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2019年3月19日，由丘成桐先生推薦，美國數(shù)學(xué)家卡倫·烏倫貝克教授，獲得了阿貝爾獎(jiǎng)。今年是這一獎(jiǎng)項(xiàng)首次出現(xiàn)女性得主。在給烏倫貝克的推薦信中，丘先生寫道：“烏倫貝克教授是我們這個(gè)時(shí)代最杰出的數(shù)學(xué)家之一。她在極小曲面、調(diào)和映射、楊·密爾斯理論、非線性波和可積系統(tǒng)方面做了開創(chuàng)性的工作，這些在過去40年里塑造了幾何分析領(lǐng)域。她的工作對微分幾何、偏微分方程、拓?fù)浜蛿?shù)學(xué)物理都產(chǎn)生了巨大的影響?！?/span>

多年之前，丘先生就給老顧講過烏倫貝克的奇聞軼事：有一次，烏倫貝克和丘先生合作研究K?hler流形上Hermitian-Yang-Mills方程，在關(guān)鍵環(huán)節(jié)上遭遇困難。烏倫貝克將自己反鎖在室內(nèi)，整整一周足不出戶，廢寢忘食，將其一舉攻克。烏倫貝克教授頑強(qiáng)的斗志，昂揚(yáng)的激情，深厚的功力都令人嘆為觀止。

這里，我們簡單介紹一下曲面調(diào)和映射的幾何分析方法。眾所周知，丘先生追隨陳省身先生學(xué)習(xí)微分幾何，同時(shí)和Morrey教授學(xué)習(xí)偏微分方程，然后將這兩大領(lǐng)域相結(jié)合，創(chuàng)立了幾何分析學(xué)派。調(diào)和映射理論完美地體現(xiàn)了幾何分析方法的特點(diǎn)，既依賴于微分幾何的理論，又用到偏微分方程的手法。曲面的調(diào)和映射理論更加豐富，除了需要用到微分幾何和偏微分方程，也需要用到代數(shù)拓?fù)浜凸残螏缀卫碚摗?/span>

半壁江山

在計(jì)算機(jī)視覺、醫(yī)學(xué)圖像等領(lǐng)域比較不同的幾何形體具有根本的重要性。例如在醫(yī)學(xué)圖像中，病患的組織器官被拍攝下來，得到CT斷層掃描或者核磁共振圖像，有時(shí)候器官表面被抽取重建起來，然后和健康的器官進(jìn)行精確的定量比較，從而幫助醫(yī)生進(jìn)行診斷。 例如通過比較大腦皮層曲面，判斷阿茲海默癥；比較膀胱內(nèi)壁，診治膀胱腫瘤等等。這些都?xì)w結(jié)為求取幾何曲面（或者實(shí)體）之間的光滑雙射（微分同胚），并且盡量減小幾何畸變，這被稱為是曲面（實(shí)體）配準(zhǔn)問題。

圖1. 比較大腦皮層曲面判斷阿茲海默癥。

圖2. 比較膀胱內(nèi)壁，判斷膀胱癌癥。

在醫(yī)學(xué)圖像領(lǐng)域，有兩種比較常見的曲面配準(zhǔn)方法，LDDMM算法和調(diào)和映射算法。LDDMM算法大致思路如下：假設(shè)源曲面和目標(biāo)曲面都嵌入在三維歐氏空間中的單位立方體內(nèi)，我們計(jì)算一族單位立方體到自身的微分同胚，這族微分自同胚將源曲面同倫（同痕）變換成目標(biāo)曲面。微分自同胚族由單位立方體中的時(shí)變光滑矢量場所決定，光滑矢量場的計(jì)算歸結(jié)為一個(gè)變分問題。這種方法為了計(jì)算二維曲面間的微分同胚，實(shí)際計(jì)算了三維立方體之間同痕變換，計(jì)算量較大；同時(shí)，如果源曲面和目標(biāo)曲面彼此拓?fù)涞葍r(jià)，但是并不同痕等價(jià)（即存在同倫變換，并且每一步都是嵌入），LDDMM方法無法得到微分同胚。相反的，調(diào)和映射方法只在二維曲面上進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)保證幾何畸變最??；更進(jìn)一步，調(diào)和映射方法是內(nèi)蘊(yùn)的，只需要黎曼度量信息，對于拓?fù)渫?、但是非同痕等價(jià)曲面也可以算出微分同胚。

目前醫(yī)學(xué)圖像領(lǐng)域調(diào)和映射方法不似LDDMM方法普遍，一方面有LDDMM提出較早的歷史原因，另一方面也有調(diào)和映射理論較為艱深的學(xué)術(shù)原因。但是，對于蓬勃發(fā)展的醫(yī)學(xué)圖像工業(yè)而言，調(diào)和映射方法高效新穎，完備高效，會(huì)有異軍突起的潛力?？梢源竽戭A(yù)言，調(diào)和映射方法將挑起醫(yī)學(xué)圖像領(lǐng)域幾何配準(zhǔn)算法的半壁江山。

圖3. 動(dòng)態(tài)人臉表情捕捉。

計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域中三維人臉識別，動(dòng)漫動(dòng)畫工業(yè)中動(dòng)態(tài)表情捕捉也依賴于曲面之間的微分同胚，最終歸結(jié)為曲面之間的調(diào)和映射。在工程領(lǐng)域調(diào)和映射的算法被日益推廣，調(diào)和映射的理論日益被重視起來。丘先生和烏倫貝克教授數(shù)十年前的工作為此奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

調(diào)和映射的概念

我們考慮帶有黎曼度量的可定向曲面

, 陳省身先生曾經(jīng)證明局部等溫坐標(biāo)的存在性，，這里是曲面的局部坐標(biāo)，不同的等溫坐標(biāo)間的變換映射為雙全純復(fù)值函數(shù)，所有的等溫坐標(biāo)系構(gòu)成曲面的共形結(jié)構(gòu)，曲面為黎曼面。曲面上的一條曲線為，曲線長度的能量為

,

 長度能量極值者被稱為是測地線，測地線的歐拉-拉格朗日方程為

。

調(diào)和映射是測地線的高維推廣。假設(shè)源曲面和目標(biāo)曲面是拓?fù)涞葍r(jià)的具有黎曼度量的可定向曲面，

和，不妨設(shè)：，，曲面之間的映射為。映射的調(diào)和能量密度定義為

,

曲面的面元為

，映射的調(diào)和能量為

。

從定義可以看到，調(diào)和能量只和源曲面的共形結(jié)構(gòu)

有關(guān)，和共形等價(jià)的黎曼度量無關(guān)。

調(diào)和映射使調(diào)和能量極小化，如果映射光滑

，由變分法得到調(diào)和映射的歐拉-拉格朗日方程：

。

如果我們減弱映射的光滑性

，那么弱調(diào)和映射滿足條件：

。

存在性

烏倫貝克給出了度量曲面之間調(diào)和映射的存在性證明。我們首先證明弱調(diào)和映射的存在性，然后再證明映射的光滑性；在證明過程中，我們先證明局部解的存在性，然后再推廣到全局解。

圖4. Courant-Lebesgue引理。

首先，Courant-Lebesgue引理用調(diào)和能量控制圓周邊界像點(diǎn)之間的測地距離。令

是復(fù)平面上的區(qū)域，是一個(gè)帶有黎曼度量的曲面，并且映射屬于索伯列夫空間，，調(diào)和能量有限，。令

，任意，圓盤，那么存在一個(gè)常數(shù)使得對一切，

。

圖5. 調(diào)和映射的最大值定理。

令

是一個(gè)黎曼流形，是嵌套閉集。如果存在光滑映射，限制在上是恒同映射，并且在上距離收縮，那么我們說是一個(gè)距離收縮投影。令是一個(gè)黎曼流形，帶有邊界，映射，邊界的像，在保持邊界條件的同類映射族中極小化調(diào)和能量，那么極大值定理斷言我們有，即內(nèi)點(diǎn)的像也包含在之中。如果是一個(gè)測地圓盤，其半徑滿足

這里

是內(nèi)射半徑，是截面曲率，那么極大值定理成立。由Courant-Lebesgue引理和最大值定理，我們可以得到Dirichlet問題有解。

圖6. Dirichlet定理。

Dirichlet定理如下：令N是一個(gè)完備黎曼流形，

是內(nèi)射半徑，是截面曲率，點(diǎn)，令

假設(shè)連續(xù)映射

，可以被擴(kuò)展成具有有限調(diào)和能量的映射，那么存在調(diào)和映射，具有邊界條件

，并且調(diào)和映射的連續(xù)模由目標(biāo)黎曼流形的內(nèi)射半徑、截面曲率、調(diào)和能量和g的連續(xù)模共同決定。

基于調(diào)和映射的局部存在性定理，Sacks-Uhlenbeck證明了調(diào)和映射的全局存在性定理【1】，丘先生和Schoen也給出了不同的證明【2】。烏倫貝克定理：假設(shè)

是具有黎曼度量的緊曲面，，并且，如果存在連續(xù)映射具有有限調(diào)和能量，，那么存在調(diào)和映射，與同倫，滿足邊界條件，并且在此同倫類中極小化調(diào)和能量。

正則性

調(diào)和映射的正則性證明是基于經(jīng)典偏微分方程正則性理論：設(shè)給定歐氏空間中的區(qū)域

，并且是泊松方程的弱解。如果，這里p大于背景歐氏空間的維數(shù)2，那么；如果，那么。

首先我們假設(shè)目標(biāo)曲面上配有雙曲黎曼度量

，令是具有有限調(diào)和能量的弱調(diào)和映射。那么對所有，像點(diǎn)之間的雙曲距離具有估計(jì)

。

設(shè)點(diǎn)

，在鄰域U中，我們選擇局部共形坐標(biāo)，使得U被表示為圓盤，由存在性證明我們知道映射是連續(xù)映射，其弱導(dǎo)數(shù)可以由極限得到：

由此小節(jié)中的像點(diǎn)雙曲距離估計(jì)，我們得到此極限有上界，即

。由于為弱調(diào)和映射，在弱意義下滿足條件:

,

由弱導(dǎo)數(shù)模的估計(jì)

，我們得到等式右側(cè)屬于，由此我們得到映射u具有赫德爾連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，即。因?yàn)?div id="fu8ihs5fyo3" class='imgcenter'>