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潘敬貞1 蔡海濤2

(1.廣東省佛山市順德區(qū)容山中學(xué) 528303；2.福建省莆田市莆田第二中學(xué) 351131)

摘 要：有效利用長(zhǎng)方體模型，可巧妙解決立體幾何中點(diǎn)線面位置關(guān)系的定性及定量問題，有利于培育和發(fā)展直觀想象、抽象概括、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：活用；長(zhǎng)方體模型；巧解；立體幾何問題

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》強(qiáng)調(diào)在立體幾何教學(xué)中，要充分借助長(zhǎng)方體的模型功能，通過直觀感知，認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，并抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義，進(jìn)而解決有關(guān)問題，這是立體幾何解題中常用的“模型化思想”，其關(guān)鍵是通過模型識(shí)別或模型構(gòu)建，將問題化歸轉(zhuǎn)化，使問題輕松獲解，而識(shí)別或構(gòu)建長(zhǎng)方體模型，常用“割補(bǔ)法”.本文例談借助長(zhǎng)方體模型解決立體幾何中點(diǎn)線面位置關(guān)系的定性及定量問題，期與同行交流.

一、活用長(zhǎng)方體模型解決定性問題

1.平行問題

例1 (2019全國(guó)Ⅱ文7)設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是( ).

A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行

B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行

C.α，β平行于同一條直線

D.α，β垂直于同一平面

解析 構(gòu)造長(zhǎng)方體如圖1，對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)平面A1ADD1為α，設(shè)平面ABCD為β，在平面α內(nèi)與直線AD平行的直線都與平面β平行，而在平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與直線AD平行，即平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行，但平面α與平面β相交，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)面面平行的判定定理可知B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)平面ABCD為α，設(shè)平面C1CDD1為β，由圖1可知A1B1∥α，A1B1∥β，但平面α與平面β相交，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)平面A1ADD1為α，設(shè)平面C1CDD1為β，由圖1可知α⊥平面ABCD，β⊥平面ABCD，但平面α與平面β相交，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

2.垂直問題

例2 (2019北京卷文13理12)已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題____.

解析 構(gòu)造長(zhǎng)方體如圖1，設(shè)平面ABCD為α，A1A1=l，A1B1=m，再由線面平行的判定定理可得：若l⊥α，l⊥m，則m∥α，故答案為：若l⊥α，l⊥m，則m∥α.

評(píng)注 要正確判斷點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，不僅需要對(duì)立體幾何必備知識(shí)的熟練掌握，而且還需要具有較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平，尤其是直觀想象素養(yǎng).當(dāng)碰到元素比較多時(shí)，想根據(jù)題意作相應(yīng)的直觀圖就顯得比較困難，因此在考場(chǎng)上欲全憑想象能力解決此類問題難度就比較，但如果能夠借助長(zhǎng)方體模型，此問題的解答就容易很多，通過構(gòu)建長(zhǎng)方體就可以逐個(gè)驗(yàn)證選項(xiàng)正確與否，解題效率也就大大提高.

二、活用長(zhǎng)方體模型解決定量問題

1.求表面積

例3 (2015安徽卷)一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是( ).

解析 構(gòu)造長(zhǎng)、寬、高分別為2、1、1的長(zhǎng)方體可得圖2(1)的三視圖的直觀圖為圖2(2)中的三棱錐P-ABC，所以該四面體是如圖所示的三棱錐P-ABC，表面積為

故答案選B．

圖2

評(píng)注 已知某幾何體的三視圖，求幾何體的有關(guān)問題，解答此類問題一般需要經(jīng)過還原幾何體再進(jìn)行求解，如果幾何體是簡(jiǎn)單的多面體(非旋轉(zhuǎn)體)都建議構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體模型輔助求解，活用長(zhǎng)方體或正方體模型輔助求解此類問題可以大大的降低試題解答難度，提高解題效率.

2.求角

例4 (2020全國(guó)1卷理16)如圖3(1)，在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，

則cos∠FCB=____.

解析 由AB⊥AC，AB⊥AD可構(gòu)造長(zhǎng)方體得如圖3(2)所示，由

得所以由∠CAE=30°得∠CAP=30°，所以在ΔPAC中由余弦定理,得PC2=AP2+AC2-2AP·ACcos∠CAP=1,所以在△PBC中由余弦定理得所以

3.求距離

例5 (2019全國(guó)Ⅰ文16)已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2，點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為

那么P到平面ABC的距離為____．

解析 構(gòu)造長(zhǎng)方體如圖4，其中多面體面體PMBCA符合題題意，設(shè)AM=a，BM=b，PM=c.由長(zhǎng)方體性質(zhì)可知PA⊥AC，PB⊥BC，所以P到平面ABC的距離為PM.又由點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為

得所以a=b，又AM2+PM2=PA2，a2+b2+c2=PC2，所以a2+c2=3，a2+a2+c2=4，解得即所以P到平面ABC的距離為

評(píng)注 求空間角問題、距離問題等定量問題對(duì)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力等能力要求比較高，但如果能夠借助長(zhǎng)方體模型，根據(jù)題意構(gòu)造合適的長(zhǎng)方體對(duì)解決定量問題有很大的幫助，可以有效降低思維難度，提高解題效率.

在解題過程中要善于挖掘題目條件，聯(lián)系長(zhǎng)方體正方體的性質(zhì)以及長(zhǎng)方體正方體中特殊的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，只有這樣方可提高解題能力，提高解題效率.

合理構(gòu)建模型有助于學(xué)生能在不同的問題情境中發(fā)掘出數(shù)學(xué)內(nèi)容的共性，筆者認(rèn)為這就是問題的“數(shù)學(xué)本質(zhì)”，有別于其它數(shù)學(xué)問題的基本特質(zhì)，從而便能揭示其問題的內(nèi)涵.因此，長(zhǎng)方體模型成為學(xué)生認(rèn)識(shí)空間幾何體的“源”，是處理立體幾何問題的根基.在解有關(guān)立體幾何問題時(shí)，要結(jié)合“割補(bǔ)”這一重要的數(shù)學(xué)方法，充分利用長(zhǎng)方體模型進(jìn)行解題，可降低試題解答難度，快速有效地解決問題，提高解題效率，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生直觀想象、抽象概括、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)等.

參考文獻(xiàn)：

[1]潘敬貞，駱妃景.基于核心素養(yǎng)的高考立體幾何試題分析及教學(xué)啟示[J].教學(xué)考試，2019(47)：4-10.

[2]姬梁飛.長(zhǎng)方體:培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要介質(zhì)[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2019(20)：26-29.

[3]郭社會(huì).例談長(zhǎng)方體模型在解立體幾何問題中的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2016(01)：18.

作者簡(jiǎn)介：

潘敬貞(1984-)，男，貴州省三都人，高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

蔡海濤(1975-)，男，福建省莆田人，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.