文/姚斌
數(shù)學(xué)家史蒂夫·斯托加茨對微積分的認(rèn)識十分深刻。他認(rèn)為宇宙是高度數(shù)學(xué)化的，但原因無人知曉。他在《微積分的力量》中寫道，這或許是包含我們在內(nèi)的宇宙的唯一可行的存在方式，因為非數(shù)學(xué)化的宇宙無法庇護(hù)能夠提出這個問題的智慧生命。無論如何，一個神秘且不可思議的事實是，我們的宇宙遵循的自然律最終總能用微積分的語言和微分方程的形式表達(dá)出來。
這類方程能描述某個事物在這一刻和下一刻之間的差異，或者某個事物在這一點和在與該點無限接近的下一個點之間的差異。盡管細(xì)節(jié)會隨著我們探討的具體內(nèi)容而有所不同，但自然律的結(jié)構(gòu)總是相同的。這個令人驚嘆的說法也可以表述為，似乎存在著某種類似宇宙密碼的東西，即一個能讓萬物時時處處不斷變化的操作系統(tǒng)。微積分利用了這種規(guī)則，并將其表述出來。
艾薩克·牛頓是最早瞥見這宇宙奧秘的人。他發(fā)現(xiàn)，行星的軌道、潮汐的規(guī)律和炮彈的彈道，都可以用一組微分方程來描述、解釋和預(yù)測。這些方程被稱為牛頓運(yùn)動定律和萬有引力定律。自牛頓以來，每當(dāng)有新的宇宙奧秘被揭開，我們就會發(fā)現(xiàn)同樣的模式一直有效。從古老的土、空氣、火和水元素到現(xiàn)代的電子、夸克、黑洞和超弦，宇宙中所有無生命的東西都遵循微分方程的規(guī)則。因此，理查德·費(fèi)曼說“微積分是上帝的語言”。
微積分和其他數(shù)學(xué)形式一樣，不僅是一種語言，還是一個非常強(qiáng)大的推理系統(tǒng)。依據(jù)某些規(guī)則進(jìn)行各種符號運(yùn)算，微積分可以實現(xiàn)方程之間的轉(zhuǎn)換。這些規(guī)則有扎實的邏輯根基，盡管看上去只是在隨機(jī)變換符號的位置，但實際上是在構(gòu)建邏輯推理的長鏈。隨機(jī)變換符號的位置是有效的簡化手段，也是構(gòu)建人腦無法處理的復(fù)雜論證過程的簡便方式。如果足夠幸運(yùn)和嫻熟，能以正確的方式進(jìn)行方程變換，就可以揭示這些方程的隱藏含義。這個過程離不開創(chuàng)造力，因為我們通常不清楚應(yīng)該進(jìn)行哪些操作。
微積分是一個由符號和邏輯構(gòu)成的想象領(lǐng)域，大自然則是一個由力和現(xiàn)象構(gòu)成的現(xiàn)實領(lǐng)域。如果從現(xiàn)實到符號的轉(zhuǎn)換足夠巧妙，微積分的邏輯就可以利用現(xiàn)實世界的一個真理生成另一個真理，即輸入一個真理然后輸出另一個真理。這個真理有可能是新的，是從來就沒有人知道的關(guān)于宇宙的事實，比如電磁波的存在。
微積分十分癡迷于簡單性，它讓復(fù)雜的難題簡單化，已經(jīng)處理和解決了人類有史以來面臨的一些最困難和最重要的問題。微積分成功的方法是把復(fù)雜的問題分解成多個更簡單的部分。所有善于解決問題的人都知道，當(dāng)難題被分解后，就會變得更容易解決。微積分真正不同凡響和標(biāo)新立異的做法在于，它把這種分而治之的策略發(fā)揮到了極致，也就是無窮的程度。它不是把一個大問題切換成有限的幾小塊，而是無休止地切分下去，直到這個問題被切換成無窮個最微小并且可以想象的部分。之后，它會逐一解決所有微小問題，這些問題通常要比那個龐大的原始問題更容易解決。此時，剩下的挑戰(zhàn)就是把所有微小問題的答案重新組合起來。這一步的難度往往會大一些，但至少不會像原始問題那么難。
因此，微積分可分為兩個步驟：切分和重組。用數(shù)學(xué)術(shù)語來說，切分過程總是涉及無限精細(xì)的減法運(yùn)算，用于量化各部分之間的差異，這個部分叫做微分學(xué)。重組過程總是涉及無限的加法運(yùn)算，將各個部分整合成原來的整體，這個部分叫做積分學(xué)。這種策略可用于我們能夠想象的做無窮切分的所有事物，這類事物被稱作連續(xù)體，據(jù)說它們是連續(xù)的。比如，正圓的邊緣、懸索橋上的鋼梁、餐桌上逐漸冷卻的一碗湯、飛行中標(biāo)槍的拋物線軌跡，或者你活著的時光。形狀、物體、液體、運(yùn)動和時間間隔等都是微積分的應(yīng)用對象，它們?nèi)炕蛘邘缀醵际沁B續(xù)的。
更廣泛地說，被微積分建模為連續(xù)體的實體類型，包含了我們能想到的幾乎所有東西。微積分可以描述球如何不間斷地滾下斜坡；光速如何在水中連續(xù)的傳播；蜂鳥的翅膀和飛機(jī)機(jī)翼周圍的連續(xù)氣流如何使它們在空中飛行，以及患者開始采取藥物聯(lián)合治療后，他血液中的HIV（人體免疫缺陷病毒）顆粒濃度在接下來的日子里如何持續(xù)下降。在每種情況下，微積分采取的策略都一樣：先把一個復(fù)雜而連續(xù)的整體切換成無窮多個簡單的部分，然后分別求解，最后把結(jié)果組合在一起。
從微積分到達(dá)十字路口的4個世紀(jì)以來，它已經(jīng)從代數(shù)和幾何學(xué)擴(kuò)展到物理學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工程學(xué)、技術(shù)學(xué)，以及其他所有不斷變化的領(lǐng)域。而且，微積分將時間數(shù)學(xué)化了。盡管我們的世界存在的種種不公、苦難和混亂，但微積分給了我們這樣的希望：世界本質(zhì)上可能是公平合理的，因為它遵循的是數(shù)學(xué)定律。有時我們可以通過科學(xué)找到這些定律，有時我們可以通過微積分理解它們，有時我們可以利用它們改善生活，匡扶社會，以及推動歷史進(jìn)程朝好的方向發(fā)展。
微積分故事中的關(guān)鍵時刻出現(xiàn)在17世紀(jì)中葉，曲線之謎、運(yùn)動之謎和變化之謎在二維網(wǎng)絡(luò)——皮埃爾·德·費(fèi)馬和勒內(nèi)·笛卡爾的xy平面——上發(fā)生了碰撞。而那時，費(fèi)馬和笛卡爾并不知道他們創(chuàng)造出的這個工具有多么強(qiáng)大。他們的初衷是把xy平面作為純粹數(shù)學(xué)的工具。然而從一開始，它就堪稱一個十字路口，因為方程與曲線、代數(shù)與幾何學(xué)、東方數(shù)學(xué)與西方數(shù)學(xué)都在這里相遇了。到了下一代，牛頓在費(fèi)馬、笛卡爾、伽利略和開普勒的研究成果的基礎(chǔ)之上，將幾何學(xué)和物理學(xué)結(jié)合起來。構(gòu)建了一個偉大的綜合體。牛頓的思想火花點燃的啟蒙運(yùn)動之火，引發(fā)了西方科學(xué)和數(shù)學(xué)革命。
從曲線之美與運(yùn)動之謎、變化之謎發(fā)生碰撞的幾個世紀(jì)以來，作為樞紐的xy平面變得越來越重要。今天，所有的定量領(lǐng)域都用它來繪制數(shù)據(jù)圖表和揭示隱藏的關(guān)系。通過它，我們可以直觀地看出一個變量如何取決于另一個變量，也就是說，當(dāng)其他條件保持不變時，x和y的關(guān)系如何。這種關(guān)系可以用一元函數(shù)來建模，并用符號表示表示為y=f(x)。在這里，f是一個描述變量y(因變量)如何隨變量x(自變量)變化的函數(shù)，它的前提是其他所有條件都確定不變。這個函數(shù)模擬了世界在最有序狀態(tài)下的行為，一個原因會產(chǎn)生一個可預(yù)測的結(jié)果，一劑藥會激發(fā)一種可預(yù)測的反應(yīng)。
對技術(shù)行業(yè)的從業(yè)者來說，數(shù)字只是開始?？茖W(xué)家、工程師、數(shù)量金融分析師和醫(yī)學(xué)研究人員需要弄清楚數(shù)字之間的關(guān)系，從而了解一件事會如何影響另一件事。想要描述這樣的關(guān)系，函數(shù)就是必不可少的，它們提供了為運(yùn)動和變化建模所需的工具。一般來說，事物的變化方式有三種：上升、下降或上下起伏。換句話說，就是成長、衰退或波動。以下讓我們聚焦與冪律分布密切相關(guān)的函數(shù)。不同的函數(shù)適用于不同的場合。
（1）冪函數(shù)。像x2或x3這樣的冪函數(shù)，其變量x會自乘若干次。其中最簡單的是線性函數(shù)，其因變量y與自變量x成正比。比如，如果y是你吃掉一片、兩片或三片肉桂葡萄干面包后攝入的熱量，那么y會按照方程y=200x增長。x是你吃掉的面包數(shù)量，200卡路里是每片面包的熱量。但是，對二次增長來說，在計算器上設(shè)置x2非常有用。二次增長不僅僅是乘法運(yùn)算。比如，如果我們讓x分別等于1、2和3，然后看看y=ⅹ2對應(yīng)的值會如何變化。我們將會發(fā)現(xiàn)y分別為12=1，22=4，32=9。y值的增長幅度不斷變大，一開始是Δy=4-1=3，然后是Δy=9-4=5。如果繼續(xù)算下去，y值的增量將依次為7，9，11…，它們遵循奇數(shù)模式。因此，對二次增長來說，改變量本身會隨著x的增長而增大，這表明越往后函數(shù)值的增長越快。冪函數(shù)可用于為不太劇烈的增長方式建模。
（2）指數(shù)函數(shù)。相對于溫和的冪函數(shù)，諸如2?或10?之類的指數(shù)函數(shù)中，描述的一種爆炸式增長，猶如雪球一般越滾越大。指數(shù)增長不像線性增長那樣每次增加一個產(chǎn)量，而是要乘上一個常數(shù)因子。比如，培養(yǎng)皿中的細(xì)菌種群每過20分鐘就會增加一倍。如果最初有1,000個細(xì)菌細(xì)胞，過20分鐘就會有2,000個細(xì)胞，再過20分鐘就會有4,000個細(xì)胞，又過20分鐘就會有8,000個，然后是16,000個、32,000個，以此類推。在這樣的例子中，指數(shù)函數(shù)2?發(fā)揮了作用。具體來說，如果我們以20分鐘為單位來計量時間，那么在x個時間單位之后，細(xì)菌數(shù)量將會達(dá)到1,000×2? 個。從真正的病毒增殖到社交網(wǎng)絡(luò)中信息的病毒式傳播，類似的指數(shù)增長都有各種滾雪球式的過程有關(guān)。
在像2?這樣的指數(shù)函數(shù)中，數(shù)字2被稱為函數(shù)的底數(shù)。在微積分預(yù)備課程中，最常用的底數(shù)是10。相比其他底數(shù)，人們更偏愛10，但這并不是出于數(shù)學(xué)上的原因，而只是一種世代相傳的偏好。因為生物學(xué)進(jìn)化上的一個意外，人類碰巧有10根手指，所以我們的算術(shù)系統(tǒng)十進(jìn)制就是以10的次方為基礎(chǔ)的。出于同樣原因，所有的新生代科學(xué)家，最初遇到的指數(shù)函數(shù)都是10?，這里的x被稱為指數(shù)，當(dāng)x取1、2、3或其他任意正整數(shù)時，它表示在10?中有多少個10彼此相乘。指數(shù)函數(shù)可用于會越來越快的增長過程建模。
（3）10的次方。在科學(xué)領(lǐng)域，有很多我們用10的次方來簡化計算的情況。特別是在數(shù)很大或很小的時候，用科學(xué)計數(shù)法來改寫它們是一個好辦法，即用10的次方盡可能簡潔地表示這些數(shù)。10的次方中的前三個是我們每天都會遇到的數(shù)：101=10，102=100，103=1000。它們的變化趨勢是，左邊一列(x)呈可加性增長，而右邊一列(10?)呈可乘性增長，也就是我們預(yù)期的指數(shù)增長。10的次方是十分強(qiáng)大的壓縮機(jī)，能把巨大的數(shù)字縮減到更易于我們理解的程度，這也是它們?nèi)绱耸芸茖W(xué)家歡迎的原因。在某個量的變化涉及許多數(shù)量級的情況下，人們通常會用10的次方來定義一個適當(dāng)?shù)臏y量尺度，這樣的例子包括酸堿性的pH標(biāo)度、地震的里氏震級和響度的分貝標(biāo)準(zhǔn)。比如，如果溶液中的pH值從7(中性，比如純水)變?yōu)?(酸性，比如檸檬汁)，氫離子的濃度就會增加5個數(shù)量級，即10?或10萬倍。盡管氫離子濃度的確變化了10萬倍，但pH值從7降到2的量度方法讓這個過程看似只走了5小步，根本沒發(fā)生多大的變化。
（4）自然對數(shù)。如今，底數(shù)10已經(jīng)被另一個看似深奧但其實遠(yuǎn)比它自然的底數(shù)取代了。這個底數(shù)被稱為e。e是一個接近2.718的數(shù)，也就是歐拉常數(shù)。e是一個復(fù)雜的極限，無窮是e的固有屬性，就像數(shù)字π是圓的固有屬性一樣。當(dāng)指數(shù)函數(shù)被表示成以e為底數(shù)的形式時，這個不可思議的性質(zhì)就可以簡化所有計算。其他底數(shù)則享受不到這種簡單性，無論我們用的是導(dǎo)數(shù)、積分、微分方程還是其他微積分工具，以e底數(shù)的指數(shù)函數(shù)總是最簡潔、最優(yōu)雅和最美麗的。自然對數(shù)非常實用。比如，它是投資者和銀行家熟知的72法則的基礎(chǔ)。想要估算在年回報率已知的情況下，銀行里的存款增加一倍所需的時間，就可以用72除以回報率。因此，如果年增長率為6%，那么銀行里的存款將在12年（72/6）后增長一倍。這個經(jīng)驗法則遵從自然對數(shù)和指數(shù)增長的性質(zhì)，如果利率足夠低，就會行之有效。
（5）指數(shù)增長與指數(shù)衰減。一個特別之處就在于e?的變化率是e?。因此，隨著這個指數(shù)函數(shù)的圖像不斷飆升，其斜率總會與它當(dāng)前高度相匹配，越高的地方就越陡峭。用微積分術(shù)語可表述為，e是它自身的導(dǎo)數(shù)。除e?之外，沒有其他函數(shù)能做到這一點。因此，e?是所有函數(shù)中最美妙的，至少在微積分領(lǐng)域如此。雖然底數(shù)e是獨(dú)一無二的，但其他指數(shù)函數(shù)也遵循類似的增長原則。唯一的區(qū)別在于，指數(shù)增長率與函數(shù)的當(dāng)前水平成正比，而不是嚴(yán)格地等于后者。不過，這種正比關(guān)系足以讓我們聯(lián)想到爆炸的指數(shù)增長。比如，對細(xì)菌增殖來說，越大的種群增殖越快，因為細(xì)菌越多，其中可以分裂并產(chǎn)生后代的細(xì)胞就越多。除了增長過程之外，衰減過程也可以用指數(shù)函數(shù)來描述。指數(shù)式衰減是指某個事物與當(dāng)前水平成正比的速度減少或者消耗。比如，在一塊孤立的鈾塊中，不管一開始有多少原子，總有半數(shù)原子會在相同的時間內(nèi)發(fā)生放射性衰變。它們的衰變時間被稱為半衰期，這個概念也適用于其他領(lǐng)域。
微積分呈現(xiàn)了無窮的原則。斯托加茨教授深信，通過正確地應(yīng)用“無窮”，微積分可以解開宇宙的奧秘。盡管我們一再看到這種事情發(fā)生，卻讓人感覺不可思議：人類發(fā)明的推理體系竟然與自然的步驟一致。微積分的可靠性不僅體現(xiàn)在它誕生的尺度（日常生活的尺度，比如陀螺和幾碗湯）上，還體現(xiàn)在最微小的原子尺度和最宏大的宇宙尺度上。所以，它不只是一種循環(huán)推理的游戲。它不是指我們把已知的東西塞入微積分，然后微積分再把這些東西還給我們。微積分告訴我們的事情是我們過去沒見過，現(xiàn)在見不到，將來也無法看見的東西。在某些情況下，它會告訴我們一些從未存在過但現(xiàn)在可能存在的事物，前提是我們要擁有它魔法般出現(xiàn)的智慧。
在這其中，關(guān)于復(fù)雜的非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)研究令人沮喪。不管是經(jīng)濟(jì)、社會和細(xì)胞的行為，還是免疫系統(tǒng)、基因、大腦和意識的運(yùn)轉(zhuǎn)，對任何想在我們時代的哲學(xué)最棘手的問題上取得進(jìn)展的人來說，即使不是完全不可能，似乎也總是很困難。一個更大的難題是，我們甚至不知道其中一些系統(tǒng)是否包含類似開普勒和伽利略發(fā)現(xiàn)的那些模式。神經(jīng)細(xì)胞有，但經(jīng)濟(jì)或社會可能沒有。在許多領(lǐng)域，人類的理解仍然處于前伽利略或前開普勒階段。我們尚未找到模式，也無法洞見這些模式更深層次的理論。生物學(xué)、心理學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)都不是牛頓式的，它們甚至也不是伽利略式或開普勒式的。所以，我們還有很長的路要走。
