我們?cè)谌S空間中構(gòu)造出一個(gè)表面積無(wú)窮大，但體積卻是有限的形狀。如下圖所示，可以看出這個(gè)形狀類似樂(lè)器——小號(hào)，又稱為加百利號(hào)角。
這個(gè)號(hào)角的怪異之處就在于：如果你想要向里面灌水去填滿它，這是可以做到的；但如果你想用油漆將其表面都刷一遍，那么不好意思，這個(gè)辦不到。因?yàn)槔碚撋夏阈枰獰o(wú)窮多的油漆才能刷滿它。
乍一聽(tīng)，可能很多朋友都不相信，怎么可能有這種東西呢？但實(shí)際上當(dāng)初提出這個(gè)設(shè)想的可是正正經(jīng)經(jīng)的科學(xué)家——埃萬(wàn)杰利斯塔·托里拆利。沒(méi)錯(cuò)就是我們中學(xué)時(shí)代，物理課上講的那個(gè)測(cè)量大氣壓的托里拆利。
其構(gòu)思是在數(shù)學(xué)層面進(jìn)行的，過(guò)程很簡(jiǎn)單：我們?cè)O(shè)想將反比例函數(shù)y=1/x，其中沿x大于等于一的部分，繞著x軸旋轉(zhuǎn)一圈，就可以得到這么一個(gè)形狀，長(zhǎng)的和小號(hào)很像。
這時(shí)候，托里拆利就想去計(jì)算這個(gè)小號(hào)的面積和體積是多少？值得注意的是，當(dāng)時(shí)距離微積分的出現(xiàn)還有幾十年呢。因此托里拆利只能用當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)中的卡瓦列利原理（這個(gè)卡瓦列利原理，實(shí)際上就是中國(guó)的祖暅原理，但祖暅原理要比其早了一千年），之后托里拆利得到這個(gè)小號(hào)的表面積無(wú)窮大，但體積卻是一個(gè)有限值。
這個(gè)結(jié)論讓人非常驚訝，因?yàn)閺闹庇^上來(lái)講，一個(gè)物體在體積有限的情況，它的表面積竟然是無(wú)窮大的，難以想象它的存在。
沒(méi)錯(cuò)，因?yàn)檫@個(gè)小號(hào)過(guò)于違背人們的直覺(jué)，以至于當(dāng)時(shí)英國(guó)著名的哲學(xué)家托馬斯·霍布斯直呼：如果你想要從感官上去理解它，只有瘋子才能辦到！
當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界也是議論紛紛，直到后來(lái)微積分出現(xiàn)后，人們利用微積分再次對(duì)其驗(yàn)證，結(jié)果發(fā)現(xiàn)結(jié)論是正確的，確實(shí)是面積無(wú)窮大，體積有限，且體積值為Π。
圖中出現(xiàn)的就是利用微積分計(jì)算面積和體積的算式，可以看到用到的微積分知識(shí)都是相當(dāng)基礎(chǔ)的。
實(shí)際上關(guān)于這個(gè)爭(zhēng)論，從客觀世界出發(fā)，并沒(méi)有多燒腦，因?yàn)閿?shù)學(xué)圖像是理想模型，這個(gè)小號(hào)就是一個(gè)長(zhǎng)度無(wú)限的曲面，毫無(wú)厚度可言，而且它根本不需要考慮微觀層面的物質(zhì)構(gòu)成。
就好比于，在數(shù)學(xué)上我們可以說(shuō)一條線、一個(gè)面。但實(shí)際上，只有長(zhǎng)度，卻沒(méi)有厚度和寬度的線；以及只有長(zhǎng)度和寬度，卻沒(méi)有厚度的面，二者在客觀世界中我們根本造不出來(lái)。
因此這個(gè)小號(hào)也是造不出來(lái)的，所謂的悖論也只是存在于人們的直覺(jué)感受上而已。
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