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Problem1

在直角三角形BCF中，點(diǎn)A在直線(xiàn)CF上且FA=FB，并且F在A(yíng),C之間，點(diǎn)D使得DA=DC并且AC是∠BAD的角平分線(xiàn)，點(diǎn)E使得EA=ED且AD是∠EAC的角平分線(xiàn)， M是FC中點(diǎn)，X使得AMXE是平行四邊形，證明：ME,FX,BD三線(xiàn)共點(diǎn)。

Problem2

求所有的正整數(shù)n使得能夠?qū)⒁粋€(gè) n×n 方形表格填滿(mǎn) I,M,O三個(gè)字母，并且滿(mǎn)足如下條件：

◆每行、每列恰好有：三分之一的I,三分之一的M,三分之一的O。

◆i若某條對(duì)角線(xiàn)上的方格數(shù)是3的倍數(shù)，則這條對(duì)角線(xiàn)上也恰好有三分之一的I,三分之一的M,三分之一的O。

Note:將第i行第j列的表格記為(i，j)，這里的“對(duì)角線(xiàn)”一共有兩類(lèi)4n-2條，第一類(lèi)每條對(duì)角線(xiàn)指所有使得i+j為常數(shù)的小方格(i，j)的集合，第二類(lèi)是指所有使得i-j為常數(shù)的小方格(i,j)的集合。

Problem3

有P=A1 A2 …Ak 是一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中的凸多邊形，已知P內(nèi)接于圓且 A1 A2 …Ak 縱橫坐標(biāo)均為整數(shù).P的面積為S，正奇數(shù)n滿(mǎn)足P每條邊長(zhǎng)度的平方均被n整除，證明：2S是一個(gè)被n整除的整數(shù)。

Problem4

　　一個(gè)由正整數(shù)構(gòu)成的集合稱(chēng)為'芳香集' ，若它至少有兩個(gè)元素，且其中每個(gè)元素都與其他元素中的至少一個(gè)元素有公共的素因子，設(shè)P(n)=n^2+n+1，問(wèn) 正整數(shù)b最小為何值時(shí)能夠存在一個(gè)非負(fù)整數(shù)a使得集合

　　{P(a+1),P(a+2)……P(a+b)}

　　是一個(gè)'芳香集'

　　Problem5

　　黑板上寫(xiě)有方程：

　　(x-1)(x-2)…(x-2016)=(x-1)(x-2)…(x-2016)

　　其中等號(hào)兩邊各有2016個(gè)一次因式，試問(wèn)：正整數(shù)k最小為何值時(shí)，可以在等號(hào)兩邊擦去4032個(gè)一次因式中的恰好k個(gè)，使得等號(hào)每一邊都至少留下一個(gè)一次因式，且所得到的方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根?

　　Problem6

　　在平面上有n≥2條線(xiàn)段，其中任意兩條線(xiàn)段都交叉，且沒(méi)有第三條線(xiàn)段相交于同一點(diǎn)，Geoff在每條線(xiàn)段上選取一個(gè)端點(diǎn)并放置一只青蛙在此端點(diǎn)上，青蛙面向另一個(gè)端點(diǎn)，接著Geoff會(huì)拍n-1次手，每當(dāng)他拍一次手，每只青蛙都立即跳到它所在的線(xiàn)段的下一個(gè)交點(diǎn)，每只青蛙均不會(huì)改變跳躍的方向，Geoff的愿望是能夠適當(dāng)?shù)胤胖们嗤?，使得在任何時(shí)候都不會(huì)有兩只青蛙落在同一個(gè)交點(diǎn)上：

　　(a)證明：若n是奇數(shù)，則Geoff總能實(shí)現(xiàn)他的愿望。

　　(b)證明：若n是偶數(shù)，則Geoff不可能實(shí)現(xiàn)他的愿望