途徑，選擇學(xué)生容易接受的典型情景，探究函數(shù)概念，使學(xué)生在情景的識(shí)別與辨析中逐步體會(huì)它的形成過程，并且親身感悟一次一次逐步抽象出函數(shù)概念的方法，這樣有助于學(xué)生打破原有的思維定勢(shì)，形成清晰的認(rèn)識(shí)并對(duì)函數(shù)的概念達(dá)到深刻的理解．這種歷史的方法是一個(gè)多層次逼近，反映了認(rèn)識(shí)由遠(yuǎn)及近，由模糊至清晰，由粗略到精確的過程，是我們?cè)诮虒W(xué)中值得借鑒的．
通過以上的分析，我們根據(jù)學(xué)生的情況，借鑒函數(shù)的歷史的發(fā)展，對(duì)函數(shù)概念圍繞著一條明線和一條暗線展開探究．明線為兩個(gè)變量，暗線為函數(shù)概念在歷史上的幾次演變過程．學(xué)生在探究函數(shù)概念的過程中，經(jīng)歷了三次函數(shù)概念的擴(kuò)張，并最終歸納、總結(jié)、抽象、概括出現(xiàn)行初中課本中的函數(shù)概念．下面是這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)：
（一）創(chuàng)設(shè)情景，引出課題
例1：汽車以60千米/時(shí)的速度勻速行駛，行駛里程為s千米，行使時(shí)間為t小時(shí)，先填下面的表，再試用t的式子表示s.
問題：
1．先填下面的表，再試用t的式子表示s.
2．事件中有幾個(gè)數(shù)值發(fā)生改變的量？有幾個(gè)數(shù)值不變的量？
3．變量與常量如何定義？
4．變量與常量在生活中的例子有哪些？
5．寫出下列兩式的表達(dá)式，并指出其中的變量與常量．
（1）設(shè)圓的面積為s，半徑為r，則s怎樣用r來表示呢？
（2）已知圓柱體的底面積為9平方米，高為h，則體積V怎樣用底面積與h表示呢？
【設(shè)計(jì)意圖】通過探究常量和變量，為研究函數(shù)的概念做好鋪墊.
（二）探索研究，形成概念
問題：結(jié)合上述幾個(gè)例子，從兩個(gè)變量聯(lián)系的角度，你能試著給出函數(shù)的定義嗎？
【設(shè)計(jì)意圖】通過前面幾個(gè)例子的思考與分析，讓學(xué)生從表達(dá)式的角度理解兩個(gè)變量的關(guān)系，完成對(duì)函數(shù)概念內(nèi)涵的第一次抽象認(rèn)識(shí)．
例2：姚明職業(yè)生涯技術(shù)統(tǒng)計(jì)
問題：
1．表格中有變量嗎？是什么？
2. 賽季與場(chǎng)均得分這兩個(gè)變量有關(guān)系嗎？
3．隨著賽季數(shù)值的變化，場(chǎng)均得分怎么樣變化？
4. 你能寫出賽季n與場(chǎng)均得分p之間的表達(dá)式嗎？
例3：某地一天內(nèi)的氣溫變化情況．
問題：
1．圖像中有變量嗎？是什么？這兩個(gè)變量有關(guān)系嗎？
2．你能寫出溫度T與時(shí)間t的表達(dá)式嗎？
3．上面總結(jié)的函數(shù)概念是否完善，不完善該如何補(bǔ)充？
【設(shè)計(jì)意圖】通過例2的姚明職業(yè)生涯技術(shù)統(tǒng)計(jì)表格和例3的天氣變化圖像，讓學(xué)生從對(duì)函數(shù)的解析式理解過度到函數(shù)概念是兩個(gè)變量間互相依賴關(guān)系的認(rèn)識(shí)，完成對(duì)函數(shù)概念內(nèi)涵的第二次抽象認(rèn)識(shí)．
例4：北京的出租車是這樣計(jì)費(fèi)的：在不超過三公里的情況下，收取基價(jià)10元；超過三公里后，超過部分每公里按2元計(jì)費(fèi)．
問題：1．在里程不超過三公里的情況下，里程改變，錢數(shù)改變嗎？
2．這個(gè)例子與我們給出的函數(shù)的概念矛盾嗎？
3．那應(yīng)如何進(jìn)一步完善我們剛才給出的函數(shù)定義呢？
【設(shè)計(jì)意圖】通過出租車計(jì)費(fèi)的例子，讓學(xué)生從函數(shù)概念的變量的依賴關(guān)系過度到兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，完成對(duì)函數(shù)概念內(nèi)涵的第三次抽象認(rèn)識(shí).
（三）歸納抽象，形成定義
1．回放前面四個(gè)例子，讓學(xué)生討論這四個(gè)例子的關(guān)鍵點(diǎn)．如例1，
（1）在這個(gè)變化過程中，當(dāng)t=1時(shí)，s=？當(dāng)t=7時(shí)，s=？
（2）每給定t的一個(gè)值時(shí)，s的值會(huì)怎樣？
2．歸納、抽象出函數(shù)的定義：
在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說x是自變量 ，y是x的函數(shù)．
3．強(qiáng)調(diào)函數(shù)概念中的兩個(gè)關(guān)鍵詞
讓學(xué)生再次對(duì)照著前面的四個(gè)例子提煉出函數(shù)定義中“確定”與“唯一確定”這兩個(gè)關(guān)鍵詞．
【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生自己歸納總結(jié)，讓學(xué)生經(jīng)歷批判和相互推翻的過程，最終由學(xué)生將關(guān)鍵點(diǎn)串聯(lián)起來，形成與現(xiàn)行初中函數(shù)定義很接近的定義，完成對(duì)函數(shù)概念內(nèi)涵的第四次完整認(rèn)識(shí).
（四）運(yùn)用史料，促進(jìn)理解
例5：寄信：（1）一個(gè)信封上有兩個(gè)地址“北京二中分校 馬岳老師收”以及“北京四中 武紅梅老師收”，此時(shí)郵遞員還能把信發(fā)出去嗎？
【設(shè)計(jì)意圖】通過寄信這個(gè)實(shí)際問題，引出“一對(duì)一”與“多對(duì)一”的概念，從而讓學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)的定義．
（2）講述“函”字的古意，即為“信封”的意思．
（3）講述李善蘭借用“函”字古意翻譯“function”為“函數(shù)”的故事.
【設(shè)計(jì)意圖】通過查看“函”字的古意以及聆聽李善蘭創(chuàng)用“函數(shù)”一詞的故事，使學(xué)生在體驗(yàn)中獲得對(duì)“函數(shù)”這一名詞由來的認(rèn)識(shí)．
（五）舉例分析，深化定義（略）
這樣設(shè)計(jì)函數(shù)概念的教學(xué)，目的是讓學(xué)生沿著數(shù)學(xué)家們?cè)?jīng)探索函數(shù)概念走過的路，經(jīng)歷一次次地提出概念、一次次地被推翻的概念探究過程，讓學(xué)生對(duì)概念的發(fā)展、內(nèi)涵與外延認(rèn)識(shí)地更加深刻．
參考文獻(xiàn)：
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