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圖論中有個(gè)概念叫做正則圖regular graph。正則圖是什么呢？就是所有節(jié)點(diǎn)的度都是一樣的圖。例如大家的度是2或者大家的度是3等等，這樣的圖就比較規(guī)則了。大家的度是一樣的，而且度數(shù)等于r的話，就稱為r-正則圖。上圖的例子中我就寫了3-正則，因?yàn)榇蠹业亩仁?/span>3。那么，有了定義很快就有一些結(jié)果。比如r-正則圖有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的話，那么它有rN/2條邊。因?yàn)橛?/span>N個(gè)節(jié)點(diǎn)，而每個(gè)節(jié)點(diǎn)呢，它的度是r，它就跟r條邊連在一起。我有三條邊，你有三條邊，那么就是3乘以2等于6。有N個(gè)人的話，r乘以N，總共就有rN條邊。但是計(jì)算重復(fù)了，因?yàn)樗阄业臅r(shí)候算了你，算你的時(shí)候又算了我，所以要除以2，結(jié)果就出來了。

再來看正則圖的特征根。它們的分布在某種意義上有對稱性，因?yàn)楣?jié)點(diǎn)的度都一樣。特征根我用μ來表示，區(qū)別一下λ，那是拉普拉斯矩陣的特征根。假設(shè)一幅r-正則圖有N個(gè)特征根。它們的排列是有序的，而且下界大于等于-r。比如說每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有度為3的話，這個(gè)下界是-3，不會(huì)再小了。上界3呢，它不一定能達(dá)到，而且這里實(shí)際上它永遠(yuǎn)達(dá)不到。如果節(jié)點(diǎn)的度都是3的話，那么最大的特征根是小于3的。這就是一個(gè)結(jié)果，或者說一條定理。還有呢，如果一幅正則圖恰好又是二分圖，那么當(dāng)且僅當(dāng)上面的排列變成了下面的排列。就是說，μ2絕對是大于μ1的，而上面的是大于等于，有可能相等，但下面這里是絕不會(huì)相等的。兩式右端的上界還是一樣的，而且不能達(dá)到。

接下來講一個(gè)概念——線圖。線圖也是蠻有用的。

這里是它的定義。定義留給你以后看，現(xiàn)在可以不看，我們來看一個(gè)例子你就明白了。

我們來看上圖左上角這個(gè)例子。我要找它的線圖，怎么找？兩個(gè)步驟：首先，從左上角的圖出發(fā)到右上角的圖。如果節(jié)點(diǎn)1跟節(jié)點(diǎn)4相連，你這里做個(gè)記號，你就寫1，4。這是我的記號。你可以用你的記號，一上一下也行。因?yàn)樗鼈儍蓚€(gè)相連，那么1跟3相連，就寫下來；1跟2相連，也寫下來，等等。全部寫完了以后，就拐到左下角的圖。剛才寫的，如果我有1。你也有1，我們就連起來。另外一個(gè)數(shù)字不同你不要管，肯定是不同的對吧。只要有共同的，就畫一條綠色虛線把它們連接起來。全部走一遍，連好了，不重復(fù)不遺漏。連好以后就把綠色虛線改畫成黑色實(shí)線，這個(gè)是你要保留的。原來的連線就全部去掉。還有，原來的節(jié)點(diǎn)也全部去掉。那么你就得到右下角這幅圖。這幅圖綠顏色的那些小塊，你重新給它們編號，比如說叫a、b、c等，也是可以的。我保留下來是因?yàn)樗菑淖笙陆堑膱D得來的，方便你辨識。最后吧，你就有了一幅新的圖，這幅圖就是原圖相應(yīng)的線圖。線圖就等于把原來的點(diǎn)換成邊了，把原來的邊換成點(diǎn)了，可以這么理解，兩者有這樣置換的關(guān)系。當(dāng)然這只是粗略地去理解，不是一一對應(yīng)。這個(gè)線圖在應(yīng)用上會(huì)有些用處。大家可以想象出來的，點(diǎn)和邊的位置互換，會(huì)帶來某些新用途。

那么接下來呢，還有個(gè)概念叫平面圖。

平面圖分兩種。比如說下面圖一，一看就是沒有交叉點(diǎn)的。眼睛看上去沒有交叉，這個(gè)直接就是Plane平面圖了。

（圖一）

（圖二）

圖二看上去它有交叉，但本質(zhì)上它沒有交叉，因?yàn)槟憧梢园褜蔷€拉出來，它就變成了圖一。因此是Planar，即可平面化的圖。它倆英文上有點(diǎn)不一樣。有些圖需要稍微操作一下才能看得出來它是不是平面圖。上面兩個(gè)平面圖是同構(gòu)的。有個(gè)準(zhǔn)則，說它是不是平面圖，那你就看能不能把它鋪在球面上。如果你能把它鋪上去的話，那它是平面圖，或者說是可以平面化的圖，投影到平面上看它就是兩種平面圖之一。

上面第一排三個(gè)圖都是，因?yàn)槟憧梢园阉鼈冧佋谇蛎嫔蠜]有問題。但是，不是所有圖都可以這么做，不然這個(gè)概念就沒有意義了。第二排這個(gè)，你無法把它鋪在球面上。你說我把一個(gè)球從中間塞進(jìn)去，不行的，它沒有中間空洞的結(jié)構(gòu)讓你塞。因此，你不能把它鋪在球面上的就是非平面圖了。這種圖當(dāng)然有很多。

當(dāng)圖或者網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜起來，亂七八糟的連接會(huì)有很多形式。其中有兩幅圖特別重要，是波蘭數(shù)學(xué)家（K.Kuratowski）發(fā)現(xiàn)的。下圖這兩幅是很有用的非平面圖。

后人用他的名字K命名了左圖為k5，右圖為k33，其中k33是二分圖。這兩個(gè)都是非平面圖。比如說你把k5演變成左下圖后，里面兩條邊你就沒有辦法再拉出去，連邊在平面上總是有交叉的。交叉點(diǎn)不是節(jié)點(diǎn)，只是眼睛看上去，你看得出來有交叉點(diǎn)。那么有交叉點(diǎn)再投影的話，它還是有交叉點(diǎn)的，再做投影也沒用。K33就更不行了。

下面你會(huì)看到這兩個(gè)圖真的有用。這之前我們先來看另一個(gè)有趣的例子，本質(zhì)上與平面圖有關(guān)。這個(gè)應(yīng)用例子挺有趣。Ramsey也是個(gè)數(shù)學(xué)家，他說如果你有超過六個(gè)人去參加一個(gè)聚會(huì)，party，比如說60個(gè)、101個(gè)、1萬個(gè)，都可以。他說，你去參加聚會(huì)的人群里面，我總能找到三個(gè)他們是互相認(rèn)識的，或者總能找到三個(gè)他們是互相不認(rèn)識的，這兩種情況總有一種會(huì)發(fā)生。怎么去驗(yàn)證這個(gè)判斷呢？他說，如果兩個(gè)人互相認(rèn)識的話我把他們的連線標(biāo)成紅色；如果他們互相不認(rèn)識的話，我把他們之間的連線標(biāo)成藍(lán)色。下面視頻對他的證明作進(jìn)一步解釋。

下面這個(gè)概念也是蠻重要的，在應(yīng)用上非常重要，叫做同胚homeomorphism。同胚是什么概念呢？它用來刻畫，一幅圖有時(shí)候某種節(jié)點(diǎn)多一些，實(shí)際上是無所謂的，影響不大的，不影響它的基本結(jié)構(gòu)。

比如說，上圖左邊大三角形的右邊中間沒有節(jié)點(diǎn)，我現(xiàn)在加上兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，像右圖那樣。新增節(jié)點(diǎn)的度都是2。你先不看別的，把它跟原圖相比。它們不同構(gòu)了，右邊的多了兩個(gè)節(jié)點(diǎn)。但其實(shí)影響不大。為什么呢？比如說你開車，你中間經(jīng)過兩道橋，我沒有過橋，這有啥關(guān)系？或者說你不需要交費(fèi)，我經(jīng)過了兩個(gè)收費(fèi)站。但是我倆都從紅點(diǎn)開車到了綠點(diǎn)。不能說它們沒有區(qū)別，但是在很多應(yīng)用上來說，這種不同關(guān)系不大，不重要，甚至是無所謂的。像我發(fā)信號給你，你收到了，中間有沒有通過這兩個(gè)接口有啥關(guān)系？你反正收到我給你發(fā)的信號了。從這個(gè)意義上，引進(jìn)了同胚這個(gè)概念，因?yàn)樗鼈儾⒉煌瑯?gòu)。

我們往下看，還有一些有趣的概念和應(yīng)用。下面的視頻作個(gè)簡單介紹，用到了K5和K33。

這里，馬上又有一些結(jié)果了。如果所有的節(jié)點(diǎn)的度都比2大的話，那么不管你網(wǎng)絡(luò)多大、多復(fù)雜，里面一定有環(huán)路。這個(gè)你怎么去證明？

我說明一下就好了。你從某個(gè)節(jié)點(diǎn)v0出發(fā)走到另外一個(gè)節(jié)點(diǎn)v1。因?yàn)檫@個(gè)節(jié)點(diǎn)它的度大于2，所以你還有一條路往外走。到了v2，它的度也是大于2的，你還可以往外走。就這樣一直走。但只有有限個(gè)節(jié)點(diǎn)，你最后還是要走回來的，回到前面的某個(gè)v。你一回到某個(gè)節(jié)點(diǎn)，不就形成一條環(huán)路了嗎？這樣，結(jié)論就證明了。

下一個(gè)概念是樹，比較好理解。樹有N個(gè)節(jié)點(diǎn)和N-1條連邊。這剛好就是一棵連通的樹。邊多了就有環(huán)路，少了它就斷裂。它們有時(shí)候可以排成一條鏈，但也不見得可以排成一條鏈。對于樹來說，它所有節(jié)點(diǎn)度的總和一定是等于2(N-1)。之前講過，你數(shù)一下有多少條邊，再乘上2就是了。樹非常有用，比如工作分配和數(shù)字編碼等。樹有一些等價(jià)的結(jié)果或者說特性。它是一棵樹當(dāng)且僅當(dāng)它有N-1條邊并且沒有環(huán)路、當(dāng)且僅當(dāng)它有N-1條邊并且是連通的，等等。我不一一列出了，還可以多寫幾個(gè)。

上面所有這些說法都是同一回事，就是說，它是一棵樹。

特別有趣的是分形樹。分形樹有很多很特別很漂亮的特性，這里不詳細(xì)說了。比如，你可以算一下這里展示的特征。樹看上去簡單，但是放在分形里面，它非常漂亮。它有一定的規(guī)律，既簡單又不簡單。因?yàn)橛幸欢ㄒ?guī)律，你總能寫出一些公式來。

下面還有一個(gè)很重要的概念，叫做補(bǔ)圖。這里上下兩幅圖是互為補(bǔ)充的。我給你上面這幅圖G，那么下面的Gc就是它的補(bǔ)圖。

首先，大家都有相同的節(jié)點(diǎn)，這不能變，也不能改。第二呢？你有連線的地方，我沒有，比如說你這里有連線，我下面就沒有；你沒有連線的地方呢，我有。剛好反過來，那么我就是你的補(bǔ)圖。反過來說，你也是我的補(bǔ)圖。我們兩幅互補(bǔ)的圖放在一起，節(jié)點(diǎn)重疊在一起，這樣就得到一幅全連接的圖。這個(gè)是主要特征，當(dāng)然還有別的一些特征。后面我講同步的時(shí)候會(huì)告訴你，補(bǔ)圖非常有用，可以幫助你去判別一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的同步能力是不是比另一個(gè)網(wǎng)絡(luò)要好。

那么現(xiàn)在講圖的連通性。

連通性有各種指標(biāo)。常用的一個(gè)，我們來看一看，如果你攻擊上圖中的左圖，比如說把一些連邊打掉，也就是說把它們刪掉，讓圖變得不連通，你的攻擊就算成功了。實(shí)際上，你要拿掉多少條邊和拿掉哪一些連邊，是要研究一下的事情。研究這些事情，那就分出了兩個(gè)概念，視頻里作詳細(xì)解釋。

還有一個(gè)概念是節(jié)點(diǎn)連通度，下面視頻解釋。

另外一個(gè)就是連邊的連通度了，下面視頻解釋。

接下來是closeness,就是有多靠近，下面視頻解釋。

接下來一個(gè)，理論稍微難一些，講的是圖理論的中心性。你給我一幅圖，你問我這幅圖的中心在哪里。什么物理意義都沒有，那么中心是怎么來定義的呢？你就看，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)到別的節(jié)點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是多少？比如說，下面頂上的圖是一條鏈，它最左邊到最右邊最遠(yuǎn)的距離是6，這個(gè)節(jié)點(diǎn)嘛最遠(yuǎn)是3，那個(gè)節(jié)點(diǎn)呢最遠(yuǎn)是5，等等。然后，中心節(jié)點(diǎn)就定義為那些到別的節(jié)點(diǎn)最遠(yuǎn)距離里面是最短的節(jié)點(diǎn)。那我選這個(gè)就是對的了，最遠(yuǎn)距離是3，比任何其它節(jié)點(diǎn)到別的節(jié)點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離都要小，或者相等。這樣的節(jié)點(diǎn)就是圖理論中心節(jié)點(diǎn)，簡稱中心。有的時(shí)候你要小心，圖的中心不見得就在圖形看上去的中間。如果圖不對稱，你找不到中間的。對稱的話也不見得容易找。而且可能不唯一，例如一個(gè)環(huán)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都是中心。你要按照定義去找。

下一個(gè)概念是周長girth。

現(xiàn)在來介紹一個(gè)簡單有用的概念——生成樹。

最后來看一個(gè)簡單的最小總連邊長度的應(yīng)用問題。

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