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勾股定理的證明方法圖


要6種以上的方法，必須有圖形與說明

滿意答案：

一個直角三角形，可以拼成如上圖的正方形

大正方形面積=(AB+AC)?

大正方形面積=中間正方形面積+周圍4個直角三角形面積=AB?+4(AB*AC/2)=AB?+2AB*AC

所以(AB+AC)?=AB?+4(AB*AC/2)=AB?+2AB*AC

AB?+AC?+2AB*AC=AB?+2AB*AC

所以AB?+AC?=AB?
補充：

【證法1】（梅文鼎證明）


　　做四個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上. 過C作AC的延長線交DF于點P.


　　∵ D、E、F在一條直線上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,


　　∴ ∠EGF = ∠BED，


　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，


　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，


　　∴ ∠BEG =180°―90°= 90°


　　又∵ AB = BE = EG = GA = c，


　　∴ ABEG是一個邊長為c的正方形.


　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°


　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,


　　∴ ∠ABC = ∠EBD.


　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°


　　即 ∠CBD= 90°


　　又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，


　　BC = BD = a.


　　∴ BDPC是一個邊長為a的正方形.


　　同理，HPFG是一個邊長為b的正方形.


　　設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則


　　,


　　∴ .


　　【證法2】（項明達證明）


　　做兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上.


　　過點Q作QP∥BC，交AC于點P.


　　過點B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點


　　F作FN⊥PQ，垂足為N.


　　∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，


　　∴ ∠MPC = 90°，


　　∵ BM⊥PQ，


　　∴ ∠BMP = 90°，


　　∴ BCPM是一個矩形，即∠MBC = 90°.


　　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °，


　　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，


　　∴ ∠QBM = ∠ABC，


　　又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，


　　∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.


　　同理可證RtΔQNF ≌ RtΔAEF.


　　【證法3】（趙浩杰證明）


　　做兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形.


　　分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG，


　　∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，


　　∴FI=a，


　　∴G,I,J在同一直線上，


　　∵CJ=CF=a，CB=CD=c，


　　∠CJB = ∠CFD = 90°，


　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，


　　同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，


　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE


　　∴∠ABG = ∠BCJ,


　　∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,


　　∴∠ABG +∠CBJ= 90°,


　　∵∠ABC= 90°,


　　∴G,B,I,J在同一直線上，


　　【證法4】（歐幾里得證明）


　　做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結(jié)


　　BF、CD. 過C作CL⊥DE，


　　交AB于點M，交DE于點L.


　　∵ AF = AC，AB = AD，


　　∠FAB = ∠GAD，


　　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，


　　∵ ΔFAB的面積等于，


　　ΔGAD的面積等于矩形ADLM


　　的面積的一半，


　　∴ 矩形ADLM的面積 =.


　　同理可證，矩形MLEB的面積 =.


　　∵ 正方形ADEB的面積


　　= 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積


　　∴ ，即 a^2+b^2=c^2

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