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經(jīng)典例題：[2019湖南五市十校高三聯(lián)考題]

設(shè)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，xln·f′(x)<-f（x），則使得(x^2-2x-8)f(x)>0成立的x的取值范圍是（ ）

A．(-2，0)∪(4，+∞)

B．(-∞，-4)∪(0，2)

C．(-∞，-2)∪(0，4)

D．(-∞，-2)∪(4，+∞）

思路分析：根據(jù)題意，設(shè)g(x)=lnx·f（x)，對(duì)g(x)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析可得g(x)在(O，+∞)上為減函數(shù)，分析g(x)的特殊值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得在區(qū)間(0，1)和(1，+∞)上，都有f(x)<0，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得在區(qū)間(-1，0)和(-∞，-1)上，都有f(x)>0，結(jié)合題設(shè)不等式得f(1)<0，則f(-1)>0，進(jìn)而將不等式變形轉(zhuǎn)化，可得x的取值范圍．

解析：設(shè)g(x)=lnx·f(x)，則x>0時(shí)，g′(x)=1/xf(x)+lnx·f′(x)<0，所以g(x)在(0，+∞)上為減函數(shù)，且g(1)=0，則在區(qū)間(0，1)上，g(x)=lnx·f(x)>0，又lnx<0，所以f(x)<0；在區(qū)間(1，+∞)上，g(x)=lnx·f（x)<0，又lnx>0，所以f(x)<0．所以當(dāng)x∈(0，1)∪(1，+∞)時(shí)，f(x)<0，由f(x)為奇函數(shù)知，在區(qū)間(-1，0)和(-∞，-1)上，都有f(x)>0．在題設(shè)不等式中令x=1，知f(1)<0，則f(-1)>0，所以(x2-2x-8)f(x)>0等價(jià)于x^2-2x-8>0和f(x)>0或x^2-2x-8<0和f（x)<0成立，解得x<-2或0<x<4，則x的取值范圍是(-∞，-2)∪(0，4)．故選C．

答案：C

總結(jié)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系．以及不等式的解法，考查考生的運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算．