肖博數(shù)學(xué)小題專練(十) 立體幾何
一、選擇題
1.如圖所示是一個物體的三視圖，則此三視圖所描述物體的直
觀圖是( )
答案 D
解析 先觀察俯視圖，由俯視圖可知選項 B 和 D 中的一個正確，
由正視圖和側(cè)視圖可知選項 D 正確，故選 D。
2.一個簡單幾何體的正視圖、側(cè)視圖如圖所示，則其俯視圖不
可能為( )
A.長方形 B.直角三角形
C.圓 D.橢圓
答案 C
解析 當(dāng)俯視圖為圓時，由三視圖可知為圓柱，此時正視圖和側(cè)
2
視圖應(yīng)該相同，所以俯視圖不可能是圓，故選 C。
3.已知點 E，F(xiàn)，G 分別是正方體 ABCD-A1B1C1D1的棱 AA1，
CC1，DD1的中點，點 M，N，Q，P 分別在線段 DF，AG，BE，C1B1
上。以 M，N，Q，P 為頂點的三棱錐 P-MNQ 的俯視圖不可能是( )
答案 C
解析 當(dāng) M 與 F 重合、N 與 G 重合、Q 與 E 重合、P 與 B1重合
時，三棱錐 P-MNQ 的俯視圖為 A;當(dāng) M、N、Q、P 是所在線段的
中點時，三棱錐 P-MNQ 的俯視圖為 B;當(dāng) M、N、Q、P 位于所在
線段的非端點位置時，存在三棱錐 P-MNQ，使其俯視圖為 D。故選
C。
4.(2017·河南新鄉(xiāng)二模)已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則
該幾何體的體積為( )
3
A.
32
3
B.
16
3
C.
8
3
D.
4
3
答案 C
解析 該幾何體由一個三棱錐和一個三棱柱組合而成，直觀圖如
圖所示，V=V 柱+V 錐=
1
2×(1+1)×1×2+
1
3×
1
2×(1+1)×1×2=
8
3，
故選 C。
5.(2017·全國卷Ⅲ)已知圓柱的高為 1，它的兩個底面的圓周在
直徑為 2 的同一個球的表面上，則該圓柱的體積為( )
A.π B.
3π
4
C.
π
2
D.
π
4
答案 B
4
解析 設(shè)圓柱底面半徑為 r，由題知圓柱的高 h=1，圓柱外接球
的半徑 R=1，則 r
2=R
2-?
?
?
?
?
h?
2
2=1
2-?
?
?
?
?
1?
2
2=
3
4，所以圓柱的體積 V=πr
2h
=
3π
4 ，故選 B。
6.若正三棱錐 A-BCD 中，AB⊥AC，且 BC=1，則三棱錐 A
-BCD 的高為( )
A.
6
6
B.
3
3
C.
2
2
D.
6
3
答案 A
解析 設(shè)三棱錐 A-BCD 的高為 h，依題意得 AB，AC，AD 兩
兩垂直，且 AB=AC=AD=
2
2
BC=
2
2 ，△BCD 的面積為 3
4 ×1
2=
3
4 。
由 VA-BCD=VB-ACD得
1
3
S△BCD·h=
1
3
S△ACD·AB，即1
3×
3
4 ×h=
1
3×
1
2×?
?
?
?
?
2?
2
2×
2
2 ，解得 h=
6
6 ，即三棱錐 A-BCD 的高 h=
6
6 ，故選 A。
7.已知 m 和 n 是兩條不同的直線，α 和 β 是兩個不重合的平面，
那么下面給出的條件中一定能推出 m⊥β 的是( )
A.α⊥β 且 m⊥α B.α⊥β 且 m∥α
C.m∥n 且 n⊥β D.m⊥n 且 n∥β
答案 C
解析 依題意，對于 A，注意到直線 m 可能平行或位于平面 β
內(nèi)，因此選項 A 不正確;對于 B，注意到直線 m 可能平行或位于平
面 β 內(nèi)且與它們的交線平行，因此選項 B 不正確;對于 C，由定理“若
兩條平行線中的一條與一個平面垂直，則另一條也與這個平面垂直”
5
得知，C 正確;對于 D，注意到直線 m 可能平行或位于平面 β 內(nèi)，因
此選項 D 不正確。綜上所述，故選 C。
8.如圖所示，直線 PA 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 內(nèi)接于
⊙O，且 AB 為⊙O 的直徑，點 M 為線段 PB 的中點?，F(xiàn)有結(jié)論：①
BC⊥PC;②OM∥平面 APC;③點 B 到平面 PAC 的距離等于線段 BC
的長。其中正確的是( )
A.①② B.①②③
C.① D.②③
答案 B
解析 對于①，∵PA⊥平面 ABC，∴PA⊥BC?！逜B 為⊙O 的直徑，
∴BC⊥AC，又∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面 PAC，又 PC?平面 PAC，
∴BC⊥PC。對于②，∵點 M 為線段 PB 的中點，∴OM∥PA，∵PA?平
面 PAC，OM?平面 PAC，∴OM∥平面 PAC。對于③，由①知 BC⊥平
面 PAC，∴線段 BC 的長即是點 B 到平面 PAC 的距離，故①②③都正
確。
9.已知 m，n 是兩條不同的直線，α，β 是兩個不同的平面，給
出四個命題：
①若 α∩β=m，n?α，n⊥m，則 α⊥β;
②若 m⊥α，m⊥β，則 α∥β;
③若 m⊥α，n⊥β，m⊥n，則 α⊥β;
④若 m∥α，n∥β，m∥n，則 α∥β。
6
其中正確的命題是( )
A.①② B.②③
C.①④ D.②④
答案 B
解析 兩個平面斜交時也會出現(xiàn)一個平面內(nèi)的直線垂直于兩個
平面的交線的情況，①不正確;垂直于同一條直線的兩個平面平行，
②正確;當(dāng)兩個平面與兩條互相垂直的直線分別垂直時，它們所成的
二面角為直二面角，故③正確;當(dāng)兩個平面相交時，分別與兩個平面
平行的直線也平行，故④不正確。
10.(2017·廣州綜合測試(一))如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為
1，粗線畫出的是某幾何體的正視圖(等腰直角三角形)和側(cè)視圖，且
該幾何體的體積為8
3，則該幾何體的俯視圖可以是( )
答案 D
7
解析 由題意可得該幾何體可能為四棱錐，如圖所示，其高為 2，
其底面為正方形，面積為 2×2=4，因為該幾何體的體積為1
3×4×2
=
8
3，滿足條件，所以俯視圖可以為一個直角三角形。故選 D。
11.(2017·安徽皖北協(xié)作區(qū) 3 月聯(lián)考)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的
邊長為 1，粗線(實線和虛線)表示的是某幾何體的三視圖，則該幾何
體外接球的表面積為( )
A.24π B.29π
C.48π D.58π
答案 B
8
解析 如圖，在 3×2×4 的長方體中構(gòu)造符合題意的幾何體(三
棱錐 A-BCD)，其外接球即為長方體的外接球，表面積為 4πR
2=π(32
+2
2+4
2
)=29π。
12.(2017·洛陽第一次統(tǒng)考)四面體 A-BCD 中，∠ABC=∠ABD
=∠CBD=60°，AB=3，CB=DB=2，則此四面體外接球的表面積
為( )
A.
19
2
π B.
19 38π
24
C.17π D.
17 17π
6
答案 A
解析 依題意，在△ABC 中，AC=
AB2+BC2-2AB·BC·cos ∠ABC = 7 。 在 △ ABD 中 ， AD =
AB2+BD2-2AB·BD·cos ∠ABD= 7=AC。在△BCD 中，BC=DB
=2，∠CBD=60°，因此△BCD 是正三角形，CD=2。
9
如圖所示 ，記三棱錐 A-BCD 的外接球球心為 O，半徑為 R，
取 CD 的中點 M，連接 AM，BM，OA，OB，則有 AM⊥CD，BM⊥
CD，AM= 7-1= 6，BM=
3
2 ×2= 3，AM2+BM2=9=AB2，AM
⊥BM，AM⊥平面 BCD，球心 O 在平面 BCD 上的射影是正△BCD 的
中心 O1，連接 OO1，則 AM∥OO1，O1M=
1
3
BM=
3
3 ，O1B=
2
3
BM=
2 3
3 。
在直角梯形 AMO1O 中，OO1= BO2-BO2
1= R
2-
4
3，AM= 6，
AO2=O1M2+(AM-OO1)
2，即 R
2=
1
3+?
?
?
?
?
?
6- R
2-
4
3
2，解得 4R
2=
57
6
=
19
2 ，因此三棱錐 A-BCD 的外接球的表面積等于 4πR
2=
19π
2 ，故選
A。
二、填空題
13.(2017·江蘇高考)如圖，在圓柱 O1O2內(nèi)有一個球 O，該球與
10
圓柱的上、下底面及母線均相切。記圓柱 O1O2的體積為 V1，球 O 的
體積為 V2，則V1
V2
的值是________。
答案 3
2
解析 設(shè)球 O 的半徑為 r，則圓柱的底面圓半徑為 r，高為 2r，
則
V1
V2
=
πr
2·2r
4
3
πr
3
=
3
2。
14.(2017·武漢高三調(diào)研)中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載
了公元前 344 年商鞅督造的一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，其三視圖
如圖所示(單位：寸)，若 π 取 3，其體積為 12.6(單位：立方寸)，則圖
中的 x 為________。
答案 1.6
解析 該幾何體是一個組合體，左邊是一個底面半徑為1
2的圓柱，
右邊是一個長、寬、高分別為 5.4-x,3,1 的長方體，∴組合體的體積 V
=V 圓柱+V 長方體=π·?
?
?
?
?
1?
2
2×x+(5.4-x)×3×1=12.6(其中 π=3)，解得
x=1.6。
15.(2017·廣西三市第一次聯(lián)考)已知長方體 ABCD-A1B1C1 D1
內(nèi)接于球 O，底面 ABCD 是邊長為 2 的正方形，E 為 AA1的中點，OA
11
⊥平面 BDE，則球 O 的表面積為________。
答案 16π
解析 取 BD 的中點為 O1，連接 OO1，OE，O1E，O1A，則四邊
形 OO1AE 為矩形，∵OA⊥平面 BDE，∴OA⊥EO1，即四邊形 OO1AE
為正方形，則球 O 的半徑 R=OA=2，∴球 O 的表面積 S=4π×2
2=
16π。
16.(2017·武漢高三調(diào)研)若四面體 ABCD 的三組對棱分別相等，
即 AB=CD，AC=BD，AD=BC，給出下列結(jié)論：
①四面體 ABCD 每組對棱相互垂直;
②四面體 ABCD 每個面的面積相等;
③從四面體 ABCD 每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于 90°
而小于 180°;
④連接四面體 ABCD 每組對棱中點的線段相互垂直平分;
⑤從四面體 ABCD 每個頂點出發(fā)的三條棱的長可作為一個三角
形的三邊長。
其中正確結(jié)論的序號是________。(寫出所有正確結(jié)論的序號)
答案 ②④⑤
解析 將四面體 ABCD 的三組對棱分別看作平行六面體的對角
線，由于三組對棱分別相等，所以平行六面體為長方體。(該長方體
不一定為正方體)。故正確的有②④⑤。
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