四個基本問題：
（1）為什么要應用數(shù)學歸納法?
（2）數(shù)學歸納法是怎樣的一種方法?
（3）什么時候需要應用數(shù)學歸納法?
（4）怎樣正確地應用數(shù)學歸納法?
數(shù)學歸納法的本質:
建立一種無窮遞推機制,實現(xiàn)從有限到無限的飛躍。
數(shù)學歸納法原理的形成過程：
第一步，創(chuàng)設情境，提出問題。提出一個與正整數(shù)”有關的命題的證明問題，引發(fā)學生尋求證明方法，即如何通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)時命題都成立。
第二步，探究游戲，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。觀察多米諾骨牌游戲，分析、歸納其全部倒下的條件，揭示第二個條件中蘊含的遞推關系。
第三步，遷移規(guī)律，解決問題。將多米諾骨牌全部倒下的條件類比、遷移到對上述數(shù)學命題的證明過程中，得到證明方法。
第四步，抽象方法，獲得原理。抽象上述證明方法，得到數(shù)學歸納法的原理。
第五步，辨析步驟，理解原理。辨析數(shù)學歸納法的兩個步驟及步驟之間的關系，進一步揭示其第二步實際上是要證明一個數(shù)學新命題。
第六步，簡單應用，熟悉步驟。用數(shù)學歸納法證明簡單的命題，重點是示范第二個步驟的證明過程。
一、教材分析
教材截圖
（考慮到研討時部分教師未帶有2019版課本，這里對教材截個圖）
教材分析：
本課時主要內容是借助具體實例,通過對證明一個數(shù)學命題的過程和多米諾骨牌全部倒下的過程的類比和分析,獲得證明數(shù)學命題的方法,進而推廣為數(shù)學歸納法的原理和步驟。
1.數(shù)學歸納法的提煉過程
①第一塊骨牌倒下;
②任意相鄰的兩塊骨牌,前一塊倒下一定導致后一塊倒下.
由此引導學生進一步深人分析條件②的作用—給出了一個遞推關系.事實上,雖然多米諾骨牌游戲是一種現(xiàn)實情境，但它能揭示數(shù)學歸納法的本質,類比價值較高,可以視為遞推思想的一個模型,即條件①②就是數(shù)學歸納法原理的現(xiàn)實模型.
為實現(xiàn)現(xiàn)實情境向數(shù)學知識的自然遷移,教材設置了第三個思考欄目,將多米諾骨牌游戲的兩個步驟類比、遷移到證明猜想“數(shù)列的通項公式是”的問題中,使數(shù)學歸納法的原理生成水到渠成.教學時教師可引導學生按照如下推理方式,回顧猜想引例中數(shù)列的通項公式是的過程:
讓學生認識到雖然可以這樣一直驗證下去,但是正整數(shù)有無限多個,無法對數(shù)列的所有項一一驗證.因此,利用逐個驗證的方法無法完成證明.教學時應引導學生反思上述驗證過程,使學生發(fā)現(xiàn)驗證的關鍵是依托遞推關系,歸納出推理的一般結構特征:
如果能夠解決這個問題，就可以實現(xiàn)任意一項向下一項的過渡,從而可以利用有限個步驟的推理,解決無窮多個命題證明的問題.這樣,學生就可以明確:如果能證明這個命題,那么猜想的證明就會迎刃而解.
在教學中,教師應引導學生把猜想的證明過程與“骨牌原理”進行類比,一步一步對照挖掘(表4-2).重點要說明第二步是要證明一個命題:題設是,結論是.讓學生獨立思考如何證明這個命題.
表4-2“骨牌原理”與“猜想的證明步驟”對比分析
通過以上類比、遷移的過程,學生就能真正理解“自動遞推、無窮驗證”的實質,從而實現(xiàn)從有限到無限的轉化,為抽象、概括出數(shù)學歸納法的原理奠定堅實的基礎.
（3）概括、提煉數(shù)學歸納法的原理.有了以上鋪墊,數(shù)學歸納法原理的得出是非常自然、水到渠成的.形象地說,數(shù)學歸納法的原理相當于有無限多張牌的多米諾骨牌游戲,其核心就是“歸納遞推”.需要指出的是,數(shù)學歸納法的理論依據(jù)是皮亞諾公理（見拓展資源),教材只是結合具體問題抽象出數(shù)學歸納法的原理.在教學中,教師可根據(jù)學生的實際,利用拓展資源讓學生了解數(shù)學歸納法的其他形式,幫助學生加深和拓展對數(shù)學歸納法原理的認知.
2.數(shù)學歸納法的認知過程
(1)突破數(shù)學歸納法的認知難點.
數(shù)學歸納法的認知難點之一是“對把無限步的驗證轉化為有限步的驗證合理性的認識”.為克服這一難點,教學中可以類比學生已有的知識經(jīng)驗,例如,證明直線與平面垂直（即證明一條直線與平面內的“任意一條”直線都垂直)，可以轉化為證明直線與平面內的“兩條”相交直線垂直.
數(shù)學歸納法的認知難點之二是“理解兩步驟的必要性”.在教學中,通過圖4-1～圖4-3所示的多米諾骨牌游戲的3次對比操作,可以直觀地化解這一難點.通過這3次實驗,教師可以引導學生發(fā)現(xiàn):有“歸納遞推”沒有“歸納奠基”不行;有“歸納奠基”沒有“歸納遞推”也不行;有“歸納奠基”且有“歸納遞推”才行.
數(shù)學歸納法的認知難點之三是“對蘊含關系的理解”.事實上,學生的認知困難與理解“蘊含關系”存在密切聯(lián)系,教學中應著重引導學生認識蘊含關系的意義：這個蘊含關系所關注的不是P(k)和P(k+1)是否分別成立,而是命題“若P(k)為真,則P(k+1)為真”是否成立.
(2)認清數(shù)學歸納法的本質特征.
教材通過思考欄目,引導學生概括出數(shù)學歸納法的本質特征,理解兩個步驟之間既相互依存,又彼此關聯(lián),是一個有機的整體,從而真正理解數(shù)學歸納法的結構特征和證明規(guī)范.教師要強調用數(shù)學歸納法進行證明時，“歸納奠基”和“歸納遞推”兩個步驟缺一不可.其中第一步是命題遞推的基礎,確定了時命題成立,成為后面遞推的出發(fā)點,沒有它遞推就成為無源之水;第二步是命題遞推的依據(jù),即確認一種遞推關系,借助它命題成立的范圍就能從正整數(shù)開始，向后一個數(shù)接一個數(shù)地無限傳遞到以后的每一個正整數(shù),從而完成證明.因此,只有把兩步的結論結合起來,才能斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都成立.具體可按照如下“三步曲”組織教學:
(1)第一步的作用是什么?引導學生類比“骨牌原理”,第一塊骨牌倒下，給所有骨牌倒下提供了基礎.類似地,第一步為命題成立提供了基礎,所以稱之為“歸納奠基”.
(2)第二步的作用是什么?還是引導學生類比“骨牌原理”,如果第k塊骨牌倒下,那么要能保證第k+1塊骨牌也倒下，再加之k的任意性,即保證了骨牌倒下去的傳遞性.類似地,第二步保證了命題成立的遞推性，所以稱之為“歸納遞推”.
(3)第二步的本質是什么?是證明一個命題：條件是“n=k時命題成立”,結論是“n=k+1時命題也成立”.又由k的任意性,就保證了命題成立的遞推性.
（3）構建數(shù)學歸納法的結構框圖.借助以下結構框圖（圖4-4）可以使學生加深對數(shù)學歸納法的理解,深化對使用數(shù)學歸納法的操作程序的認識.教學時,教師可引導學生自行畫出數(shù)學歸納法的結構框圖,并結合框圖,逐層剖析,讓學生明白第一步是證明奠基性,第二步是證明遞推性,這樣既有助于突破難點,又有利于突出重點.
3.數(shù)學歸納法的適用范圍
為了體現(xiàn)《標準（2017年版）》中“能用數(shù)學歸納法證明數(shù)列中的一些簡單命題”這一要求的變化,教材將數(shù)學歸納法的應用由上一版教材的2個例題增加到4個例題,并把數(shù)學歸納法的應用置于“數(shù)列”的整體框架之中,適度加強“觀察一歸納一猜想一證明”的探索性思維方式的滲透,增加先猜后證的簡單問題;同時,兼顧不等式內容調整到預備知識的現(xiàn)狀,將原來只涉及正整數(shù)n的代數(shù)恒等式的證明,適度延伸到有關正整數(shù)n的不等式的證明.
教學時要使學生明確,數(shù)學歸納法一般被用于證明某些與無限多個正整數(shù)n有關的命題.那么,是不是涉及正整數(shù)的命題都要用數(shù)學歸納法證明呢?或者換一種問法,什么時候才需要用數(shù)學歸納法證明呢?對這個問題,要引導學生學會具體問題具體分析.例如,要證明對任意的正整數(shù)n,等式恒成立,可以利用多項式的乘法法則直接證明,而不必應用數(shù)學歸納法;再如,用數(shù)學歸納法證明的單調性就難以實現(xiàn).因此,遇到一個涉及正整數(shù)的命題,首先要考慮有沒有簡單直接的方法來證明它;如果沒有,就可以用數(shù)學歸納法來試一試.
4.例1的設計意圖與教學建議
例1既呼應了引言中的問題,也使學生熟悉用數(shù)學歸納法證明數(shù)學命題的基本過程和表述規(guī)范.教學時,教師可引導學生先回顧前面用不完全歸納法找到等差數(shù)列的通項公式的過程,再讓學生分析題意、明確證明目標和證明步驟:首先,明確前提條件是什么（本例中“是等差數(shù)列”是前提條件,在證明過程中,是必須使用的);其次,“n=1時命題成立”到底要證什么;再次,第二步要證明的命題,其條件是什么,結論是什么,這一步的證明必須以“n=k時命題成立”為條件,再結合進行推理;最后,綜合上述兩步說明命題成立.這是第一個用數(shù)學歸納法證明的例題,教學中一定要對證明的表述規(guī)范強化到位,可根據(jù)往屆學生在證明過程中出現(xiàn)的一些典型性和代表性的錯誤,結合第47頁練習第1題糾正錯誤.
本小節(jié)的兩道練習題（第47頁）可與例1聯(lián)合使用,目的是讓學生了解,等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和公式除了用前面所學的“倒序相加法”和“錯位相椷法”等方法證明之外,還可以用數(shù)學歸納法證明.
