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在上一節(jié)，我們從單位線段δ出發(fā)，通過(guò)“尺規(guī)作圖”的方法對(duì)線段的形式進(jìn)行了擴(kuò)充。為了討論問(wèn)題方便，對(duì)于有理數(shù)a，我們也用a表示線段aδ。這樣，通過(guò)上一節(jié)的討論，我們能夠得到的線段的形式就可以歸納為下面的集合

W₁={a+b√c；a,b,c∈R} (1)

其中R為有理數(shù)的集合?？梢钥吹剑?）所示集合包含了所有的有理數(shù)，也包含了與有理數(shù)的根式有關(guān)的無(wú)理數(shù)。

下面我們說(shuō)明，從有理數(shù)集合R出發(fā)，通過(guò)“尺規(guī)作圖”只能得到集合W₁所示的線段形式。很顯然，利用直尺只能得到直線，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)直線方程可以表示為

ax+by+c=0

的形式；而利用圓規(guī)可以得到圓，其方程為

(x-s)²+(y-t)²=r²

解上面兩個(gè)聯(lián)立方程，可以得到圓與直線的交點(diǎn)的x的坐標(biāo)，即為一個(gè)二次方程

Ax²+Bx+C=0

的解，其中A,B和C均為原直線方程和圓的系數(shù)的函數(shù)，均為有理數(shù)。由二次函數(shù)的求根公式，我們可以得到

x=(-B±√(B²-4AC))/2A

這恰為集合W₁中給出的線段的形式。因?yàn)樵诼?lián)立方程中y 與x的地位是對(duì)稱的，因此，坐標(biāo)y也只能具有集合W₁中線段的形式。

從集合W₁出發(fā)，通過(guò)“尺規(guī)作圖”可以使線段的形式得的進(jìn)一步的擴(kuò)充。通過(guò)上面的分析我們可以看到，新的線段形式的集合為

W₂={a+b√c；a,b,c∈W₁}

同樣的方法，k步操作后，我們可以得到W_k的形式：

W_k={a+b√c；a,b,c∈W_k-1} (2)

通過(guò)上面的討論，我們可以進(jìn)行逐步推斷：從有理數(shù)集合R出發(fā)，通過(guò)“尺規(guī)作圖”得到的線段的集合W₁是有理系數(shù)二次方程的根；因?yàn)閃₂是基于W₁的，容易驗(yàn)證，W₂是有理系數(shù)四次方程的根；一般地，通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法可以證明，通過(guò)k步操作得到的W_k是有理系數(shù)2^k次方程的根。

我們稱以有理數(shù)為系數(shù)的方程的根為代數(shù)數(shù)，因此，我們可以得到結(jié)論：通過(guò)“尺規(guī)作圖”得到的數(shù)至多是代數(shù)數(shù)。雖然代數(shù)數(shù)的集合是對(duì)有理數(shù)集合的一個(gè)擴(kuò)充，但是這個(gè)擴(kuò)充是相當(dāng)有限的，像π和e這樣的超越數(shù)是無(wú)法用代數(shù)數(shù)表示的。特別是在19世紀(jì)，德國(guó)數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始人康托（1845-1918）用對(duì)應(yīng)的方法證明了超越數(shù)要比代數(shù)數(shù)多得多，這更看到了幾何作圖的有限性。

在這里，我們有理由再次對(duì)戴德金（1831-1916）發(fā)明的戴德金分割方法表示質(zhì)疑。戴德金分割是定義實(shí)數(shù)的經(jīng)典方法。我們?cè)谶@里提出質(zhì)疑的目的不是為了否定，而是為了促進(jìn)人們進(jìn)一步思考數(shù)學(xué)的本原?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性的教學(xué)內(nèi)容，已經(jīng)被思維嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)家們雕琢得幾乎天衣無(wú)縫，但是，沒(méi)有根本性得質(zhì)疑就很難理解基本概念的本質(zhì)，因此，這種“天衣無(wú)縫”也會(huì)給教學(xué)帶來(lái)負(fù)作用，也就是說(shuō)，使得在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中涉及數(shù)學(xué)核心思想的內(nèi)容太少。正是因?yàn)槲覀冊(cè)诮袢疹^條中的題目就是“數(shù)學(xué)思想”，所以不得不對(duì)一些最基本的數(shù)學(xué)概念提出質(zhì)疑，從而引發(fā)人們的思考。

戴德金分割定義了實(shí)數(shù)，并且證明了實(shí)數(shù)的連續(xù)性。事實(shí)上，可以建立實(shí)數(shù)與數(shù)軸的對(duì)應(yīng)關(guān)系，形象地描述戴德金分割：已經(jīng)知道數(shù)軸上有有理數(shù)，然后再用一把刀子砍數(shù)軸，假設(shè)每一刀砍下去一定能夠砍到一個(gè)數(shù)（戴德金并沒(méi)有建立這個(gè)假設(shè)，但是他確認(rèn)每次分割都能得到一個(gè)數(shù)，因此戴德金并沒(méi)有比歐幾里得走得更遠(yuǎn)），如果砍到的數(shù)不是有理數(shù)，那么就稱這個(gè)數(shù)為無(wú)理數(shù)，進(jìn)一步把有理數(shù)與無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。戴德金確信用這種方法，能把所有的實(shí)數(shù)都砍出來(lái)。戴德金又進(jìn)一步證明：因?yàn)槊靠骋坏犊车降臄?shù)都是實(shí)數(shù)，因此實(shí)數(shù)與數(shù)軸一樣是連續(xù)的?，F(xiàn)在我們質(zhì)疑的是：戴德金用刀子砍的方法與我們用圓規(guī)任意畫(huà)的方法有本質(zhì)的差異嗎？如果有差異，那么差異在什么地方呢？如果沒(méi)有差異，為什么戴德金能得到所有的實(shí)數(shù)，而我們只能得到代數(shù)數(shù)呢？

通過(guò)上面的討論我們可以看到，古希臘人用幾何的方法解釋了√2這樣的無(wú)理數(shù)，就認(rèn)為幾何學(xué)比代數(shù)學(xué)更加符合邏輯因而也更加合理，但是，他們并沒(méi)有走得更遠(yuǎn)，因?yàn)橛脦缀谓忉尨鷶?shù)的能力是相當(dāng)有限的。通過(guò)上面的討論我們還知道，不僅可以借助幾何作圖的方法來(lái)討論代數(shù)問(wèn)題，反之，也可以借助代數(shù)的方法來(lái)討論幾何作圖問(wèn)題。