歐拉起初的驚人之舉是給出了平方數(shù)的倒數(shù)和等于π^2/6，與歐拉同時(shí)代的數(shù)學(xué)家都沒能解決這個(gè)問(wèn)題，所以歐拉在1734年給出這一結(jié)論時(shí)，曾引起轟動(dòng)。因整個(gè)數(shù)列中沒有圓的蹤跡，結(jié)果卻出現(xiàn)了π，也很讓這個(gè)結(jié)果吸引眼球。
現(xiàn)在就來(lái)探討這個(gè)級(jí)數(shù)鮮為人知的數(shù)學(xué)魅力。
首先在不知情的情況下探討這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)是否會(huì)收斂呢？
變形：將每個(gè)數(shù)寫成兩個(gè)乘積形式然后向后移一項(xiàng)，如下藍(lán)色部分
發(fā)現(xiàn)：綠色部分是一樣的，藍(lán)色部分上面比下面的小
綜合得出：紅色部分的級(jí)數(shù)要比歐拉級(jí)數(shù)的和要大
聰明的你會(huì)看出：兩個(gè)數(shù)乘積等于兩個(gè)數(shù)之差
整理：
得到：
所以最終得到無(wú)窮級(jí)數(shù)的和：
所以歐拉級(jí)數(shù)是收斂的：
熱身結(jié)束了，我們?cè)趺磥?lái)證明歐拉級(jí)數(shù)準(zhǔn)確數(shù)值呢
首先sinX=0是個(gè)三角函數(shù)方程，那么X解肯定有無(wú)窮多個(gè)，可以寫成：
學(xué)過(guò)導(dǎo)數(shù)的話，對(duì)sinX求一次導(dǎo)數(shù)，二次導(dǎo)數(shù)：
在X=0時(shí)得到b的值：
以此類推不斷求導(dǎo)，我們就計(jì)算出了sinx方程的所有系數(shù)得到：
所有的函數(shù)都可以這樣來(lái)構(gòu)造成級(jí)數(shù)的形式，一次方程，二次曲線方程都可以。
歐拉從另外一種思路構(gòu)建sinX的多項(xiàng)式：
sinX方程的根是：
-π到π之間含有sinX=0 方程的三個(gè)解: 0,π-π,其次用曲線來(lái)逼近正弦函數(shù)，所以多了一個(gè)系數(shù)c，最終形式為：
只要逼近曲線在sin函數(shù)所在的0點(diǎn)斜率相同，就能完全吻合：觀察不難得到C值：
整理得到
以此類推得到以根的形式表示sinX的多項(xiàng)式
那么sinX有兩種表達(dá)式的形式，而且是相等的
我們將根的多項(xiàng)式一項(xiàng)一項(xiàng)乘下去發(fā)現(xiàn)：
得到：
這就是歐拉級(jí)數(shù)的原理
比較X^5的系數(shù)你就會(huì)得到：
繼續(xù)觀察就會(huì)得到著名的沃利斯級(jí)數(shù)：
沃利斯級(jí)數(shù)中：分子是全體偶數(shù)平方的乘積，分母是全體奇數(shù)平方的乘積，所以非常神奇。
這都是歐拉級(jí)數(shù)原理中所展現(xiàn)出來(lái)的數(shù)學(xué)魅力。
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