導(dǎo)讀：
教材從“數(shù)”和“形'兩個方面來發(fā)現(xiàn)和證明性質(zhì)
一、教材分析
教材截圖
（考慮到研討時部分教師未帶有2019版課本，這里對教材截個圖）
教材分析：
例3和例4分別體現(xiàn)了等差數(shù)列在解決實際問題、構(gòu)造新數(shù)列方面的應(yīng)用,例5則探究了等差數(shù)列的性質(zhì),這三道例題比前兩道例題的難度高,建議教學(xué)中單獨用一個課時講授.
例3要求學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化成一個等差數(shù)列問題,并利用不等式求解.轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)實際問題中呈等差關(guān)系變化的量（即這臺設(shè)備使用n年后的價值),并構(gòu)造等差數(shù)列（首項為220-d,公差為-d的等差數(shù)列)來刻畫它,這樣就可以利用等差數(shù)列的通項公式來解決問題了.
教學(xué)中應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生類比建立函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實世界的變化規(guī)律,再利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題的過程,經(jīng)歷建立等差數(shù)列模型解決實際問題的過程.學(xué)生可能認(rèn)為沒有必要構(gòu)造數(shù)列,在解題中也可能因為沒有設(shè)定數(shù)列的首項,致使后面不能準(zhǔn)確地運用給出的條件列出不等式組.教學(xué)中要讓學(xué)生完整地經(jīng)歷將實際問題中的等差關(guān)系轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的過程,養(yǎng)成學(xué)生嚴(yán)密思考表述問題的良好習(xí)慣.
例4先利用一個已知的等差數(shù)列構(gòu)造了一個新數(shù)列,然后利用原有數(shù)列的性質(zhì)來研究新數(shù)列的性質(zhì).由第（1）題的條件，揷人數(shù)后構(gòu)成的新數(shù)列是等差數(shù)列,所以只要利用原數(shù)列的第2項是新數(shù)列的第5項,就可以確定新數(shù)列的公差,進(jìn)而得到新數(shù)列的通項公式.“邊空”中的問題是對第(1)題的一種推廣.
教學(xué)時,要讓學(xué)生明確k=1就是在原數(shù)列的每相鄰兩項間都揷人1個數(shù),k=2就是揷人2個數(shù),k=3就是本例.解決這個問題時,可以讓學(xué)生分兩步來走:
(1)在本例給出的中求解,即設(shè)數(shù)列的公差為
,則,由,及,可得公差;
(2)在首項為a,公差為d的數(shù)列中每相鄰兩項之間都插入個數(shù),這時求得的公差.
例4的第（2）題的解答用不完全歸納的方法,探究了中的項在新數(shù)列中的分布規(guī)律,這個規(guī)律就是的各項在中的位置依次構(gòu)成了一個首項為1,公差為4的等差數(shù)列.教學(xué)中,也可以讓學(xué)生從開始寫出的若干項,以發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律.對于“邊空”中的問題,即尋求本小題的其他解法的問題,考慮到判斷某一個具體的數(shù)是不是中的項,其實是本節(jié)的例2已經(jīng)解決的問題.可以先通過的通項公式求出這個數(shù),再利用的通項公式進(jìn)行判斷.
例5以例題的形式給出了等差數(shù)列的一個重要性質(zhì),同時也體現(xiàn)了如何運用等差數(shù)列的通項公式推導(dǎo)等差數(shù)列的性質(zhì).設(shè)計本例的目的,既是讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識等差數(shù)列的性質(zhì),同時也是讓學(xué)生了解一些數(shù)列的結(jié)論的證明方法,并且也為后面推導(dǎo)求和公式打下基礎(chǔ).教學(xué)中,可以讓學(xué)生體會,用“基本量”表示數(shù)列中的項在證明數(shù)列問題時的重要性,等差數(shù)列中常將首項和公差作為基本量.
教材幫助學(xué)生從“式”和“形”兩個方面來認(rèn)識例5中的性質(zhì)，思考欄目讓學(xué)生從幾何的角度來解釋這一性質(zhì).這樣做的目的是給學(xué)生作出示范—在研究數(shù)列的過程中,可以借助幾何直觀來理解數(shù)列的性質(zhì).
教學(xué)中,教師要啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識到,由于等差數(shù)列的圖象是均勻分布在某一條直線上的點,所以對于教材圖4.2-2所示的情形,將和分別看作直角梯形的兩條底邊的長,那么和可以分別看作兩個梯形的中位線長的兩倍.由于p+q=s+t,所以這兩個直角梯形有相同的中位線,進(jìn)而得到.學(xué)生可能會提出“圖中給出的問題只是一種特殊的情形,中可能有若干個是負(fù)數(shù),這就不方便用梯形中位線來解釋了”.這時,可啟發(fā)學(xué)生考慮將中的每一項都加上同一個適當(dāng)?shù)恼?shù)d,這相當(dāng)于把它們所在的直線向上平移一段距離,使都變?yōu)檎龜?shù).這樣一來,圖4.2-2中的情形就不失一般性了.
