來自公眾號：后端研究所
好久不見，我是所長大白。
無論是做研究還是實際工作，都需要經(jīng)過長期的積累，才能深刻理解存在的問題、解決方法、瓶頸所在、突破方向等等。
今天和大家聊一下壓縮算法相關(guān)的知識點，廢話不說，馬上開始閱讀之旅吧！
任何適用于工程的算法都有它的數(shù)學(xué)和信息學(xué)理論基礎(chǔ)。
就如同我們寫論文要先做仿真，理論給實踐提供了一定的方向和依據(jù)。
對于壓縮算法來說，我們肯定會問：這是壓縮極限了嗎？還有提升空間嗎？
聊到這里，不得不提到信息學(xué)之父克勞德·艾爾伍德·香農(nóng)，來簡單看下他的履歷簡介：
克勞德·艾爾伍德·香農(nóng)（Claude Elwood Shannon ，1916年4月30日—2001年2月24日）是美國數(shù)學(xué)家、信息論的創(chuàng)始人。
1936年獲得密歇根大學(xué)學(xué)士學(xué)位，1940年在麻省理工學(xué)院獲得碩士和博士學(xué)位，1941年進(jìn)入貝爾實驗室工作，1956年他成為麻省理工學(xué)院客座教授，并于1958年成為終生教授，1978年成為名譽(yù)教授。
香農(nóng)提出了信息熵的概念，為信息論和數(shù)字通信奠定了基礎(chǔ)，他也是一位著名的密碼破譯者。他在貝爾實驗室破譯團(tuán)隊主要追蹤德國飛機(jī)和火箭。
相關(guān)論文：1938年的碩士論文《繼電器與開關(guān)電路的符號分析》，1948年的《通訊的數(shù)學(xué)原理》和1949年的《噪聲下的通信》，1949年的另外一篇重要論文《Communication Theory of Secrecy Systems》。
看完這段介紹，我感覺自己被秒成了粉末了，只能默默打開了網(wǎng)抑云，生而為人，我很遺憾。
熵本身是一個熱力學(xué)范疇的概念，描述了一種混亂程度和無序性。
這是個特別有用的概念，因為自然界的本質(zhì)就是無序和混亂。
舉個不恰當(dāng)?shù)睦樱覀兘?jīng)?？磰蕵啡Π素孕侣劦臅r候，會說信息量很大，上熱搜了等等，那么我們該如何去度量信息量呢？
前面提到的信息學(xué)之父香農(nóng)就解決了信息的度量問題，讓一種無序不確定的狀態(tài)有了數(shù)學(xué)語言的描述。
在1948年的論文《A Mathematical Theory of Communication》中作者將Entropy與Uncertainty等價使用的。
文中提出了信息熵是信息的不確定性（Uncertainty）的度量，不確定性越大，信息熵越大。
論文地址：http://people.math.harvard.edu/~ctm/home/text/others/shannon/entropy/entropy.pdf
在論文的第6章給出信息熵的幾個屬性以及信息熵和不確定性之間的聯(lián)系：
簡單翻譯一下：
我們假設(shè)一個事件有多種可能的選擇，每個選擇的概率分別記為p1,p2....pn，文章進(jìn)一步給出了概率和信息熵的公式：
其中k為一個正常量。
經(jīng)過前面的一些分析，我們基本上快懵圈了，太難了。
所以，我們暫且記住一個結(jié)論：信息是可度量的，并且和概率分布有直接聯(lián)系。
既然有了理論的支持，那么我們來想一想 如何進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮呢？
數(shù)據(jù)壓縮可以分為：無損壓縮和有損壓縮。
壓縮的前提是冗余的存在，消除冗余就是壓縮，用更少的信息來完整表達(dá)信息，來看下百科的定義：
數(shù)據(jù)壓縮是指在不丟失有用信息的前提下，縮減數(shù)據(jù)量以減少存儲空間，提高其傳輸、存儲和處理效率，
需要按照一定的算法對數(shù)據(jù)進(jìn)行重新組織，減少數(shù)據(jù)的冗余和存儲的空間的一種技術(shù)方法。
舉幾個簡單的例子：
在上述文本中'北京交通大學(xué)'可以用'北交'代替，'交通信息工程及控制專業(yè)'可以用'交控專業(yè)'代替。
在上述文本中有比較明顯的局部重復(fù)，比如a出現(xiàn)了8次，z出現(xiàn)了10次，如果我們在分析了輸入字符的分布規(guī)律之后，確定了'重復(fù)次數(shù)+字符'的規(guī)則，就可以進(jìn)行替換了。
本質(zhì)上來說，數(shù)據(jù)壓縮就是找到待壓縮內(nèi)容的概率分布，再按照一定的編碼算法，將那些出現(xiàn)概率高的部分代替成更短的形式。
所以輸入內(nèi)容重復(fù)的部分越多，就可以壓縮地越小，壓縮率越高，如果內(nèi)容幾乎沒有重復(fù)完全隨機(jī)，就很難壓縮。
這個和我們平時優(yōu)化代碼性能的思路非常相似，熱點代碼的優(yōu)化才能帶來更大的收益。
前面提到了，用較短的字符串來替換較長的字符串就實現(xiàn)了壓縮，那么如果對每次替換都使用最短的字符串，應(yīng)該就可以認(rèn)為是最優(yōu)壓縮了。
所以我們需要找到理論上的最短替換串的長度，換到二進(jìn)制來說就是二進(jìn)制的長度，這樣就可以接近壓縮極限了。
我們來分析一下：
假定內(nèi)容由n個部分組成，每個部分出現(xiàn)概率分別為p1、p2、...pn，那么替代符號占據(jù)的二進(jìn)制最少為：
log2(1/p1) + log2(1/p2) + ... + log2(1/pn) = ∑ log2(1/pn)
可能的情況越多，需要的二進(jìn)制長度可能就越長，對于n相等的兩個文件，概率p決定了這個式子的大?。?/p>
舉例：有一個文件包含A, B, C個三種不同的字符，50%是A，30%是B，20%是C，文件總共包含1024個字符，每個字符所占用的二進(jìn)制位的數(shù)學(xué)期望為：
0.5*log2(1/0.5) + 0.3*log2(1/0.3) + 0.2*log2(1/0.2)=1.49
求得壓縮后每個字符平均占用1.49個二進(jìn)制位，理論上最少需要1.49*1024=1526個二進(jìn)制位，約0.1863KB，最終的壓縮比接近于18.63%。
哈夫曼編碼(Huffman Coding)，又稱霍夫曼編碼，是一種編碼方式，哈夫曼編碼是可變字長編碼(VLC)的一種。Huffman于1952年提出一種編碼方法，該方法完全依據(jù)字符出現(xiàn)概率來構(gòu)造異字頭的平均長度最短的碼字，有時稱之為最佳編碼，一般就叫做Huffman編碼（有時也稱為霍夫曼編碼）。
霍夫曼編碼使用變長編碼表對源符號進(jìn)行編碼，其中變長編碼表是通過評估源符號出現(xiàn)的幾率得到的。
出現(xiàn)幾率高的字母使用較短的編碼，出現(xiàn)幾率低的字母使用較長的編碼，這使得編碼之后字符串的總長度降低。
霍夫曼編碼除了使用變長碼之外，還使用前綴編碼來確保解碼時的唯一性，舉個例子：
A-0 C-1 B-00 D-01 則編碼后為：000011010
當(dāng)我們對它進(jìn)行解碼的時候，會發(fā)現(xiàn) 0000 可能對應(yīng)多種解碼方式，如 AAAA、AAB、ABA、BB。
霍夫曼樹中葉子節(jié)點之間不存在父子關(guān)系，所以每個葉子節(jié)點的編碼就不可能是其它葉子節(jié)點編碼的前綴，這是非常重要的。
霍夫曼樹是霍夫曼編碼的重要組成部分，我們拿一個具體的例子來看下霍夫曼樹的一點特性。
霍夫曼編碼的原理和實現(xiàn)還是比較復(fù)雜的，篇幅有限，后面單獨(dú)寫一篇文章詳細(xì)介紹。
本文對數(shù)據(jù)壓縮進(jìn)行了簡要的介紹，說明了數(shù)據(jù)壓縮的本質(zhì)和算法的基本原理，以及霍夫曼樹的一些原理。
數(shù)據(jù)壓縮和分析內(nèi)容的概率分布以及編碼有直接的關(guān)系，但是各個場景下輸入內(nèi)容的側(cè)重點會有所不同，利用機(jī)器學(xué)習(xí)來處理數(shù)據(jù)壓縮也是當(dāng)前的一個熱門話題。
篇幅有限，后續(xù)會重點展開一些細(xì)節(jié)，這篇就算拋磚引玉開頭篇了。
我們下期見。
