歐氏幾何是人類創(chuàng)立的第一個完整的嚴(yán)密的(相對而言)科學(xué)體系。它于公元前三世紀(jì)由古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得完成,歐洲數(shù)學(xué)2000年發(fā)展史，幾乎有四分之三的時間里歐氏幾何一統(tǒng)天下，對科學(xué)和哲學(xué)的影響極其深遠(yuǎn)。直到魏爾斯特拉斯發(fā)起的分析算術(shù)化運動使代數(shù)從歐氏幾何中完全脫離以及非歐幾何的誕生才結(jié)束了歐氏幾何的統(tǒng)治地位。
其中，非歐幾何的誕生影響著現(xiàn)代自然科學(xué)、現(xiàn)代數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)的發(fā)展，今天我們就來談一下非歐幾何與發(fā)展。
歐幾里得的《幾何原本》標(biāo)志著非歐幾何的誕生，在《幾何原本》里，歐幾里得給出了 23 條定義、5條公理、5條公設(shè)，由此推證出48個命題。公理是指在任何數(shù)學(xué)學(xué)科里都適用的不需要證明的基本原理，公設(shè)則是幾何學(xué)里的不需要證明的基本原理。近代數(shù)學(xué)則對此不再區(qū)分，都稱“公理”。
這五大公設(shè)中，由于第五公設(shè)的內(nèi)容和敘述比前四條公設(shè)復(fù)雜，所以引起后人的不斷研究和探討。
因為前四條公設(shè)都可以用《幾何原本》中的其余公設(shè)、公理和推論證明，而人們始終相信歐氏幾何是物理空間的正確理想化，所以眾多數(shù)學(xué)家就嘗試用前4個公設(shè)、5個公理以及由它們推證出的命題來證明第五公設(shè)，然而都沒有成功。
第五公設(shè)難題：如果一條線段與兩條直線相交，在某一側(cè)的內(nèi)角和小于兩直角和，那么這兩條直線在不斷延伸后，會在內(nèi)角和小于兩直角和的一側(cè)相交。
論證的不成功引發(fā)了數(shù)學(xué)家的疑義，數(shù)學(xué)界由此開始了對“第五公設(shè)難題”的討論。
數(shù)學(xué)家還嘗試用更簡單、明暢的語言來敘述這條公設(shè)，從而更好地理解它并解決它，古希臘數(shù)學(xué)家普羅克魯斯在公元5世紀(jì)就曾經(jīng)試圖重現(xiàn)陳述它，然而這些替代性陳述效果并不比原來的文字更好。直到 18 世紀(jì)普萊菲爾才算總結(jié)出一個比較簡單的替代性公設(shè)：過已知直線外一點能且只能作一條直線與已知直線平行”。 （我們中學(xué)教材就常用這個敘述形式來替代第五公設(shè)。）
從公元前三世紀(jì)一直到公元十八世紀(jì)期間，近 2000 年的時光過去，整個數(shù)學(xué)體系已經(jīng)初具雛形。繼解析幾何和微積分誕生之后，新的數(shù)學(xué)分支紛紛脫穎而出。無數(shù)困難問題得以解決。許多數(shù)學(xué)家創(chuàng)立了復(fù)雜艱深的數(shù)學(xué)理論。但是人們在看上去極其簡單的第五公設(shè)問題面前卻仍然一籌莫展。法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在1759年無奈宣稱：第五公設(shè)問題是“幾何原理中的家丑”。
在達(dá)朗貝爾之后，無數(shù)數(shù)學(xué)家開始向第五公設(shè)發(fā)起了沖鋒，試圖將它攻陷。
18世紀(jì)初，意大利的薩凱里提出用歸謬法試圖證明第五公設(shè)，薩凱里從四邊形開始，如果角A和角B是直角，且AC=BD，容易證明角C等于角D，這樣第五公設(shè)便等價于角C和角D是直角這個論斷。薩凱里還提出了鈍角和銳角的假設(shè)，但是因為與經(jīng)驗認(rèn)識違背，薩凱里最終選擇放棄了最后結(jié)論。
瑞士數(shù)學(xué)家蘭伯特也采用了薩凱里的求證思路，他也考察了一類四邊形，其中3個角為直角，而第四個角有三種可能性：銳角，直角，鈍角。之后蘭貝特否定了鈍角假設(shè)，也沒有輕率地做出銳角假設(shè)導(dǎo)致矛盾的結(jié)論。
蘭伯特
他在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了大膽的猜想：如果過直線外一點如果沒有直線與之平行或者不止一條直線與之平行的情況下，也許存在可能的幾何學(xué)而不產(chǎn)生矛盾。
蘭伯特和薩凱里都走到了非歐幾何的門檻，尤其薩凱里提出的對于銳角的假設(shè)是成立的，他后來成為了羅巴切夫斯基幾何（雙曲幾何）的基礎(chǔ)之一但是因為時代的原因，最終沒有邁過去。
第五公設(shè)問題到了高斯手里，才算取得突破，高斯15歲的時候就饒有興致地思索起了這個困擾了數(shù)學(xué)界近兩千年的難題。他親自做了實地測量，來討論我們生存的空間是否存在有非歐幾何性質(zhì)的可能性，從而用新的幾何思想解決第五公設(shè)難題。
到1813年，高斯已經(jīng)形成了一套關(guān)于新幾何的思想，他稱之為“反歐幾里得幾何”后來又改稱“非歐幾里得幾何”。并且堅信這種新幾何在邏輯上也是相容的，且有廣闊的應(yīng)用前景。但高斯是個較為保守和謹(jǐn)慎的數(shù)學(xué)家，也憂心那些頑固分子會對這一發(fā)現(xiàn)展開攻擊，所以生前并未公開發(fā)表這一成果。
他的行為也打擊到了一位青年數(shù)學(xué)家波爾約，波爾約和他父親一樣（他父親老波爾約和高斯是同學(xué)），醉心于第五公設(shè)研究，在研究之中他得出了非歐幾何的基本原理。1823年，這位驕傲自豪的父親將兒子長達(dá)26頁的論文《關(guān)于一個與歐幾里得第五公設(shè)無關(guān)的空間的絕對真實性的學(xué)說》滿懷自信地交由自己的老同學(xué)高斯審閱。但高斯的回應(yīng)對父子二人來說猶如晴天霹靂。
高斯表示，自己并不能稱贊，因為稱贊他就等同于稱贊自己，因為這些成果與自己30年前思考的結(jié)果相同……然而年輕氣盛的波爾約卻堅信是高斯剽竊了他的成果，這件事沉重打擊了波爾約對數(shù)學(xué)的熱情，選擇放棄了數(shù)學(xué)研究。
玻爾約及其遺留手稿
高斯對于研究成果的秘不發(fā)表，而波爾約轉(zhuǎn)而研究神學(xué)。第五公設(shè)問題到了羅巴切夫斯基手里才算得到初步解決。
他用了與第五公設(shè)相反的斷言：通過直線外一點，可以引不止一條而至少是兩條直線平行于已知直線，“作為假設(shè)，把它與歐氏幾何的其他公設(shè)結(jié)合其他，然后約定這個斷言為公理，若這個假設(shè)與其他公設(shè)不相容，則得到了第五公設(shè)的證明，并由此出發(fā)進(jìn)行邏輯推導(dǎo)而得出一連串新幾何學(xué)的定理，形成了一個邏輯上可能的、無矛盾的理論，這就是高斯遺稿中所命名的《非歐幾何》。
羅巴切夫斯基公理系統(tǒng)和歐幾里得公里系統(tǒng)的不同僅僅在于第五公設(shè)，羅巴切夫斯基用“通過直線外一點，可以引不止一條而至少是兩條直線平行于已知直線”來代替，其他都與歐氏幾何相同，也就是說凡是不涉及到第五公設(shè)的幾何命題，歐氏幾何是正確的，在羅氏幾何中也是正確的。而凡是涉及到第五公設(shè)的，在羅氏幾何中都有新的具體意義。
1854 年，高斯的學(xué)生黎曼發(fā)表了發(fā)表《論作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》一文，宣告了黎曼幾何的誕生。
黎曼以高斯“過直線外一點，沒有直線與已知直線共面而不相交”為公理去代替歐幾里得第五公設(shè)，從而創(chuàng)立了另一種非歐幾何。
在這種幾何中,歐幾里得第五公設(shè)和直線可以任意延長就被否定了,在這種幾何中,對于每一條直線,都存在一個這條直線能夠延長的最大長度。過給定的兩點,總可以作一條以上直線;三角形內(nèi)角和大于180度,且超出的量與三角形面積成正比。
非歐幾何與歐幾里得幾何雖然結(jié)果不同，但它們都是無矛盾的幾何學(xué)。非歐幾何甚至還可以在歐幾里得幾何的某些曲面上表現(xiàn)出來。非歐幾何的產(chǎn)生打破了幾何空間的唯一性，反映了空間形式的多樣性。
簡單而言，黎曼提出的全新的幾何思想保留了歐氏幾何學(xué)的其他公理與公設(shè)，經(jīng)過嚴(yán)密邏輯推理而建立起來的幾何體系。這種幾何否認(rèn)“平行線”的存在，是另一種全新的非歐幾何，
自此，非歐幾何里的兩大支柱羅氏幾何和黎曼幾何就此誕生，而歐幾里得留下的第五公設(shè)難題也被完全解決。
簡單總結(jié)來說，歐氏幾何與羅氏幾何中關(guān)于結(jié)合公理、順序公理、連續(xù)公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。歐式幾何講“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”。 羅氏幾何講“ 過直線外一點至少存在兩條直線和已知直線平行”。那么是否存在這樣的幾何“過直線外一點，不能做直線和已知直線平行”？ 黎曼幾何就回答了這個問題。
當(dāng)時歐氏幾何的權(quán)威性讓非歐幾何被數(shù)學(xué)家接受遇到了很多的阻力，像凡涉及到平行公理的命題，在羅氏幾何中都不成立，他們都相應(yīng)地含有新的意義這點，就讓許多數(shù)學(xué)家難以接受。
比如數(shù)理邏輯的締造者弗雷格，至死不肯承認(rèn)非歐幾何學(xué)，為了能夠讓非歐幾何被數(shù)學(xué)界接受，眾多數(shù)學(xué)家開始尋找非歐幾何的現(xiàn)實模型（建立數(shù)學(xué)模型是溝通擺在面前的實際問題與數(shù)學(xué)工具之間聯(lián)系的一座必不可少的橋梁）。
因為當(dāng)時大家都承認(rèn)歐幾里得幾何學(xué)沒有矛盾，如果能把非歐幾何學(xué)用歐幾里得幾何學(xué)來解釋而且解釋得通，也就變得沒有矛盾。而這就要把非歐幾何中的點、直線、平面、角、平行等翻譯成歐幾里得幾何學(xué)中相應(yīng)的東西，公理和定理也可用相應(yīng)歐幾里得幾何學(xué)的公理和定理來解釋，這種解釋也叫做非歐幾何學(xué)的歐氏模型。
歐氏幾何
而黎曼幾何的數(shù)學(xué)模型就相對好找一些，因為黎曼幾何中的一條基本規(guī)定是：在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點（交點）。在黎曼幾何學(xué)中不承認(rèn)平行線的存在，它的另一條公設(shè)講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經(jīng)過適當(dāng)“改進(jìn)”的球面。
但是羅氏幾何就相對來說比較困難一些。
1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米發(fā)表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實現(xiàn)。這就是說，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應(yīng)的歐幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。
1871年，德國數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)識到從射影幾何中可以推導(dǎo)度量幾何，并建立了非歐幾何模型。這樣，非歐幾何的相容性問題就歸結(jié)為歐氏幾何的相容性問題。
而后來龐加萊構(gòu)建的非歐幾何模型中過“直線”外一點可以做出無數(shù)條與該直線平行的“直線”。其中“直線”指的是過兩點的最短路徑，所以在此模型中“直線”就是連接兩點并且垂直于邊界的圓弧。
還應(yīng)該注意，在這個模型中三角形的內(nèi)角和小于180度。
克萊因和龐加萊先后給出了羅氏幾何的數(shù)學(xué)模式讓大部分?jǐn)?shù)學(xué)家接受了非歐幾何學(xué)。眾多數(shù)學(xué)家指出非歐幾何學(xué)和歐氏幾何學(xué)平起平坐的時代已經(jīng)到來。
如今，經(jīng)過百年的發(fā)展，非歐幾何已經(jīng)成為了幾何學(xué)中非常重要的組成部分，如果我們需要給它下個定義，那么非歐幾何是指不同于歐幾里得幾何學(xué)的幾何體系，一般是指羅巴切夫斯基幾何(雙曲幾何)和黎曼的橢圓幾何。它們與歐氏幾何最主要的區(qū)別在于公理體系中采用了不同的平行定理。
三者的區(qū)別
非歐幾何誕生以后，兩者各行其是，歐氏幾何的幾何結(jié)構(gòu)是平坦的空間結(jié)構(gòu)背景下考察，主要研究平面結(jié)構(gòu)的幾何及立體幾何；而非歐幾何關(guān)注彎曲空間下的幾何結(jié)構(gòu)，適用于抽象空間的研究，即更一般的空間形式。
非歐幾何的產(chǎn)生與發(fā)展，打破了 2000多年來歐氏幾何一統(tǒng)天下的局面，從根本上革新和拓展了人們對幾何學(xué)觀念的認(rèn)識，它引起了人們對數(shù)學(xué)本質(zhì)的深入探討，影響著現(xiàn)代自然科學(xué)、現(xiàn)代數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)的發(fā)展。
它從根本上改變了人們的幾何觀念，擴(kuò)大了幾何學(xué)的研究對象，使幾何學(xué)的研究對象由圖形的性質(zhì)進(jìn)入到抽象空間，即更一般的空間形式，使幾何的發(fā)展進(jìn)入了一個以抽象為特征的嶄新階段。
非歐幾何的誕生過程也促進(jìn)了一些重要數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生，如數(shù)理邏輯、分析基礎(chǔ)等。同時非歐幾何學(xué)的創(chuàng)立為愛因斯坦發(fā)展廣義相對論 提供了思想基礎(chǔ)和有力工具。
可以說，非歐幾何的誕生是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一次重大革命，它的產(chǎn)生推動了數(shù)學(xué)的大發(fā)展，也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的大革新。也更加緊密聯(lián)系了數(shù)學(xué)與物理之間的聯(lián)系。
