?浙江省慈溪市觀城中學 何凱果
學習數(shù)學離不開解題，解題依賴于方法.對一道數(shù)學問題而言，解題方法往往不止一種，有的屬于“通法”，有的則屬于“特法”“巧法”.雖然在數(shù)學解題教學中我們提倡要“淡化特殊技巧，注重通性通法”，但對于很多學生而言，若能掌握一些“特法”“巧法”就能在解題中起到化繁為簡、事半功倍的效果，因此，讓學生掌握更多好的解題技巧與方法是數(shù)學解題教學的重要任務(wù).由于這些“特法”“巧法”往往具有很高的思維含量，學生不僅很難想到，而且即使“當時理解了”，但在解題中卻“想不到去用”.那么，如何讓學生真正地掌握并能靈活運用這些“特法”“巧法”呢？眾所周知“數(shù)學是自然的”，那么數(shù)學解題方法的教學更要順乎“解題自然”，也只有讓那些“特法”“巧法”以符合認知規(guī)律的方式得以自然呈現(xiàn)與建構(gòu)才能夠被學生所理解與掌握.下面筆者就以“定比等差法”為例，談?wù)剬Υ说目捶?
問題 (2018年浙江卷，17)已知點P(0，1)，橢圓
“通性通法”從基本概念、原理出發(fā)，以基礎(chǔ)知識為依托、以基本方法為技能，按照既定的步驟，逐步推出問題和解答，解法思想順應(yīng)學生的思維自然，其具體操作過程易被學生所掌握.不僅如此，通性通法還是“特法”“巧法”的根基，“特法”“巧法”一般都是基于“通性通法”的優(yōu)化或者升級.因此，“特法”“巧法”的教學不是“無源之水、無本之木”，不是一蹴而就的“經(jīng)營模式”，而是一種長期的“經(jīng)營策略”，是在“通性通法”基礎(chǔ)上的“潛移默化”“螺旋上升”的過程.
本題涉及“直線與橢圓的交點”，根據(jù)學生的解題經(jīng)驗，一般的“通性通法”是“設(shè)直線方程——直線方程與橢圓聯(lián)立——用韋達定理消參”，具體解題過程如下：
圖1
解法1：如圖1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，當直線AB的斜率不存在時，m=9，x2=0；當直線AB斜率存在時，設(shè)直線方程為y=kx+1，聯(lián)立方程得：
則
當且僅當
一些解題方法之所以被稱作“通性通法”，很大程度上是因為其適用題型范圍廣，能夠解決一大類或者一個數(shù)學知識模塊的問題，其重要性不言而喻.雖然，用“通性通法”解題有時比較煩瑣，但這恰恰可以作為“特法”“巧法”的參照，從而凸顯出“特法”“巧法”的優(yōu)越性.
解題的過程本質(zhì)上就是主體對問題的理解、同化、轉(zhuǎn)換、選擇有效的解題策略作用于問題以達到目標的過程.由于不同的學生在認知風格與思維方式上的差異，從而導致他們解決問題的視角與方式也產(chǎn)生差異.因此，對于一道題的解法是否“自然”，不同的人可能觀點并不一致，并且“自然”的解法并不唯一，也就是說不同的學生可能有他自己所認可的“通性通法”.
上述問題很多學生還會想到下面兩種解法：
解法2：由
解法3：三角換元，設(shè)
這些“通性通法”的普適性與自然性雖然不及通常的“通性通法”，但它們都是學生智慧的結(jié)晶，教師通過分享這些解題方法不僅可以拓展學生的思維，而且也可以從中獲得“特法”“巧法”的線索，避免了“魔術(shù)師帽子里突然變出一只兔子”的尷尬.
無論是“通性通法”還是學生的“個性”解法，都是顧及了學生的解題“自然”，其目的都是為“特法”“巧法”的自然構(gòu)建作鋪墊.當然，要實現(xiàn)“特法”“巧法”的自然建構(gòu)，還需要設(shè)計科學合理的認知過程，一般可以按照以下三個環(huán)節(jié)展開.
1.反思與激活
解題教學始于問題，但決不止于“答案的獲得”.但很多學生“卻以為答案得到了，解題也就結(jié)束了”，從而失去了進一步探究的欲望.如果直接進行“特法”“巧法”的教學反而不能取得預(yù)期的效果，此時需要對前面解題活動中所涉及的知識內(nèi)容、解題思路、運算過程、方法聯(lián)系等進行系統(tǒng)的反思，從而起到重新激活學習動機的目的.
比如，對于上述問題，我們可以引導學生進行如下反思：
問題1：這三種方法孰優(yōu)孰劣，你喜歡哪種方法？
三種方法各有千秋，學生可以根據(jù)自己的認知風格進行合理選擇.
問題2：這些方法之間有什么區(qū)別與聯(lián)系？
相同之處是都立足于直線與橢圓的關(guān)系，通過解方程的思想來獲得參數(shù)的取值范圍；不同之處是參數(shù)的選擇與處理的方式不同，解法1以直線斜率k為參數(shù)，先建立k與B點橫坐標的關(guān)系，再求m的值；解法2直接建立交點坐標與參數(shù)m之間的關(guān)系；解法3通過三角代換來簡化運算求值的過程.
問題3：從對參數(shù)處理的角度來看，哪種方法能夠更快得到結(jié)果？
理論上是解法2能夠最快得到結(jié)果，因為它直接建立坐標與參數(shù)m的聯(lián)系.
問題4：解題方法是否能夠進一步優(yōu)化？
如果能直接建立
扎實推進城鄉(xiāng)公共文化服務(wù)一體化建設(shè)；深化文化體制改革，建立健全文化管理體系。要扎實開展精神扶貧活動，提供適合特殊群體的文化服務(wù)和產(chǎn)品。為廣大農(nóng)民群眾提供豐富的文化產(chǎn)品。堅持文化惠民，完善基礎(chǔ)設(shè)施，激發(fā)村民的文化自覺，提高農(nóng)民的整體素質(zhì)，提升農(nóng)民生活品質(zhì)，以文化自覺成就文化自信。此外，大力宣傳鄉(xiāng)土文化，打造具有鄉(xiāng)土文化特色的景點，實現(xiàn)鄉(xiāng)村振興[9-10]。
2.回歸與發(fā)現(xiàn)
“特法”“巧法”的教學追求的是自然發(fā)現(xiàn)的過程，回歸到問題的起點與認知的原點可以降低發(fā)現(xiàn)的難度與門檻，從而能夠讓學生容易發(fā)現(xiàn)解決問題的新的方向與思路.
“定比點差法”是“定比分點”與“點差法”的綜合，其解題思路源于對“點差法”的升級，“點差法”是它的認知起點.因此，可以設(shè)計如下問題引導學生去發(fā)現(xiàn).
問題5：如果把條件
問題6：點差法有什么優(yōu)勢？
對于一般的橢圓方程
即
問題7：對于
由
問題8：定比點差法的優(yōu)勢在哪里？
能夠直接建立定比分點與交點之間的關(guān)系，提升了運算的效率.
在揭示“特法”“巧法”的來龍去脈的過程中，讓學生的思維經(jīng)歷了從特殊到一般的自然建構(gòu)過程，充分感受引入“特法”“巧法”的必要性與優(yōu)越性，激發(fā)了學生對新的解題方法的認同感.
3.推廣與應(yīng)用
為了讓“特法”“巧法”能夠適用于更多的題型，能夠解決更多的問題，需要對“特法”“巧法”進行一般性的推廣.同時，在應(yīng)用的過程中讓學生感受“特法”“巧法”的實用價值，積累寶貴的解題經(jīng)驗，進一步促使方法的內(nèi)化.
“定比點差法”：對于一般的有心二次曲線
即
其中
在此基礎(chǔ)上，若再引入點Q滿足
則有
②式可以化為
至此，“定比點差法”的謎底被揭開：一般地，對于
例題 設(shè)橢圓
(1)求橢圓的C的方程；
(2)當過點P(4，1)的直線l與橢圓C相交于A，B，在線段上取點Q滿足
解析：
(2)此題可以轉(zhuǎn)化為與定比分點有關(guān)，由
設(shè)
由“定比點差法”中的③式
借助“定比點差法”的結(jié)論可以秒殺高考壓軸題.當然，上述兩個問題只是“定比點差法”應(yīng)用的小試身手，毫不夸張地講，凡是涉及直線與橢圓的交點問題都可以用“定比點差法”進行解決，在此筆者就不再贅述.
自然的解題教學不僅讓問題的解決變得更加有據(jù)可循，而且能夠使學生產(chǎn)生思維上的共鳴，促使學生把“特法”“巧法”主動納入到已有的知識結(jié)構(gòu)中，從而使越來越多的“特法”“巧法”成為學生心中的“通性通法”.
