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培養(yǎng)數(shù)學思維能力
的基本途徑
培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力有兩個基本途徑,即:理解數(shù)學問題和解決數(shù)學問題.
理解數(shù)學問題就是讀懂用數(shù)學語言所表達的數(shù)學知識或數(shù)學問題（以下統(tǒng)稱數(shù)學問題）.數(shù)學問題的表達方式一般不是用通俗易懂的生活語言,而是用數(shù)學的專業(yè)語言.如:抽象的符號語言或直觀的圖形語言,沒有學過數(shù)學的人是根本看不懂的,學過數(shù)學的人也未必真的能看懂,可見其專業(yè)性的強大.即使是用文字語言所表達的數(shù)學問題,也是以數(shù)學名詞為主要的形式.正因為如此,數(shù)學語言是需要理解才有可能看懂的語言,而一個人能夠看懂數(shù)學語言的能力本質(zhì)上就是數(shù)學思維能力.這種能力要能夠從抽象的數(shù)學符號語言中體會到其所蘊含的豐富內(nèi)涵;要能夠從直觀的圖形語言中抽象出代數(shù)關(guān)系;要能夠?qū)⒂梦淖终Z言表達的數(shù)學概念轉(zhuǎn)化為自己精神層面的思維方式,并能用符號語言或圖形語言來表達.
理解數(shù)學問題的思維是可以教的.原因在于這種思維活動是依據(jù)數(shù)學的概念進行的.正如在理解表達函數(shù)性質(zhì)的數(shù)學符號語言的時候,思維活動的焦點是:誰是函數(shù)的自變量？自變量的變化規(guī)律是什么?相應的因變量的變化又有什么規(guī)律？可以看出,理解函數(shù)問題的思維活動是有顯著特征的,無論面對的是什么樣的數(shù)學符號語言或函數(shù)圖象,思維活動的切入點都是要關(guān)注函數(shù)的自變量和因變量,這就是依據(jù)函數(shù)的概念理解函數(shù)問題時思維活動的特征.正是由于理解數(shù)學問題是以數(shù)學概念為思維活動的依據(jù)的原因,那么,在理解不同板塊數(shù)學問題的時候,由于每個板塊的數(shù)學核心概念是不同的,也就決定了理解它的思維特征是不一樣的.
在教學中, 教師為了能夠真正教學生數(shù)學思維,其運用的教學語言應該具有專業(yè)性，要能夠因所教授的數(shù)學知識的不同,呈現(xiàn)出不同的思維特征.如:在初中引導學生理解平面幾何問題的時候,教師的教學語言應該是聚焦在對幾何圖形的幾何特征上;在高中引導學生理解平面解析幾何問題的時候,教師就要引導學生去關(guān)注幾何對象是“動”還是“不動”的.教師要避免提出類似“你發(fā)現(xiàn)了什么信息”這樣的模棱兩可的問題,因為這樣的提問沒有思維特點,幾乎可以在理解任何數(shù)學問題的時候都這樣去問,也就意味著這樣的問題是多么的平淡無趣,教師要意識到類似這種沒有特征的思維是無法教會學生理解數(shù)學問題的.
要讓學生能夠領(lǐng)悟到你在教他（她）理解數(shù)學問題的思維方法的話,就要針對研究問題對象的屬性,提出能反映出數(shù)學思維特征的問題.如:面對直觀的函數(shù)圖象時,為了引導學生能夠從看似不變的函數(shù)圖象中抽象出兩個變量,以及其中一個變量引起另一個變量變化的規(guī)律,可以提出下面的問題讓學生去思考:“你從這個圖象所描述的數(shù)學問題中看到了變化了嗎？”、“在這個變化的過程中存在著幾個變量？”、“誰引起了誰的變化？”等.讓提出的問題具有思維的含量,能夠直指數(shù)學思維活動的本質(zhì).學生從這樣的問題中是能夠領(lǐng)悟到理解函數(shù)問題的思維特征是怎么樣的.同樣,在理解解析幾何問題的時候,不要一上來就問學生如何設點的坐標、如何建立曲線方程？類似這樣的問題指向的是對幾何對象的代數(shù)化，但放棄了對幾何研究對象理解的思維活動,違背了研究數(shù)學問題的思維規(guī)律.
解決數(shù)學問題的思維活動分兩步:
1.要對數(shù)學問題的主體（也就是數(shù)學問題中的研究對象）進行研究.
其思維活動是與理解問題的思維活動交融在一起、密不可分的.研究內(nèi)容主要是數(shù)學問題中的每個主體具有什么樣的性質(zhì)?不同主體之間具有什么樣的關(guān)系（如兩個函數(shù)之間的代數(shù)關(guān)系或兩個幾何圖形之間的位置關(guān)系）?這些研究是以用數(shù)學語言所表達的已知條件為載體的,其演繹方法稱之為通性通法或一般方法.
課堂教學中,很多教學內(nèi)容都是在教學生如何研究數(shù)學問題主體的性質(zhì)或關(guān)系,如初中平面幾何教學中的圓的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等;高中函數(shù)教學中的函數(shù)性質(zhì)、冪指對函數(shù)等;在圓錐曲線的教學中,以曲線方程為載體,不僅要研究橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì),還要研究直線與它們之間的位置關(guān)系,等等.可以說,在課堂上我們花了大量的時間都是在教學生研究數(shù)學問題主體的性質(zhì)或關(guān)系的一般方法.
做為教師要堅信:一般方法是可以教會的,因為這種方法具有規(guī)律性.一般方法的規(guī)律性體現(xiàn)在這種研究是對問題主體的本質(zhì)來進行研究的,表現(xiàn)在:如果問題主體是代數(shù)的研究對象,那么就要研究其具有何種代數(shù)性質(zhì)或代數(shù)關(guān)系,再進行演繹.這種演繹可能是轉(zhuǎn)化為幾何的形式,如圖象;也有可能是進行代數(shù)的推理等;如果問題主體是幾何的研究對象,那么就要研究其幾何特征（包括幾何性質(zhì)或幾何對象之間的位置關(guān)系）,再用代數(shù)的數(shù)量關(guān)系來刻畫.
2.要解決數(shù)學問題中提出來的具體問題.
任何數(shù)學問題都會提出若干個具體問題,如:求某一個待定的數(shù)值、求某一個變量的取值范圍或證明某一個結(jié)論,等等.解決數(shù)學問題的目的就是要回答出具體問題所提出的要求.解決具體問題的方法不同于前面所說的一般方法,它不是為了研究問題主體的性質(zhì)或關(guān)系的,而是要以之前運用一般方法所研究出來的性質(zhì)或關(guān)系（也包括具體問題附帶的條件）為基礎，探索出解決具體問題的方法,這種方法稱之為具體方法.探索尋找具體方法的關(guān)鍵在于是否充分運用了一般方法去研究問題主體的性質(zhì)或關(guān)系.
教學中,要防止將探索尋找具體方法的思維過程題型化.這種題型化由于是為了能夠以最快的速度解決數(shù)學問題以滿足“應試”的需要,寄希望于通過大量的重復訓練,達到不用分析問題主體的性質(zhì)或關(guān)系就可以解決具體問題的目的.這樣的數(shù)學教學背離了學科教育教學的本質(zhì),對于提高學生的數(shù)學思維能力也是一種傷害,是對數(shù)學教學生態(tài)的一種毒化.
總之,培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力是數(shù)學教學的根本任務.如何在教學中通過知識的教學,給予學生的是精神層面的豐富營養(yǎng),收獲的是學生思維能力的成長和提高,是需要教師認真研究、探索并實踐的.
教要不留痕跡,但教師對于要教什么心里要明確,怎么教要設計;能夠把學生教會、教明白是教學藝術(shù),是獨具風格的創(chuàng)造性教學活動,不僅要能夠通過理解數(shù)學問題提高學生讀懂數(shù)學語言的能力,還有能夠在解決數(shù)學問題的過程中提高學生運用數(shù)學語言進行演繹的能力,最終為學生打下創(chuàng)造性思維的堅實基礎.
圖片：北京冬奧公園
