設(shè)A、B為n階方陣，μ為A的特征值。

相關(guān)結(jié)論

1.矩陣A的所有特征值的和等于A的跡(A的主對角線元素之和)。

2.矩陣A的所有特征值的積等于A的行列式。

3.關(guān)于A的矩陣多項式f(A)的特征值為f(μ)。

4.若A可逆，則A^?1的特征值為1/μ。

5.若A與B相似，則A與B有相同特征多項式，即A與B特征值相同。

6.屬于A的不同特征值的特征向量線性無關(guān)。

7.(哈密爾頓定理)若φ(μ)為A的特征多項式，則φ(A)=0。

8.A能對角化的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量。

9.若A的n個特征值互不相同，則A可對角化。

10.若A的k重特征值μ有k個線性無關(guān)的特征向量，則A可對角化。

11.若A有k重特征值μ，齊次方程(A?μE)X=0解空間維數(shù)為k，則A可對角化。

12.若A有k重特征值，矩陣A?μE的秩為n?k，則A可對角化。

13.若A是對稱矩陣，則屬于A的不同特征值的特征向量正交。

14.若A是對稱矩陣，則A必可對角化。

矩陣A對角化的步驟

1.求可逆矩陣P，使得

P^^?1AP=diag(μ₁,μ₂,?,μ_n)

①求A的特征值μ₁,μ₂,?,μ_n；

②求上述特征值對應(yīng)的特征向量p₁,p₂,?,p_n；

③寫出矩陣P=(p₁,p₂,?,p_n)。

2.若A對稱，求正交矩陣Q，使得

Q^^?1AQ=Q^^TAQ=diag(μ₁,μ₂,?,μ_n)

①求A的特征值μ₁,μ₂,?,μ_n；

②求上述特征值對應(yīng)的特征向量p₁,p₂,?,p_n；

③將k重特征值μ_i的k個特征向量施密特正交化；

④將所有n個特征向量單位化；

⑤不妨設(shè)經(jīng)過正交化單位化的特征向量依次為q₁,q₂,?,q_n，寫出正交矩陣Q=(q₁,q₂,?,q_n)。

典型例子