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本期內(nèi)容有哪些
聽一聽：“平行四邊形面積”之難
讀一讀：“平行四邊形面積”教學(xué)分析與啟示
賞一賞：數(shù)學(xué)小故事-變成兩個三角形
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本期內(nèi)容：郜舒竹．“平行四邊形面積”之難[J]．教學(xué)月刊，2020（2）：4-7.
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“平行四邊形面積”
教學(xué)分析與啟示
一般而言，平行四邊形面積可以用出入相補(bǔ)的原理歸結(jié)為長方形的面積。平行四邊形面積教學(xué)在于培育推理能力和發(fā)展空間觀念。一般教學(xué)教學(xué)是將平行四邊形通過剪拼法，轉(zhuǎn)化為長方形，進(jìn)而運(yùn)用長方形面積推導(dǎo)出平行四邊形的面積。
教師在備課時候需要思考的問題是：學(xué)生怎么會自覺想到通過高進(jìn)行割補(bǔ)，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化？學(xué)生怎么會想到平行四邊形面積不能用鄰邊相乘呢？學(xué)生怎么會想到所有的平行四邊形都可以轉(zhuǎn)化為長方形呢？
學(xué)生怎么會自覺想到通過高進(jìn)行割補(bǔ)，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化？
一、聚焦說理，自覺發(fā)生
有這樣一個經(jīng)典的平行四邊形面積的教學(xué)過程【1】：
第一步：直奔主題，真實(shí)解決問題。老師會提問：我們同學(xué)中都有這樣一個平行四邊形，你能自己想辦法， 算出紙上這個平行四邊形的面積是多少嗎？你能知道平行四邊形面積的計(jì)算方法可能是怎樣的嗎？
第二步：開始教學(xué)，學(xué)生開始測量每條邊的長度，幾分鐘之后，學(xué)生開始有了不同的答案，學(xué)生呈現(xiàn)了35平方厘米、28 平方厘米、32 平方厘米、 24 平方厘米、14 平方厘米。老師分別寫到黑板上面。
第三步：深入說理，說明每一個答案的理由。教師引導(dǎo)學(xué)生一個個說出答案的想法，教師一個個從黑板上擦掉了學(xué)生排除的答案。教師陸續(xù)把 “24” 擦了，又把 “32” 擦了，結(jié)合學(xué)生的回答， 教師板書：7× 4÷2=14（ 平方厘米），針對這樣的想法的學(xué)生，老師會這樣評價：“敢于發(fā)表自己的意見， 這一點(diǎn)就很好，很勇敢。這樣列式計(jì)算， 到底有沒有道理呢？”
第四步：對比思辨，兩種意見：一種認(rèn)為是28平方厘米，另一種認(rèn)為是35平方厘米?？纯吹降渍l能說服誰！學(xué)生小組開始激烈地爭論，學(xué)生匯報(bào)了排除法、平移法等說明28平方厘米的正確。老師追問：“為什么只有你們的28 平方厘米才是正確的呢？”學(xué)生思辨過程，排除了答案是14平方厘米。教師一步步引導(dǎo)學(xué)生思考，并且動態(tài)演示了平行四邊形拉動的動態(tài)過程，引導(dǎo)學(xué)生觀察“不斷拉動平行四邊形過程（見圖1），平行四邊形快要變成什么了，面積呢？”教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積與什么有關(guān)系？
第五步：一般推導(dǎo)。為什么平行四邊形面積計(jì)算等于底乘高呢？用字母表示過程。
【分析與啟示】
學(xué)生怎么會自覺想到通過高進(jìn)行割補(bǔ)，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化？實(shí)際上，學(xué)生真實(shí)想法是并不顯然能夠想到。因此，教師如果創(chuàng)造開放的問題空間，理解學(xué)生想到各種方法的真實(shí)想法，那么，學(xué)生有各種想法都是合情的。教師引導(dǎo)學(xué)生通過“說理”，一步步深入下去，學(xué)生逐一呈現(xiàn)理由，并給出辯論機(jī)會。
聚焦說理，邏輯推理培育自覺發(fā)生的實(shí)現(xiàn)，主要原因是：
第一，教師創(chuàng)造了人文的空間，激發(fā)了平行四邊形面積概念與推導(dǎo)研究的動機(jī)，準(zhǔn)確把握學(xué)情，基于學(xué)情。
第二，平行四邊形面積一課對于培育學(xué)生推理能力有重要價值。其一，學(xué)生建構(gòu)了認(rèn)知的對比。郜舒竹教授認(rèn)為【2】，對于平行四邊形面積之難體現(xiàn)在長方形和平行四邊的差異，長方形的長和寬一旦確定，則長方形的形狀和面積大小隨之確定。一般的平行四邊形不具有這樣的確定性。一般平行四邊形和長方形第二個差異，反映在面積與其一條邊的協(xié)變關(guān)系。平行四邊的一邊邊長增加，其面積可以不變，甚至可能減少。如果教學(xué)關(guān)注了這些，學(xué)生的思維會獲得發(fā)展。因?yàn)?，學(xué)生是自己經(jīng)歷解決問題，自己嘗試，平行四邊形面積可能是周長之和、可能是周長之和的一半、可能是底和高乘積，可能是底和高乘積一半等等。最終發(fā)現(xiàn)，平行四邊形面積和高和底有關(guān)。其二， “說理”與 “轉(zhuǎn)化”法之間的聯(lián)系，教師如果更積極轉(zhuǎn)向先進(jìn)行“說理”角度，其積極意義在于，平行四邊形面積教學(xué)積累了對合情推理的結(jié)論必須進(jìn)行驗(yàn)證的思維經(jīng)驗(yàn)。
有了上面的認(rèn)識，我們了解到，聚焦說理，邏輯推理能力得以實(shí)現(xiàn)。那么，還有什么問題呢？
學(xué)生怎么會想到平行四邊形面積不能用鄰邊相乘呢？
二、聚焦文化，自然接納
有這樣一個經(jīng)典的教學(xué)【3】
第一步：微視頻播放，老師提問：“土地分配公平嗎？”
第二步：學(xué)生解決問題，學(xué)生提出猜想，平行四邊形的面積s=ab。（a、b是相鄰兩條邊）。板書（平行四邊形面積S=ab）
第三步：驗(yàn)證，板書（驗(yàn)證）。教師提示小組要求，任務(wù)驅(qū)動，圍繞學(xué)具，開展探究。圍繞問題，拼出的長方形的長和寬與原來的平行四邊形的關(guān)系？你能推到平行四邊形面積計(jì)算公式嗎？
第四步：學(xué)生匯報(bào)割補(bǔ)方法。推導(dǎo)出平行四邊形計(jì)算公式。
通過驗(yàn)證，得出結(jié)論：平行四邊形的面積等于底乘高。教師補(bǔ)充：沿任意一條高都可以割補(bǔ)成長方形。
第五步：評估與延伸，平行四邊形周長不變，圖中的面積變小。（見圖2）
教師進(jìn)一步補(bǔ)充，我們的探究和古埃及數(shù)學(xué)家的探究方法有相似的情況。數(shù)學(xué)在不斷犯錯和糾錯中進(jìn)步。
第六步：結(jié)論應(yīng)用，一邊和對應(yīng)邊上的高乘積可以求平行四邊形面積。等底等高的平行四邊形面積相等變式練習(xí)。
【分析與啟示】
教學(xué)的過程蘊(yùn)含了融入數(shù)學(xué)史知識，其自然接納體現(xiàn)在于：
第一、接納兒童的錯誤思想，與數(shù)學(xué)家的思想聯(lián)系。兒童把“平行四邊形面積”想成是鄰邊相乘，這是自然的，因?yàn)槠叫兴倪呅尾贿^是一個歪了的長方形。相同在于，從形式上，都是四邊形；從特性上看，都滿足“對邊平行且相等”。【2】
通過數(shù)學(xué)史發(fā)現(xiàn)，我們看到任意古埃及面積計(jì)算的背景是尼羅河的泛濫，計(jì)算公式是任意四邊形的面積s=(a+c)/2/×（b+d）/2（a 、b、c、d都是四條邊的長）。
第二、正是因?yàn)檫@樣，學(xué)生在小組合作中進(jìn)一步思考兩個核心問題，使得研究過程變得深刻，變得讓學(xué)習(xí)過程更為自然。
因?yàn)?，以基本方法“割補(bǔ)法”看做邏輯起點(diǎn)，考慮到了學(xué)生空間觀念的發(fā)生發(fā)展過程。因?yàn)椋横槍γ娣e的計(jì)算基本圖形，平行四邊形的面積是割補(bǔ)法。
有了上面的認(rèn)識，指向?qū)W生的全面發(fā)展。對數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的基本想法，可以讓學(xué)生接納相關(guān)命題的差異。那么，還有什么問題呢？
學(xué)生怎么會想到所有的平行四邊形都可以轉(zhuǎn)化為長方形呢？
三、聚焦結(jié)構(gòu)，內(nèi)化關(guān)聯(lián)
（1）
調(diào)整序列結(jié)構(gòu)，內(nèi)化升華
“平行四邊形的面積”，除了剪拼法轉(zhuǎn)化，還有哪些教學(xué)的路徑，還可以調(diào)整教學(xué)的路徑【4】，將三角形面積教學(xué)放置在平行四邊形面積教學(xué)前面，從邏輯上并沒有沖突。這樣一來，它擴(kuò)充了將平行四邊形分割成兩個三角形， 以三形面積公式為基礎(chǔ)，通過“底×高÷2×2”推理得出平行四邊形面積公式。
可以呈現(xiàn)出一個新的教學(xué)【5】
第一步：復(fù)習(xí)引入，揭示課題。
第二步：自主轉(zhuǎn)化，經(jīng)歷公式的推導(dǎo)。（見圖3）
第三步：鞏固內(nèi)化。
后測研究表明【5】，讓學(xué)生自主探究，經(jīng)歷了平行四邊形的面積的公式轉(zhuǎn)化過程，溝通中實(shí)現(xiàn)了三角形面積和長方形面積的梳理，長方形學(xué)生更為熟悉，面積計(jì)算方法也比較簡單，但轉(zhuǎn)化中長寬和底高的對應(yīng)難度更大一些；三角形面積計(jì)算方法略顯復(fù)雜，但轉(zhuǎn)化中面積公式推導(dǎo)更為簡單。
【分析與啟示】
學(xué)生怎么會想到所有的平行四邊形面積都可以用底乘高計(jì)算，如何實(shí)現(xiàn)？
教學(xué)的過程實(shí)踐了調(diào)整序列的構(gòu)想，其內(nèi)化習(xí)得體現(xiàn)在于：
第一、這種轉(zhuǎn)化的過程是一個顯現(xiàn)與發(fā)展割補(bǔ)方式多樣性有關(guān)。
第二、一種被稱為斜而長的平行四邊形，顯然可以得到面積公式的推導(dǎo)。因?yàn)闊o論是什么樣的平行四邊形都可以轉(zhuǎn)化為兩個面積一樣的三角形，從而獲得公式的推導(dǎo)。
（2）
調(diào)整序列結(jié)構(gòu)，關(guān)聯(lián)升華
還有這樣的一個教學(xué)【“三角形面積和平行四邊形面積”（朱蕾，2015）】：
第一步：新舊聯(lián)系，引發(fā)思考
1.從一個長方形（長是5厘米，寬是3厘米）。求長方形面積？如果在長方形中剪出盡可能大的三角形，你會怎么剪？
第二步：深入研究，探究公式
1.初探三角形面積
學(xué)生剪出兩種三角形，剪出來的三角形面積會有什么？剪出來三角形面積和原來的長方形的面積關(guān)系。學(xué)生可能會認(rèn)為是長方形的一半。
2.二探三角形面積
一般三角形面積公式推導(dǎo)。
第三步：探究平行四邊形面積計(jì)算公式
1.探究平行四邊形面積公式
接著探究平四邊形面積，就是原來三角形的2倍。
2.小結(jié)，說一說三角形面積和平行四邊形面積公式有什么區(qū)別，為什么?
第四步：練習(xí)鞏固
1.應(yīng)用練習(xí)
2.回顧小結(jié)
3.課后延伸
【分析與啟示】
學(xué)生怎么會想到所有的平行四邊形面積都可以用底乘高計(jì)算，如何實(shí)現(xiàn)？
教學(xué)的過程實(shí)踐了調(diào)整序列的構(gòu)想，其關(guān)聯(lián)升華體現(xiàn)在于：
第一，教學(xué)序列調(diào)整，可以對長方形的面積、平行四邊形面積、三角形面積進(jìn)行實(shí)質(zhì)上的對比。
第二，為什么要有結(jié)構(gòu)教？因?yàn)閷W(xué)生不僅知道如何進(jìn)行公式推導(dǎo)，而且也會進(jìn)行知識關(guān)聯(lián)。
第三，深入挖掘 “轉(zhuǎn)化”過程中所蘊(yùn)含要的思想方法。還可能提供給學(xué)生經(jīng)歷與體驗(yàn)運(yùn)用面積公式的機(jī)會，因而可能在回應(yīng)學(xué)生 “一種斜而長的平行四邊形怎么轉(zhuǎn)化為長方形？”促進(jìn)與豐富學(xué)生對整個單元有概念性理解，以達(dá)到對平行四邊形面積深度理解上留下痕跡。
張奠宙先生認(rèn)為【6】，對于面積本質(zhì)的真正理解， 需要借助現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的測度理論。簡言之，數(shù)學(xué)意義上的積測量，其實(shí)質(zhì)是要對某些平面圖形指定一個合適的數(shù)，使之滿足三個基本特性：有限可加性、運(yùn)動不變性和正則性。因此，無論平行四邊形面積如何教學(xué)，有說理地教、有文化地教、有結(jié)構(gòu)地教，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生推理能力發(fā)展、空間觀念的培育、建模和創(chuàng)新意識的發(fā)展。
參考文獻(xiàn)
［1］潘小明．?dāng)?shù)學(xué)思維的發(fā)展不是空洞的— “平行四邊形面積”教學(xué)實(shí)踐及思考[J]．人民教育，2012(12):34-37.
［2］郜舒竹．“平行四邊形面積”之難[J]．教學(xué)月刊，2020（2）：4-7.
［3］文萍， 岳增成．基于數(shù)學(xué)史的探究式教學(xué)研究[J]．教學(xué)月刊，2019(11):23-24.
［4］宋煜陽．“面積公式推導(dǎo)”教學(xué)序列思考與實(shí)踐[J]．教學(xué)月刊，2019(4):6-11.
［5］方巧娟．應(yīng)用推廣與關(guān)系梳理—平行四邊形面積公式探索[J]．教學(xué)月刊，2019(4):18-20.
［6］張奠宙，鞏子坤，任敏龍，張園，殷文娣．小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理—核心概念的理解與呈現(xiàn)[M]．上海：上海教育出版社，2018：240．
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賞一賞：數(shù)學(xué)小故事
小林放學(xué)途中，突然聽到書包里有哭泣聲。他打開書包，發(fā)現(xiàn)有一個幾何圖形在哭泣，如右圖。
“你怎么了？”小林奇怪地問，“難道是其他伙伴不和你玩嗎?
“不是!”這個幾何圖抹著眼淚回答。
“那是為什么？”
“是你欺負(fù)我！”幾何圖形說完后，哭聲更大了。
“我怎么欺負(fù)你了？”小林不解地問，“你要跟我說明白才行呀！”
幾何圖形抹干眼淚說：“以前，我是一個四邊形，只要畫一條線就變成了兩個三角形?？墒牵憬裉靺s把我的拐角扯掉了，現(xiàn)在畫一條線再也不能變成兩個三角形！我好傷心！”
小林一聽，“哦”原來是這樣。
“別哭了！我一定幫你！”小林安慰幾何圖形。
于是，小林開始啟動大腦，不一會兒，大腦里便蹦出一個好辦法，他把這個辦法說給幾何圖形聽，幾何圖形樂得呱呱叫。
你知道小林是怎么做的嗎？
答案：用一條線畫成一個長方形，使得長方形正好把缺角處覆蓋，然后得到兩個三角形。
審核人：藍(lán)海鵬 陳玲玲 陸肖麗
