“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”不僅應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生很好地掌握各種具體的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，還應(yīng)由數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的學(xué)習(xí)深入到思維的層面，即應(yīng)當(dāng)幫助他們通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維。以下就是這方面工作特別重要的兩個(gè)環(huán)節(jié)：（1）教學(xué)內(nèi)容的“方法論重建”；（2）“問(wèn)題引領(lǐng)”。
1. 強(qiáng)調(diào)思維的發(fā)展不應(yīng)被理解成用思維教學(xué)完全取代數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的教學(xué)，而是應(yīng)當(dāng)用思維分析帶動(dòng)具體知識(shí)和技能的教學(xué)，從而真正做到“教懂、教活、教深”，即能夠通過(guò)自己的教學(xué)向?qū)W生展現(xiàn)“活生生的”數(shù)學(xué)研究工作，而不是死的數(shù)學(xué)知識(shí)；能幫助學(xué)生真正理解相關(guān)的內(nèi)容，而不是囫圇吞棗，死記硬背；不僅使學(xué)生掌握具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，也能領(lǐng)會(huì)內(nèi)在的思想方法。
具體地說(shuō)，數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)被等同于魔術(shù)表演。例如，盡管我們可以借助某種游戲（如從1開(kāi)始兩人依次報(bào)1～3個(gè)相繼的自然數(shù)，報(bào)31者為輸）激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，但最終應(yīng)清楚地揭示背后的道理；更重要的是，我們應(yīng)通過(guò)教學(xué)使學(xué)生獲得這樣的感受：這并非是只有少數(shù)天才才能做出的發(fā)明創(chuàng)造，而是“可以理解的、可以學(xué)到手的和可以推廣應(yīng)用的”。
當(dāng)然，這不是指我們?cè)谡n堂上應(yīng)當(dāng)原封不動(dòng)地去介紹相應(yīng)的歷史（在很多情況下這也是不可能的），而是應(yīng)當(dāng)通過(guò)自己的創(chuàng)造性勞動(dòng)實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)史的方法論重建”，真正“化神奇為平凡”。
例如，關(guān)于少年高斯如何很快地計(jì)算出“1+2+3+……+100=5050”，波利亞是如何構(gòu)思出“每只雞都用一只腳站在地上，兔子則舉起了前腿”這樣一個(gè)“奇思妙想”，從而順利地解決了“雞兔問(wèn)題”的方法論解讀，就可以看成這方面的典型實(shí)例。（詳見(jiàn)另著《數(shù)學(xué)方法論入門》，浙江教育出版社，2006年，第七章）有興趣的讀者還可嘗試著去解決這樣一個(gè)問(wèn)題（這是一位數(shù)學(xué)院士在報(bào)告中提到的），即通過(guò)“方法論重建”說(shuō)明人們是如何做出“三角形的內(nèi)角和是180度”這一發(fā)現(xiàn)的。當(dāng)然，針對(duì)“勾股定理”我們也可提出同樣的問(wèn)題。
由于“數(shù)學(xué)方法論指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)”在我國(guó)已提倡多年，更有不少的研究成果與教學(xué)經(jīng)驗(yàn)（特別是在中學(xué)層面），在此不予贅述。（感興趣的讀者可參見(jiàn)另著《數(shù)學(xué)方法論》，廣西教育出版社，2008年；或《數(shù)學(xué)方法論的理論與實(shí)踐》，廣西教育出版社，2009年）
2. 顯然，“內(nèi)容的方法論重建”進(jìn)一步凸顯了教師在教學(xué)活動(dòng)中的主導(dǎo)作用。正因如此，我們應(yīng)當(dāng)特別重視這樣一個(gè)問(wèn)題，即如何才能同時(shí)保證學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的主體地位。這也正是數(shù)學(xué)教學(xué)為什么應(yīng)當(dāng)突出“問(wèn)題引領(lǐng)”的主要原因。
從上述角度進(jìn)行分析，我們就可以很好地理解用“真問(wèn)題”引領(lǐng)教學(xué)的重要性，即應(yīng)十分重視問(wèn)題的“自然性”。當(dāng)然，這也是“深度教學(xué)”的一個(gè)必然要求：我們不僅應(yīng)當(dāng)圍繞“真問(wèn)題”去進(jìn)行教學(xué)，也應(yīng)通過(guò)適當(dāng)?shù)淖穯?wèn)、反問(wèn)等引導(dǎo)學(xué)生更深入地進(jìn)行思考。
【例4】“真問(wèn)題”和“深問(wèn)題”
“真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)”是特級(jí)教師羅鳴亮新近執(zhí)教的一堂研究課?；诓簧賹W(xué)生在課前就已知曉了相關(guān)的規(guī)定，他設(shè)定了這樣的教學(xué)目標(biāo)：“本節(jié)課立足暴露學(xué)生的真實(shí)問(wèn)題來(lái)激發(fā)學(xué)習(xí)的需求，讓學(xué)生在自主探究的過(guò)程中引發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的思考，促進(jìn)學(xué)生走向深度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。”［1］
具體地說(shuō)，羅鳴亮老師的這一堂課主要集中于“假分?jǐn)?shù)假在哪里”這樣一個(gè)問(wèn)題，并通過(guò)以下的教學(xué)設(shè)計(jì)成功地使之成為全體學(xué)生的共同關(guān)注。
一、暴露已知，互學(xué)提升。
師：今天我們學(xué)習(xí)真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，知道什么是真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的請(qǐng)舉手。這么多人知道，你是怎么知道的？
……
師：看來(lái)，許多同學(xué)都知道了真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)?？墒牵€有幾個(gè)同學(xué)不知道，怎么辦？
生：我來(lái)告訴他們。真分?jǐn)?shù)就是分母大于分子的，如3/4。假分?jǐn)?shù)就是分母等于分子或分母小于分子的，如3/3和4/3。
……
二、提出問(wèn)題，自主探究。
師：今天要來(lái)學(xué)習(xí)真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，既然你們都知道，請(qǐng)大家收拾好東西準(zhǔn)備下課！
（學(xué)生遲疑，搖頭）
師：都知道了，為什么還不下課？
生：因?yàn)槲覀冞€沒(méi)深入學(xué)習(xí)，我們只知道什么是真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)。
師：你們還想深入學(xué)習(xí)什么？還有什么困惑？
生：我想知道真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)各代表什么。
生：它們有什么關(guān)系？
生：真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)是怎么來(lái)的？
生：假分?jǐn)?shù)是不是分?jǐn)?shù)？如果是，為什么叫假分?jǐn)?shù)？
生：它們有什么用？
生：假分?jǐn)?shù)假在哪里？
……
就如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣而言，上述設(shè)計(jì)顯然十分成功。但筆者仍想提出這樣一個(gè)問(wèn)題：盡管“假分?jǐn)?shù)假在哪里”確可被看成學(xué)生的真問(wèn)題，但是除去幫助學(xué)生學(xué)會(huì)按照分子分母的大小比較對(duì)分?jǐn)?shù)的“真假”做出判斷，我們應(yīng)如何促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識(shí)的深化？
事實(shí)上，在弄清了“假分?jǐn)?shù)究竟假在哪里”以后，我想不少學(xué)生都會(huì)有這樣的疑問(wèn)：既然分子大于或等于分母的分?jǐn)?shù)都不能被看成真正的分?jǐn)?shù)，為什么不把它們直接清除出去？！
在筆者看來(lái)，這也正是曹培英老師在相關(guān)評(píng)論中何以會(huì)寫下以下的話，乃至直接引用張奠宙先生的“假警察一定不是警察，假人民幣一定不是人民幣”這一論述的主要原因：“確實(shí)，假分?jǐn)?shù)‘假在哪里’？教材、教參都沒(méi)作解釋……因此，也難怪絕大多數(shù)教師回避分?jǐn)?shù)‘真假’的討論。然而，我們又不得不承認(rèn)，這一令教師為難，卻又縈繞學(xué)生心頭不能放下的問(wèn)題，連同與之相關(guān)的‘假分?jǐn)?shù)有什么用’，都是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該直面以對(duì)的問(wèn)題?！保?］
當(dāng)然，要用一堂課解決所有這些問(wèn)題、特別是后一問(wèn)題，時(shí)間肯定不夠用。但在筆者看來(lái)，我們?nèi)詰?yīng)對(duì)此予以足夠的重視，特別是，我們不僅應(yīng)當(dāng)認(rèn)真地去思考什么是學(xué)生的“真問(wèn)題”，更應(yīng)突出能夠促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識(shí)深化的“深問(wèn)題”！
假分?jǐn)?shù)之所以被認(rèn)為“假”，這是針對(duì)分?jǐn)?shù)原先的定義而言的；然而，由于假分?jǐn)?shù)具有重要的作用，從而在此所需要的就不是將其從分?jǐn)?shù)中清除出去，而是應(yīng)對(duì)分?jǐn)?shù)的意義（和范圍）做出必要的擴(kuò)展（由“分”和“部分與整體的關(guān)系”過(guò)渡到分?jǐn)?shù)“比的定義”）。這也正是這里所說(shuō)的“認(rèn)識(shí)深化”的主要含義。
由于筆者在先前已多次撰文對(duì)數(shù)學(xué)教師如何做好“問(wèn)題引領(lǐng)”進(jìn)行了分析論述，以下就僅圍繞“深度教學(xué)”指明這方面工作的若干要點(diǎn)。
第一，“核心問(wèn)題”的準(zhǔn)確提煉和“再加工”。首先，如果我們對(duì)核心問(wèn)題的提煉不夠準(zhǔn)確，即集中到某些枝節(jié)問(wèn)題或次要環(huán)節(jié)，真正的重點(diǎn)與關(guān)鍵就不可能得到凸顯，相關(guān)的教學(xué)也就必定是一種“淺度教學(xué)”；其次，在確定了“核心問(wèn)題”后，我們應(yīng)由單純的“教什么”轉(zhuǎn)向“怎么教”，即應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步去思考如何能夠通過(guò)“核心問(wèn)題”的再加工更好地激發(fā)學(xué)生的好奇心和探究欲望，這正是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本動(dòng)力。
更一般地說(shuō)，教學(xué)中我們應(yīng)很好地處理“預(yù)設(shè)”與“生成”之間的關(guān)系，包括提出這樣一個(gè)更高的要求：不應(yīng)滿足于由教師提出問(wèn)題，也應(yīng)努力提升學(xué)生在這一方面的自覺(jué)性，并逐步養(yǎng)成“提出問(wèn)題”的習(xí)慣與能力（對(duì)此，筆者將在第十講中做出進(jìn)一步的分析論述）。
第二，“問(wèn)題引領(lǐng)”不僅應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)于課堂教學(xué)的開(kāi)始部分，也應(yīng)落實(shí)于其他各個(gè)環(huán)節(jié)，不同環(huán)節(jié)應(yīng)有不同的重點(diǎn)。
具體地說(shuō)，就課程的開(kāi)始部分而言，我們應(yīng)聚焦于“核心問(wèn)題”的提煉與再加工；在課程的中間環(huán)節(jié)，除去“核心問(wèn)題”的明朗化與“再聚焦”，我們應(yīng)特別重視如何能夠通過(guò)追問(wèn)、反問(wèn)與提出新的問(wèn)題促進(jìn)學(xué)生更深入地進(jìn)行思考，包括引導(dǎo)學(xué)生從“元認(rèn)知”的角度做出新的分析和思考，等等；最后，通過(guò)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題引導(dǎo)學(xué)生在課后繼續(xù)進(jìn)行思考，從而很好體現(xiàn)教學(xué)的“開(kāi)放性”。除此以外，我們也應(yīng)高度重視引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已有的工作做出總結(jié)與反思。（這方面的一些實(shí)例可見(jiàn)另文《以“深度教學(xué)”落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)》，《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》，2017年第9期）
第三，以下兩個(gè)方法對(duì)于我們做好“問(wèn)題引領(lǐng)”有重要的指導(dǎo)意義，即所謂的“大問(wèn)題教學(xué)”（黃愛(ài)華）與“讓思維在‘問(wèn)題鏈’中‘淺入深出’”（吳正憲）。
更一般地說(shuō)，盡管我們可以就如何做好“問(wèn)題引領(lǐng)”總結(jié)出一些普遍性的經(jīng)驗(yàn)或建議，但我們應(yīng)更加重視針對(duì)具體的教學(xué)內(nèi)容、對(duì)象與環(huán)境，創(chuàng)造性地加以應(yīng)用。例如，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)同時(shí)做好“整體設(shè)計(jì)的開(kāi)放性”與“細(xì)節(jié)處理的精致化”（張齊華語(yǔ)）。
第四，這是教學(xué)工作的一個(gè)更高境界：這時(shí)不僅原先設(shè)計(jì)的問(wèn)題已經(jīng)成了學(xué)生自己的問(wèn)題，學(xué)生的關(guān)注也不再局限于原先的問(wèn)題，他們所追求的更已超出了單純意義上的“問(wèn)題解答”（蘭珀特語(yǔ)）。
顯然，這時(shí)的學(xué)生也已真正成為學(xué)習(xí)的主人。
參考文獻(xiàn)
［1］羅鳴亮.源于學(xué)生“真問(wèn)題”的深度學(xué)習(xí)——“真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)”教學(xué)思考與實(shí)踐［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2019（2）.
［2］曹培英“. 假分?jǐn)?shù)”的認(rèn)知及其教學(xué)研究——兼評(píng)羅鳴亮老師“真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)”教學(xué)［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2019（2）
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