“運算律”
課程難度的定量分析比較
江蘇省鹽城市登瀛小學(xué) 陳金平
HELLO,SUMMER
1
SUMMER
向你介紹我是誰
大家好！我是陳金平，來自江蘇省鹽城市登瀛小學(xué)，是朱樂平名師工作站“一課研究”團隊第六組成員。很高興能在“一課研究”微信平臺上與您相遇。
2
SUMMER
本期內(nèi)容有哪些
聽一聽：教科書研究的基本方法
讀一讀：“運算律”課程難度的定量分析比較
想一想：古典趣題
SUMMERTIME
3
SUMMER
輕輕松松聽聽書
以上內(nèi)容摘自《教科書研究方法與質(zhì)量保障研究》（孔凡哲 張恰等著，東北師范大學(xué)出版社，2015）該書的第二章教科書研究的常用方法。請大家繼續(xù)進入下一環(huán)節(jié)，堅持閱讀8分鐘。
SUMMERTIME
4
SUMMER
堅持閱讀8分鐘
“運算律”一直是我國義務(wù)教育階段小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是整數(shù)加法和乘法計算方法的推理依據(jù)，是繼續(xù)教學(xué)某些數(shù)學(xué)知識的重要基礎(chǔ)?！斑\算律”也是高度概括的運算知識，是人們對大量的計算實踐經(jīng)驗所作的理論概括。
基礎(chǔ)教育課程改革不僅變革了義務(wù)教育階段教學(xué)內(nèi)容，教科書編制體制也由原來的“一綱一本”過渡到現(xiàn)在的“一標(biāo)多本”。由于不同版本教科書的編寫者對《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）理解有所不同，各版本教科書的“運算律”課程難度會出現(xiàn)差異。筆者嘗試借助已建立的課程難度定量模型，以《課程標(biāo)準(zhǔn)》為參照系，選擇由人民教育出版社出版的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書（以下簡稱人教版），北京師范大學(xué)出版社出版的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書（以下簡稱北師大版），浙江教育出版社出版的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書（以下簡稱浙教版）和江蘇教育出版社出版的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書（以下簡稱蘇教版）作為比較對象，對“運算律”的課程難度進行定量比較分析，以反映各版本教科書之間的差異，為教師教學(xué)提供參考。
SUMMERTIME
一、課程難度模型注釋。
據(jù)孔凡哲等人的研究，影響課程難度的基本要素至少有三個：課程深度、課程廣度和課程時間。其中，課程深度泛指課程內(nèi)容所需要的思維的深度，這是一個非常難以量化的要素，涉及到概念和數(shù)學(xué)原理的抽象程度以及概念之間的關(guān)聯(lián)程度（徐利治、鄭毓信先生稱之為“數(shù)學(xué)抽象度”），還涉及到課程內(nèi)容的推理與運算步驟；課程廣度是指課程內(nèi)容所涉及的范圍和領(lǐng)域的廣泛程度，可以用我們通常所說的“知識點”的多少進行量化；課程時間是指課程內(nèi)容的完成所需要的時間，可以用我們通常所說的“課時”多少進行量化。
如果用N來表示課程難度，用S表示課程深度，用G表示課程廣度，用T表示課程時間，綜上所述，可以建立下面的函數(shù)關(guān)系式（1）：
需要強調(diào)的是，在許多情況下，人們往往混淆了課程難度與課程深度這兩個不同的概念，認(rèn)為課程越深則課程就越難。因此，我們必須做這樣的假定：
假定：我們所研究的課程內(nèi)容，只要有足夠的時間，絕大多數(shù)學(xué)生都是能夠理解的。這就意味著，課程難度與課程深度成正比，與課程時間成反比。同樣，課程難度與課程廣度成正比，與課程時間成反比。這樣，單位時間的課程深度和單位時間的課程廣度是刻畫課程難度很重要的量，我們分別稱之為“可比深度”和“可比廣度”。顯然，課程的“可比深度”和“可比廣度”都大，則這門課程就難。這啟發(fā)我們用“可比深度”和“可比廣度”的加權(quán)平均來刻畫課程難度，則（1）式為（2）式:
其中，α滿足0＜α＜1 被稱為加權(quán)系數(shù)，反映了課程對于“可比深度”或者“可比廣度”的側(cè)重程度。為了方便起見, 我們稱由（2）式定義的 N 為課程難度系數(shù)。
N——課程難度， S——課程深度，
G——課程廣度， T——課程時間，
S/T ——可比深度，G/T——可比廣度。
α——加權(quán)系數(shù)，它反映了課程對于可比深度與可比廣度的側(cè)重程度，本文α＝0.5，其含義表示可比深度與可比廣度的側(cè)重各占一半。
對于同一門課程(或者相應(yīng)教材)的兩個不同版本A和B , 分別用N（A）和N（B）表示其課程難度系數(shù)，則N（A）＞N（B）說明A 比B 更難, 難度系數(shù)的差越大, 則說明難度的差別越大。
SUMMERTIME
二、課程難度綜合比較。
依據(jù)課程難度模型，對不同版本教材中“運算律”課程難度的定量分析比較時，課程時間是指完成課程內(nèi)容所需要的時間，用各版本教材中建議“課時”的多少進行量化。由于《課程標(biāo)準(zhǔn)》未規(guī)定課時，在統(tǒng)計時取四個版本的平均值。課程廣度是指課程內(nèi)容所涉及的范圍和領(lǐng)域的廣泛程度，用各版本教材中“知識點”的多少進行量化。課程深度通過相應(yīng)課程目標(biāo)的不同要求程度的加權(quán)平均值來對其加以刻畫( 即知識技能目標(biāo)與過程性目標(biāo)的加權(quán)平均)。一般地，對于同一個知識點，要求越高，其所需要的思維就越深。在《課程標(biāo)準(zhǔn)》下，刻畫知識技能目標(biāo)的動詞是“了解、理解、掌握、靈活運用”，刻畫過程性目標(biāo)的動詞是“經(jīng)歷、體驗、探索”，基于對課程深度量化的需要，需要對各個水平進行賦值，以區(qū)分不同的課程深度值（見表1）。如《課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出: 探索并了解等腰梯形的有關(guān)性質(zhì)，這里規(guī)定等腰梯形的性質(zhì)為1個知識點，其深度為（3＋1）÷2＝2，即取知識技能目標(biāo)和過程性目標(biāo)的加權(quán)平均。
根據(jù)上述規(guī)定，筆者依次計算了人教版、北師大版、浙教版和蘇教版數(shù)學(xué)教科書和數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“運算律”的課程難度。
下面，我們進行逐項分析，然后進行統(tǒng)一比較。
關(guān)于“運算律”的課程時間。人教版在四年級下冊第三單元《運算律》中安排了7課時，四年級下冊第六單元《小數(shù)的加法和減法》中安排了1課時，五年級上冊第一單元《小數(shù)乘法》中安排了1課時，五年級下冊第六單元《分?jǐn)?shù)的加法和減法》中安排了1課時，六年級上冊第一單元《分?jǐn)?shù)乘法》中安排了1課時，六年級下冊第六單元《整理和復(fù)習(xí)》中安排了1課時，共計12課時，其課程時間為T1＝12。
北師大版在四年級上冊第四單元《運算律》中安排了5課時，四年級下冊第三單元《小數(shù)乘法》中安排了1課時，五年級下冊第一單元《分?jǐn)?shù)加減法》中安排了1課時，六年級上冊第二單元《分?jǐn)?shù)的混合運算》中安排了1課時，六年級下冊《總復(fù)習(xí)》中安排了1課時，共計9課時，其課程時間為T2＝9。
浙教版在三年級上冊第一單元《花果山上學(xué)數(shù)學(xué)》中安排了4課時，三年級下冊第二單元《籃球場上的數(shù)學(xué)問題》中安排了2課時，五年級上冊第一單元《小數(shù)的意義與加減法》中安排了1課時，五年級下冊第二單元《分?jǐn)?shù)四則運算》中安排了1課時，六年級下冊第五單元《整理與復(fù)習(xí)》中安排了2課時，共計10課時，其課程時間為T3＝10。
蘇教版在四年級下冊第六單元《運算律》中安排了11課時，五年級上冊第五單元《小數(shù)乘法和除法》中安排了2課時，六年級上冊第五單元《分?jǐn)?shù)四則混合運算》中安排了2課時，六年級下冊第六單元《總復(fù)習(xí)》中安排了2課時，共計15課時，其課程時間為T4＝15。
從而確定《課程標(biāo)準(zhǔn)》中“運算律”的課程時間為T5＝（12＋9＋10＋15）÷4＝11.5。
關(guān)于“運算律”的課程廣度。人教版相應(yīng)課程內(nèi)容的“知識點”為：加法交換律，加法結(jié)合律，加法運算定律的應(yīng)用，連減的簡便運算，乘法交換律，乘法結(jié)合律，乘法分配律，解決問題策略多樣化，整數(shù)加法運算定律推廣到小數(shù)，整數(shù)乘法運算定律推廣到小數(shù)，整數(shù)加法運算定律推廣到分?jǐn)?shù)，整數(shù)乘法運算定律推廣到分?jǐn)?shù)。因而，其課程廣度可取為G1＝12。
北師大教版相應(yīng)課程內(nèi)容的“知識點”為：加法交換律和乘法交換律，加法結(jié)合律及其應(yīng)用，乘法結(jié)合律及其應(yīng)用，乘法分配律及其應(yīng)用，運用運算定律進行簡便計算，整數(shù)運算定律推廣到小數(shù)，整數(shù)加法運算定律推廣到分?jǐn)?shù)，整數(shù)乘法運算定律推廣到分?jǐn)?shù)。因而，其課程廣度可取為G2＝8。
浙教版相應(yīng)課程內(nèi)容的“知識點”為：加法、乘法的交換律，加法、乘法的結(jié)合律、簡便計算，乘法分配律，整數(shù)的運算律對小數(shù)同樣適用，整數(shù)的運算律對分?jǐn)?shù)同樣適用。因而，其課程廣度可取為G3＝6。
蘇教版相應(yīng)課程內(nèi)容的“知識點”為：加法交換律，加法結(jié)合律，加法運算定律的應(yīng)用，運用減法的性質(zhì)進行一些簡便運算，乘法交換律，乘法結(jié)合律，乘法分配律，乘法運算定律的運用，運用除法的性質(zhì)進行一些簡便運算，相遇問題，整數(shù)的運算律對小數(shù)同樣適用，整數(shù)的運算律對分?jǐn)?shù)同樣適用。因而，其課程廣度可取為G4＝12。
《課程標(biāo)準(zhǔn)》相應(yīng)課程內(nèi)容的“知識點”為：加法交換律，加法結(jié)合律，乘法交換律，乘法結(jié)合律，乘法對加法的分配率，運用運算律進行一些簡便計算。因而，其課程廣度可取為G5＝6。
關(guān)于“運算律”的課程深度。人教版中的“運算律”相應(yīng)課程內(nèi)容的“知識點”對應(yīng)的課程深度值分別為：加法交換律 2，加法結(jié)合律 2，加法運算定律的應(yīng)用 4，連減的簡便運算 4，乘法交換律 2，乘法結(jié)合律 2，乘法分配律 2，解決問題策略多樣化 4，整數(shù)加法運算定律推廣到小數(shù) 4，整數(shù)乘法運算定律推廣到小數(shù) 4，整數(shù)加法運算定律推廣到分?jǐn)?shù) 4，整數(shù)乘法運算定律推廣到分?jǐn)?shù) 4。由此可見，人教版相應(yīng)課程內(nèi)容合計12個知識點，取課程深度系數(shù)為S1≈2.33。
北師大版中的“運算律”相應(yīng)課程內(nèi)容的“知識點”對應(yīng)的課程深度值分別為：加法交換律和乘法交換律 2，加法結(jié)合律及其應(yīng)用 4，乘法結(jié)合律及其應(yīng)用 3，乘法分配律及其應(yīng)用 3，運用運算定律進行簡便計算 4，整數(shù)運算定律推廣到小數(shù) 4，整數(shù)加法運算定律推廣到分?jǐn)?shù) 4，整數(shù)乘法運算定律推廣到分?jǐn)?shù) 4。由此可見，蘇教版相應(yīng)課程內(nèi)容合計8個知識點，取課程深度系數(shù)為S2＝3。
浙教版中的“運算律”相應(yīng)課程內(nèi)容的“知識點”對應(yīng)的課程深度值分別為：加法、乘法的交換律 2，加法、乘法的結(jié)合律 2，簡便計算 4，乘法分配律 3，整數(shù)的運算律對小數(shù)同樣適用 4，整數(shù)的運算律對分?jǐn)?shù)同樣適用 4。由此可見，蘇教版相應(yīng)課程內(nèi)容合計6個知識點，取課程深度系數(shù)為S3≈3.17。
蘇教版中的“運算律”相應(yīng)課程內(nèi)容的“知識點”對應(yīng)的課程深度值分別為：加法交換律 2，加法結(jié)合律 2，運用加法交換律和結(jié)合律進行一些簡便計算 4，運用減法的性質(zhì)進行簡便計算 4，乘法交換律 2，乘法結(jié)合律 2，乘法分配律 2，運用乘法交換、結(jié)合律和分配率進行一些簡便計算 4，運用除法的性質(zhì)進行一些簡便計算 4，相遇問題 4，整數(shù)的運算律對小數(shù)同樣適用 4，整數(shù)的運算律對分?jǐn)?shù)同樣適用 4。由此可見，蘇教版相應(yīng)課程內(nèi)容合計12個知識點，取課程深度系數(shù)為S4≈3.17。
《課程標(biāo)準(zhǔn)》中的“運算律”相應(yīng)課程內(nèi)容的“知識點”對應(yīng)的課程深度值分別為：加法交換律 2，加法結(jié)合律 2，乘法交換律 2，乘法結(jié)合律 2，乘法對加法的分配率 2，運用運算律進行一些簡便計算 4。由此可見，《課程標(biāo)準(zhǔn)》相應(yīng)課程內(nèi)容合計6個知識點，取課程深度系數(shù)為S5≈2.33。
關(guān)于“運算律”的課程難度。根據(jù)下面的課程難度模型進行計算。（取α的值為0.5）
為了清晰、直觀地表示四個版本教材和《課程標(biāo)準(zhǔn)》相應(yīng)各項內(nèi)容的有關(guān)定量數(shù)據(jù)指標(biāo)，筆者采用表格的形式將其呈現(xiàn)出來（見表2）。
SUMMERTIME
通過對人教版、北師大版、浙教版和蘇教版四個版本教科書“運算律”課程內(nèi)容在課程廣度、課程深度和課程難度三個維度與《課程標(biāo)準(zhǔn)》進行的一致性分析，筆者得出以下結(jié)論：
1.在人教版、北師大版、浙教版和蘇教版四個版本的教材中，“運算律”的課程時間各不相同，分別為12課時、9課時、10課時和15課時，取平均值為11.5課時，即為《課程標(biāo)準(zhǔn)》的課時。人教版和蘇教版的課程時間相對比較多的原因是，人教版和蘇教版教材分別在“運算律”單元安排了連減的簡便運算，解決問題策略多樣化，相遇問題等內(nèi)容的課程時間，重視應(yīng)用“運算律”進行簡便計算和解決實際問題。
2.從具體知識點來看，四個版本教材中，北師大版和浙教版與《課程標(biāo)準(zhǔn)》的知識點更吻合，人教版和蘇教版的知識點更細碎一些。人教版、北師大版和蘇教版教材都是把“運算律”的知識安排在四年級集中教學(xué)，然后再在小數(shù)運算和分?jǐn)?shù)運算教學(xué)中應(yīng)用整數(shù)“運算律”，只有浙教版教材是把“運算律”知識安排在三年級集中教學(xué)。
3.四個版本教材中“運算律”的課程時間和課程廣度是存在一定的差異的，但是這個差異卻沒有影響“運算律”的課程深度。人教版、浙教版和蘇教版的課程深度均為S≈3.17，北師大版課程深度S＝3。不過，四個版本的課程深度都明顯高于《課程標(biāo)準(zhǔn)》的課程深度，這從一個側(cè)面說明，數(shù)學(xué)教材都是基于《課程標(biāo)準(zhǔn)》的，這是底線。
4.經(jīng)過量化的課程難度呈現(xiàn)了四個不同版本教材存在的難度差異，以及四個不同版本教材與《課程標(biāo)準(zhǔn)》的難度差異的大小。義務(wù)教育階段的課程時間是固定的，某一門課程的授課時間也往往是固定的。無論是“窄而深”的課程設(shè)計模式還是“廣而淺”的課程設(shè)計模式，都會影響課程難度。因此，一個“好”的課程設(shè)計理念應(yīng)當(dāng)是：在控制課程難度的前提下，優(yōu)化課程深度與課程廣度。讓學(xué)生學(xué)得好，學(xué)得扎實，確保學(xué)生擁有自主學(xué)習(xí)的時間和空間，促使學(xué)生獲得全面、健康、和諧和可持續(xù)的發(fā)展，即“有所為、有所不為”。
本文是筆者在學(xué)習(xí)課程難度模型后的一次初步嘗試，課程難度的量化結(jié)果，既會受到課程時間和課程廣度統(tǒng)計結(jié)果的影響，也會受到課程深度量化的準(zhǔn)確性的影響。同時，統(tǒng)計結(jié)果對教師教學(xué)的啟示尚需要進一步思考與探討。
SUMMERTIME
5
SUMMER
想一想：古典趣題
今有女子不善織，日減工遲。初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖。問織幾何？
SUMMERTIME
你若盛開 蝴蝶自來
審核人： 王思穎 高珺
