硬核科普——不確定性原理本質(zhì)上與量子力學(xué)無(wú)關(guān)，而是純數(shù)學(xué)現(xiàn)象
很多人認(rèn)為，海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理（不確定性原理）是關(guān)于觀察者通過(guò)光子與電子相互作用，從而影響光子的動(dòng)量的理論。觀察者必須影響電子的動(dòng)量（或某些量子狀態(tài)）才能觀察到它，這可能是真的，但這并不是不確定性原理的根本原因！讓我們先定義一下海森堡的不確定性原理。在量子力學(xué)中，測(cè)不準(zhǔn)原理（也被稱(chēng)為海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理）是一種數(shù)學(xué)不等式，對(duì)粒子的某些物理量的值（如位置和動(dòng)量）可以從初始條件預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性提出一個(gè)基本的限制?！?維基百科
一個(gè)常見(jiàn)的表述方式是，在任何給定的時(shí)間點(diǎn)，你無(wú)法同時(shí)準(zhǔn)確測(cè)量一個(gè)粒子的動(dòng)量和位置。這種不確定性并不取決于測(cè)量設(shè)備或環(huán)境。不管我們做得多好，我們都不可能知道這兩個(gè)量的確切值。- 首先，存在著多種不確定性原理，其中許多在宏觀世界中體現(xiàn)。事實(shí)上，你無(wú)時(shí)無(wú)刻不在遇到這些，只是你沒(méi)有意識(shí)到它們。
- 其次，海森堡的不確定性原理背后的根本原因與量子物理學(xué)無(wú)關(guān)，而是與數(shù)學(xué)有關(guān)。
所有這些原理背后的真正原因是某個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)，所有的波（共軛變量）都必須服從，包括物質(zhì)（我們稍后會(huì)討論這個(gè)問(wèn)題）。雷達(dá)技術(shù)、能量和光也有必須遵守的 "不確定性原則"，正如我們很快會(huì)看到的，這一切本質(zhì)上與物理學(xué)無(wú)關(guān)。波
最終，這一切都?xì)w結(jié)為非常簡(jiǎn)單的事情。所有類(lèi)型的信號(hào)或函數(shù)，無(wú)論多么復(fù)雜，實(shí)際上都是正弦波的疊加。這是一種波長(zhǎng)和振幅都很明確的純波。疊加只是意味著所有的波相互作用，然后所有的波的總和（稱(chēng)為干涉）就是構(gòu)成更復(fù)雜信號(hào)的疊加。也就是說(shuō)，我們可以把一個(gè)函數(shù)分解成構(gòu)成它的更簡(jiǎn)單的組成成分（純波）。這幾乎就是傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換所做的事情，只不過(guò)這個(gè)過(guò)程不僅僅是對(duì)周期性函數(shù)而言的。這種效果在音樂(lè)中是顯而易見(jiàn)的，例如吉他聲中帶著泛音，與主波（被撥動(dòng)的弦的頻率）相互干擾。因此，吉他的聲音（和任何其他樂(lè)器）是由不同頻率和振幅的純正弦波組成的。當(dāng)我們描述這樣一個(gè)復(fù)雜的信號(hào)時(shí)，我們可以選擇兩種相等的方式來(lái)表示它。我們可以選擇用一個(gè)時(shí)間軸來(lái)描述所有產(chǎn)生干涉圖樣的波是如何同時(shí)相互作用的，或者我們可以選擇用構(gòu)成它的純波的頻率來(lái)描述它。這兩種方式被稱(chēng)為雙重關(guān)系。如果有一個(gè)數(shù)學(xué)工具來(lái)描述時(shí)間上的信號(hào)和頻率上的信號(hào)之間的這種雙重關(guān)系，那會(huì)非常有幫助。確實(shí)有這樣的數(shù)學(xué)工具。傅里葉變換
我上面提到的描述這種雙重關(guān)系的工具，叫做傅里葉變換。毫無(wú)疑問(wèn)，它是所有數(shù)學(xué)中最強(qiáng)大和最常用的工具之一。首先，我們需要了解一些關(guān)于這種變換的一般情況。傅里葉變換是一個(gè)積分變換（也就是一個(gè)算子），它接收一個(gè)函數(shù)并返回另一個(gè)函數(shù)。作為一個(gè)函數(shù)空間的算子，我們可以把它看作是一個(gè)純數(shù)學(xué)的東西，然而，它有一個(gè)很好的物理解釋?zhuān)梢栽趦煞N情況下使用。我們將主要從物理學(xué)的角度來(lái)考慮它。但當(dāng)然，它本質(zhì)上是純數(shù)學(xué)的。是一個(gè)可積分函數(shù)。f的傅里葉變換是由以下積分給出的：如果f表示聲波作為時(shí)間的函數(shù)，那么傅里葉變換表示構(gòu)成聲波的頻率，因此f是頻率的函數(shù)。下面是一個(gè)GIF，顯示了一個(gè)聲波（本例中是一個(gè)單位脈沖）是如何由許多純正弦波組成的，從而產(chǎn)生了sinc函數(shù)，即sin(πs)/πs。理解一個(gè)信號(hào)總是有這兩種等價(jià)的表達(dá)方式是非常重要的。它們是等價(jià)的，因?yàn)榻o定其中一個(gè)，另一個(gè)是唯一確定的。唯一的傅里葉逆變換是：
傅里葉變換的特性
在提到傅里葉變換時(shí)，我們不能不說(shuō)明和證明它的一些驚人的特性。首先是關(guān)于平移的。假設(shè)h（t）=f（t+a）。通過(guò)變量的改變，我們有：因此，時(shí)間的變化（信號(hào)的延遲），對(duì)應(yīng)于頻率的相移。那么縮放呢..？假設(shè)h（t）=f（at）。我們把這種情況分成a<0和a>0。注意，所用的變量變化是u = at。讓我們看看當(dāng)a<0時(shí)的情況。數(shù)值只在函數(shù)外的a上取。所有這些都可以用一個(gè)表達(dá)式來(lái)說(shuō)明：傅里葉變換的縮放特性意味著，如果我們?cè)跁r(shí)間上壓縮信號(hào)，那么就相當(dāng)于在頻率上擴(kuò)大信號(hào)（水平方向），反之亦然。
通過(guò)量綱分析，我們可以進(jìn)一步理解。時(shí)間以秒為單位，單位是s，頻率以秒的倒數(shù)為單位，單位是1/s。如果把時(shí)間延展，頻率就會(huì)減少，反之亦然。如果你想知道頻率的輸出單位是從哪里來(lái)的，那么這很好理解。傅里葉變換中的s最終決定了構(gòu)成信號(hào)的純波的周期，你可以通過(guò)使用歐拉公式將復(fù)指數(shù)擴(kuò)展為正弦和余弦，或者將傅里葉變換看作一組連續(xù)的傅里葉系數(shù)來(lái)感受一下。讀者可能已經(jīng)知道一個(gè)更實(shí)用的特性是，傅里葉變換將導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換為常數(shù)的乘積。這意味著一個(gè)空間的微分方程對(duì)應(yīng)于另一個(gè)空間的代數(shù)方程。波函數(shù)和海森堡的不確定性原理
量子物理學(xué)家描述一個(gè)量子系統(tǒng)（例如一個(gè)粒子）的方式是通過(guò)可能的量子狀態(tài)。對(duì)此進(jìn)行建模的函數(shù)家族被稱(chēng)為波函數(shù)。比方說(shuō)，位置的波函數(shù)的大小的平方給出了與粒子有關(guān)的概率分布。因此，我們可以把波函數(shù)解釋為產(chǎn)生一個(gè)概率波，告訴我們一個(gè)粒子在一個(gè)特定空間區(qū)域的概率。因此，描述粒子位置的波函數(shù)可以被看作是空間的波，而不是時(shí)間的波。當(dāng)我們對(duì)這個(gè)位置波（位置的波函數(shù)）進(jìn)行傅里葉變換時(shí)，會(huì)得到一個(gè)空間頻率波，而這個(gè)空間頻率波就是粒子的動(dòng)量的波函數(shù)。
如果你想一想，這其實(shí)并不令人驚訝，因?yàn)槿绻阏J(rèn)為光是一個(gè)波包或物質(zhì)波，那么動(dòng)量是由光的頻率給出的。特別是，我們有γ=h/p和f=E/h來(lái)顯示這種關(guān)系。這里γ是波長(zhǎng)，h是普朗克常數(shù)，p是動(dòng)量，f是頻率，E是能量。我們?cè)绞谴_定一個(gè)給定的粒子是在一個(gè)小范圍內(nèi)，位置的波函數(shù)越局限(水平壓縮)。由于動(dòng)量的波函數(shù)是位置波函數(shù)的傅里葉變換，動(dòng)量波函數(shù)將被水平拉長(zhǎng)，這意味著動(dòng)量將有更大的不確定性。這是由于上述傅里葉變換的縮放特性造成的。這就是海森堡的不確定性原理。它只是傅里葉變換的作用。其中h是普朗克常數(shù)，Δx和Δp分別是位置和動(dòng)量的不確定性。廣義的不確定性
當(dāng)一個(gè)函數(shù)g是函數(shù)f的傅里葉變換時(shí)，我們稱(chēng)f和g為共軛變量或共軛對(duì)。對(duì)于任何一對(duì)共軛函數(shù)，都有一個(gè)不確定性原理。海森堡的不確定性原理只是共軛變量這一更廣泛和更深刻現(xiàn)象的一個(gè)特例。
為什么共軛變量的不確定性原理應(yīng)該成立（從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看）？原因是這樣的：短信號(hào)，如突發(fā)的聲音脈沖，需要許多波來(lái)保持振幅在某個(gè)間隔之外為零。相反地，當(dāng)純波貫穿整個(gè)空間時(shí)，信號(hào)越像正弦，描述信號(hào)所需的頻率就越少。- 當(dāng)聽(tīng)到一陣短促的聲音時(shí)，你將很難確定它所包含的頻率，但如果你聽(tīng)到一些純信號(hào)長(zhǎng)時(shí)間響起，你就能夠?qū)⒉煌念l率區(qū)分開(kāi)來(lái)。這也是不確定性原理。
- 同樣，我們對(duì)一個(gè)雷達(dá)目標(biāo)的距離知道得越多，我們就越不能知道準(zhǔn)確地接近或遠(yuǎn)離速度，反之亦然。這就是多普勒和范圍的不確定性。
另一對(duì)共軛變量是能量和時(shí)間。因此，對(duì)于能量和時(shí)間的同時(shí)測(cè)量，有另一種形式的海森堡不確定性原理。描述這種關(guān)系的不等式類(lèi)似于經(jīng)典的不確定性原理：還有許多其他共軛變量，因此也有許多不確定性原理，但它們都有一個(gè)共同點(diǎn)，那就是其基本規(guī)律本身不是物理性的，而是數(shù)學(xué)性的。波的數(shù)學(xué)只是限制了我們能從任何量子系統(tǒng)中檢索到的信息量。海森堡不確定性原理的影響是真實(shí)的
如果你拿一個(gè)激光器指向一個(gè)小狹縫，使部分光線(xiàn)被阻擋，但部分光線(xiàn)通過(guò)，那么就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)驚人的現(xiàn)象。光線(xiàn)在狹縫后面的墻上散開(kāi)，如果讓狹縫變窄，那么散開(kāi)的范圍就會(huì)變大。這似乎違背了直覺(jué)。這是因?yàn)楹Ｉさ牟淮_定性原理。當(dāng)我們使狹縫越來(lái)越窄時(shí)，我們迫使位置波（波函數(shù)）越來(lái)越局部化（狹窄），根據(jù)不確定性原理，動(dòng)量波函數(shù)變得越來(lái)越寬，使越來(lái)越多的方向成為可能。由于動(dòng)量是一個(gè)有方向的矢量，這意味著光子被允許在狹縫的另一側(cè)移動(dòng)的角度變得越來(lái)越大，在墻上形成了美麗的散射。不確定性也可以解釋為什么太陽(yáng)會(huì)發(fā)光，甚至解釋為什么霍金輻射的時(shí)空現(xiàn)象會(huì)縮小黑洞。不確定性是一種純粹的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，但由于量子系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了其中的一些數(shù)學(xué)理論，不確定性也是一種物理原理。
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