神奇的模型數(shù)學(xué)（20）—分類討論是初中數(shù)學(xué)永恒的主題

問題提出：

上期鞏固練習(xí)：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO為矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)P在BC邊上，直線l ：y=2x+3，直線l ：y=2x-3.

（1）分別求直線l 與x軸，直線l 與AB的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）已知點(diǎn)M在第一象限，且是直線l 上的點(diǎn)，若△APM是等腰直角三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

這是根據(jù)紹興市2016年中考數(shù)學(xué)第24題改編的題目，適合于八年級(jí)學(xué)生練習(xí)，它不但需要綜合運(yùn)用“三垂直模型”與“分量與總量模型”，而且對(duì)△APM是等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)的不確定性要進(jìn)行，分類討論是初中數(shù)學(xué)永恒的主題.

構(gòu)建模型：

分析：

（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特征可求直線l 與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行于x軸的直線上點(diǎn)的特征可求直線l 與AB的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）分三種情況討論可求點(diǎn)M的坐標(biāo)：

①若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M在第一象限；

②若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M在第一象限（如圖2）；

這個(gè)圖很有意思，以矩形的一組鄰邊為基礎(chǔ)構(gòu)建“三垂直模型”后，形成了N、B、P、C四點(diǎn)共線.由“分量與總量模型”可知,PN+BC=CN+BP,因?yàn)镻N=AB,BP=MN,所以有AB+BC=CN+MN,即.CN+MN=4+3.即可求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

③若點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M在第一象限.

（i）當(dāng)M在AB下方時(shí)，如圖3構(gòu)建“三垂直模型”,根據(jù)等式AG +G M =4即可求點(diǎn)M 的坐標(biāo)；

（ii）當(dāng)M在AB上方時(shí)，如圖4構(gòu)建“三垂直模型”,此類問題的關(guān)鍵是確定等量關(guān)系，這時(shí)又該如何確定等量關(guān)系呢？當(dāng)然可以用類比的方法，如（i）中用等式AG +G M =4去求點(diǎn)M 的坐標(biāo)；

其實(shí)這是一個(gè)很有趣的圖形，正能良在這里分享一個(gè)更好、更快捷的方法.

當(dāng)四邊形PCQF是正方形時(shí)，則矩形ABCD的周長=矩形AEFG的周長.即AB+BC=AE+EF.

所以圖4中有M 的橫縱坐標(biāo)之和=4+3.你說神奇不神奇？有趣不有趣？從中我們能體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣！

問題解決：

（2）①若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M在第一象限，連結(jié)AC，

如圖1，∵∠APM>∠APB>∠ACB>45°，

∴△APM不可能是等腰直角三角形，

∴點(diǎn)M不存在；

下期預(yù)告：

已知△ABC中，∠A=120°，∠B=40°，請(qǐng)畫一條直線，把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形（請(qǐng)你選用下面給出的備用圖，把所有不同的分割方法都畫出來、只需畫圖，不必說明理由，但要在圖中所畫的等腰三角形內(nèi)標(biāo)出所有角的度數(shù)）.