一、初中數(shù)學(xué)中函數(shù)概念的核心地位與概念的核心
函數(shù)是從數(shù)量關(guān)系的角度描述運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)概念，是從數(shù)學(xué)角度反映千變?nèi)f化的世界的重要模型。
從數(shù)學(xué)科學(xué)本身看，函數(shù)概念的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要里程碑。初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要分界是：前者基本上是常量數(shù)學(xué)，而后者則主要是變量數(shù)學(xué)，而變量數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象基本上都是以函數(shù)形式呈現(xiàn)的。綜觀今日的數(shù)學(xué)，其中一個(gè)重要的基礎(chǔ)分支數(shù)學(xué)分析的主要研究對(duì)象就是函數(shù)，其余眾多分支中哪一個(gè)又不是以相關(guān)函數(shù)作為重要內(nèi)容呢？函數(shù)已成為整個(gè)數(shù)學(xué)的一個(gè)核心概念。
從數(shù)學(xué)教育角度看，函數(shù)無(wú)疑也是中學(xué)數(shù)學(xué)課程的一個(gè)核心概念。在學(xué)習(xí)函數(shù)概念之前，數(shù)學(xué)課程中基本是討論靜態(tài)的數(shù)學(xué)問題，教學(xué)中引入函數(shù)概念，不僅使討論內(nèi)容增加了運(yùn)動(dòng)變化的問題，而且提供了居高臨下重新認(rèn)識(shí)已學(xué)內(nèi)容的觀點(diǎn)，使得中學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識(shí)體系的得到擴(kuò)大與提升；對(duì)基本初等函數(shù)的學(xué)習(xí)，使中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更為活躍；函數(shù)圖象是使中學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法的典型范例；三角函數(shù)成為中學(xué)生研究三角形以及周期變化的重要工具；解析幾何中曲線的方程f(x,y)=0實(shí)際上是隱函數(shù)，它使中學(xué)生看到解析式與幾何圖形的密切聯(lián)系；以討論函數(shù)變化率為基礎(chǔ)的初等微積分使學(xué)生初步掀開高等數(shù)學(xué)的面紗；概率密度等使中學(xué)生見識(shí)到函數(shù)在研究或然性問題時(shí)的作用……綜觀中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，一個(gè)顯然的結(jié)論是：函數(shù)是個(gè)綱，綱舉目張。
學(xué)生第一次學(xué)習(xí)函數(shù)在初中階段。初中數(shù)學(xué)中要學(xué)習(xí)函數(shù)的概念、正反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)和銳角三角函數(shù)等，這些內(nèi)容在初中數(shù)學(xué)中無(wú)論數(shù)量還是影響力都居于重要地位，函數(shù)概念是其中的基礎(chǔ)。
回顧函數(shù)概念的形成與發(fā)展歷程，可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的產(chǎn)生來自研究變量的需要。早在17世紀(jì)，伽利略、笛卡爾等科學(xué)巨匠已注意到一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的依賴關(guān)系。牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分時(shí)雖未給函數(shù)下明確的定義，但實(shí)際上已形成對(duì)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的關(guān)注。18世紀(jì)時(shí)函數(shù)被認(rèn)為是由變量x和常量構(gòu)成的式子。約翰?貝努利對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行了定義：“由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量。” 歐拉把約翰?貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進(jìn)一步把它按照式子中含有的運(yùn)算種類區(qū)分為代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)。19世紀(jì)時(shí)人們對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)發(fā)展到強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)關(guān)系。柯西給函數(shù)的定義是：“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時(shí)，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)。”傅里葉發(fā)現(xiàn)函數(shù)也可以用曲線表示，也可以用式子表示，使對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)跳出式子的限制。狄里克雷指出：“對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的x值，y都有確定的值，那么y叫做x的函數(shù)。”當(dāng)集合論在數(shù)學(xué)中占有重要地位之后，維布倫用“集合”之間的“對(duì)應(yīng)”給出了近代函數(shù)定義，使得函數(shù)概念具有三個(gè)要素即對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域及值域。20世紀(jì)后，現(xiàn)代函數(shù)概念──“集合之間的映射”方式定義形成，即“若存在集合M到N的一個(gè)影射f，則稱在集合M上定義一個(gè)函數(shù)，記為y=f(x)，其中x 是M的任一元素，y是x在N中的像。”在古典分析中的函數(shù)概念是指兩個(gè)數(shù)集之間所建立的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展卻要求建立兩個(gè)任意集合之間的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系。
現(xiàn)在初中所學(xué)的函數(shù)定義為：“在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，則稱x為自變量，y為x的函數(shù)。”分析這個(gè)定義對(duì)函數(shù)概念內(nèi)涵的文字描述，可以發(fā)現(xiàn)它強(qiáng)調(diào)了近代函數(shù)定義中的“對(duì)應(yīng)”，并且明確是“y對(duì)x是單值對(duì)應(yīng)”，這又是吸收了現(xiàn)代函數(shù)概念中對(duì)“映射”的要求 ，但是沒有從“集合”角度描述函數(shù)，因而未明確涉及定義域及值域。由此可知，現(xiàn)在初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)定義的核心，是函數(shù)概念三個(gè)要素中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并且明確其為“單值對(duì)應(yīng)”關(guān)系。
函數(shù)是一個(gè)抽象概括程度很高的概念，學(xué)習(xí)它需要一個(gè)逐步深入的理解過程，初中階段對(duì)它的認(rèn)識(shí)是初步的。在沒有“集合”“映射”這些知識(shí)基礎(chǔ)時(shí)，對(duì)于函數(shù)的認(rèn)識(shí)應(yīng)該是通過一些具體例子，重點(diǎn)體會(huì)變量間的“單值對(duì)應(yīng)”關(guān)系。例如，使用y=2x，y=3x+1，y=x2等正例，以及如這樣的反例。要以正例為主，反例是少量而典型的，起對(duì)比反襯作用。對(duì)于自變量的取值范圍（定義域）、值域等應(yīng)先不作過多討論，以免分散對(duì)概念的核心的認(rèn)識(shí)。由于初步學(xué)習(xí)函數(shù)概念時(shí)強(qiáng)調(diào)的是變化中的對(duì)應(yīng)，所以對(duì)于常值函數(shù)y=f(x)=c（常數(shù)），似也不必過早涉及，因?yàn)閷W(xué)生剛接觸常量與變量的概念，往往不易理解常值函數(shù)y是特殊的變量，更不可能在映射的高度上認(rèn)識(shí)函數(shù)概念中的“對(duì)應(yīng)”可以是“多對(duì)一”的形式（這時(shí)并不強(qiáng)調(diào)y一定是變量）。這些問題都可以在以后的學(xué)習(xí)中陸續(xù)解決，不宜操之過急。追求一步到位，反而會(huì)干擾本階段的主攻方向，造成欲速則不達(dá)的后果。
本次研討活動(dòng)中，與會(huì)者對(duì)“函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的核心概念”和“初中數(shù)學(xué)中函數(shù)概念的核心是‘單值對(duì)應(yīng)’”取得基本一致的意見，至于在教學(xué)中如何使學(xué)生學(xué)好函數(shù)概念，則需要設(shè)計(jì)適合學(xué)生實(shí)際的方案，這將是不拘一格、見仁見智的。
二、信息技術(shù)工具的使用提高函數(shù)圖象的教學(xué)效果
利用函數(shù)圖象的直觀性，認(rèn)識(shí)函數(shù)的性質(zhì)，是研究函數(shù)的一種途徑，它體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學(xué)思想和方法。
正比例函數(shù)y=kx（k是常數(shù)，），是中學(xué)生正式學(xué)習(xí)的第一類具體函數(shù)，如何引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)它的圖象呢？人教版教科書的做法是；先用描點(diǎn)法畫函數(shù)y=2x和y=-2x的圖象，再引導(dǎo)學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即正比例函數(shù)的圖象是一條過原點(diǎn)的直線，當(dāng)k>0時(shí)，直線從左向右經(jīng)過第三、一象限；當(dāng)k<0時(shí)，直線從左向右經(jīng)過第二、四象限。這個(gè)規(guī)律中包含了兩個(gè)內(nèi)容：①正比例函數(shù)圖象的形狀（一條直線）；②正比例函數(shù)圖象的位置（經(jīng)過原點(diǎn)和兩個(gè)象限）。
描點(diǎn)法作函數(shù)y=kx的圖象的步驟是：先描出若干個(gè)點(diǎn)；再將描出的點(diǎn)連成平滑曲線。實(shí)際作圖中，無(wú)論描出多少個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)的個(gè)數(shù)都是有限多的。這就產(chǎn)生了一個(gè)疑問：僅由有限多個(gè)描出的點(diǎn)在同一直線上，就能確定所有點(diǎn)都在這一直線上嗎？要解答這個(gè)問題，顯然不能靠實(shí)際畫圖，而要靠邏輯推理。推理的過程大體為：先過點(diǎn)O(0,0)和P(l,k)作直線l，再進(jìn)行兩方面的推導(dǎo)，即①l上的任意一點(diǎn)Q的坐標(biāo)(x,y)滿足關(guān)系y=kx；②坐標(biāo)滿足關(guān)系y=kx的任意一點(diǎn)M(x,y)在l上。
為什么人教版教科書沒有對(duì)正比例函數(shù)圖象的形狀進(jìn)行嚴(yán)格的推理呢？可以看出：第一，這樣的推理涉及曲線與方程關(guān)系中的純粹性和完備性兩個(gè)方面，而對(duì)于初中學(xué)生來說這些較難理解；第二，這樣的推理要利用相似形的知識(shí)，而相似形是初中幾何中靠后面的內(nèi)容，如把正比例函數(shù)安排在相似形后面，則在初中數(shù)學(xué)教材體系中函數(shù)內(nèi)容的出現(xiàn)有些過遲。因此，教科書采用了前面所說的用不完全歸納法引出正比例函數(shù)圖象的形狀。這種不完全歸納法包括兩重意思：①由描出的滿足y=2x（或y=-2x）的某些（特殊）點(diǎn)在同一直線上，引出滿足y=2x（或y=-2x）的所有（一般）點(diǎn)在同一直線上；②由y=2x和y=-2x這些的具體（特殊）的正比例函數(shù)的圖象是直線，引出抽象（一般）的正比例函數(shù)y=kx的圖象是直線。很明顯，這種歸納雖是一種認(rèn)識(shí)方式，但不是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评矸绞?。在?dāng)前的初中實(shí)際教學(xué)中，要提高學(xué)生對(duì)正比例函數(shù)圖象是直線的信度，就要增加所觀察的特殊對(duì)象的數(shù)量，即對(duì)具體函數(shù)y=2x（或y=-2x）要盡可能多描出一些點(diǎn)，對(duì)y=kx中的k要盡可能多取一些具體值并作相應(yīng)函數(shù)的圖象。但是，這樣做無(wú)疑在教學(xué)過程中又會(huì)占用較多時(shí)間和精力，影響教學(xué)效率。如何解決這個(gè)矛盾呢？
本次課題研究活動(dòng)中，授課教師的做法啟發(fā)我們：利用信息技術(shù)工具，可以較為有效地解決上述問題。利用計(jì)算機(jī)的計(jì)算和作圖功能，不占用很多時(shí)間就可以做到：①描出很多滿足某個(gè)正比例函數(shù)的離散的點(diǎn)，使這些點(diǎn)排列得很稠密，從而提高對(duì)這個(gè)函數(shù)的圖象是一條直線的信度；②對(duì)變換多個(gè)具體取值，得出多條直線，從而提高對(duì)每個(gè)正比例函數(shù)的圖象都是一條直線的信度。借助計(jì)算機(jī)提高學(xué)生認(rèn)識(shí)正比例函數(shù)的圖象的效果，這種做法又一次說明，現(xiàn)代信息技術(shù)可以改進(jìn)教學(xué)手段，更快、更多、更活、更好地展示課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，為提高教學(xué)效率提供了更廣闊的空間。為此，我們還需要結(jié)合學(xué)科特點(diǎn)與教學(xué)內(nèi)容，對(duì)如何充分發(fā)揮計(jì)算機(jī)的作用，進(jìn)行更深入的研討。
計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的一個(gè)突出優(yōu)點(diǎn)是加強(qiáng)了直觀性，這對(duì)于學(xué)習(xí)抽象內(nèi)容有很大幫助。然而，培養(yǎng)抽象思維能力也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一項(xiàng)任務(wù)。數(shù)學(xué)教學(xué)中并非只要直觀，不要抽象。雖然，利用計(jì)算機(jī)可以更有效地引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)正比例函數(shù)圖象的形狀及位置，使學(xué)生能一目了然地看到具體的正比例函數(shù)圖象；但是，教學(xué)中不應(yīng)讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)僅僅停留在觀察、猜想階段，還應(yīng)適當(dāng)上升到推理的層次，當(dāng)然這種推理必須是學(xué)生可接受的。例如，關(guān)于正比例函數(shù)圖象的位置，雖然可以從具體函數(shù)的圖象中觀察，但是仍有必要讓學(xué)生考慮這樣的問題：為什么正比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過原點(diǎn)？當(dāng)k>0時(shí)，為什么函數(shù)y=kx的圖象只經(jīng)過第三、一象限？當(dāng)k<0時(shí)，為什么函數(shù)y=kx的圖象只經(jīng)過第二、四象限？……這樣的思考對(duì)學(xué)生來說難度并不大，而且會(huì)使學(xué)生的認(rèn)識(shí)得到深化。
綜上所述，在教學(xué)中我們應(yīng)處理好特殊與一般、具體與抽象的關(guān)系，使它們能有機(jī)的結(jié)合，以利于學(xué)習(xí)知識(shí)與發(fā)展思維。為此，我們應(yīng)結(jié)合數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容和特點(diǎn)，對(duì)計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)進(jìn)行更深入的研究，更好地發(fā)揮計(jì)算機(jī)具有的快速、直觀、多變、生動(dòng)等教學(xué)作用，使其更好地為數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)。
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