專題11 統(tǒng)計(jì)
易錯(cuò)點(diǎn)1 不能正確區(qū)分總體、樣本、樣本容量
易錯(cuò)點(diǎn)2 對隨機(jī)抽樣的概念理解不透徹
1．簡單隨機(jī)抽樣是不放回抽樣，抽樣過程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)(概率)相等.
2．應(yīng)用簡單隨機(jī)抽樣應(yīng)注意的問題：
(1)一個(gè)抽樣試驗(yàn)?zāi)芊裼贸楹灧?，關(guān)鍵看兩點(diǎn)：
一是抽簽是否方便；
二是號(hào)簽是否易攪勻．
一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時(shí)可用抽簽法．
(2)在使用隨機(jī)數(shù)表時(shí)，如遇到三位數(shù)或四位數(shù)時(shí)，可從選擇的隨機(jī)數(shù)表中的某行某列的數(shù)字計(jì)起，每三個(gè)或四個(gè)作為一個(gè)單位，自左向右選取，有超過總體號(hào)碼或出現(xiàn)重復(fù)號(hào)碼的數(shù)字舍去．
(3)簡單隨機(jī)抽樣需滿足：
①被抽取的樣本總體的個(gè)體數(shù)有限；
②逐個(gè)抽?。?/p>
③是不放回抽?。?/p>
④是等可能抽?。?/p>
簡單隨機(jī)抽樣是逐個(gè)抽取，而題中是一次性抽?。虎懿皇呛唵坞S機(jī)抽樣，原因是個(gè)子最高的5名同學(xué)是56名同學(xué)中特定的，不存在隨機(jī)性，不是等可能抽樣．
故選擇D．
【名師點(diǎn)睛】簡單隨機(jī)抽樣的特征
要判斷所給的抽樣方法是否是簡單隨機(jī)抽樣，關(guān)鍵是看它們是否符合簡單隨機(jī)抽樣的定義，即簡單隨機(jī)抽樣的四個(gè)特點(diǎn)：有限性、逐一性、不放回性、等可能性．
①有限性：簡單隨機(jī)抽樣要求被抽取的樣本的總體個(gè)數(shù)是有限的，便于通過樣本對總體進(jìn)行分析．
②逐一性：簡單隨機(jī)抽樣是從總體中逐個(gè)地進(jìn)行抽取，便于實(shí)踐中操作．
③不放回性：簡單隨機(jī)抽樣是一種不放回抽樣，便于進(jìn)行有關(guān)的分析和計(jì)算．
④等可能性：簡單隨機(jī)抽樣中各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，從而保證了抽樣方法的公平性．
易錯(cuò)點(diǎn)3 對系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)理解不到位
易錯(cuò)點(diǎn)4 對個(gè)體的入樣可能性與抽樣間隔理解不透
1．明確系統(tǒng)抽樣的操作要領(lǐng)
系統(tǒng)抽樣操作要領(lǐng)是先將個(gè)體數(shù)較多的總體分成均衡的若干部分，然后按照預(yù)先指定的規(guī)則，從每一部分中抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需樣本．系統(tǒng)抽樣是等距離抽樣，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)是相等的，如本題中2000人要分為50段．
2．對系統(tǒng)抽樣合理分段
在系統(tǒng)抽樣過程中，為將整個(gè)編號(hào)分段，要確定分段間隔，當(dāng)在系統(tǒng)抽樣過程中比值不是整數(shù)時(shí)，要從總體中剔除一些個(gè)體(用簡單隨機(jī)抽樣)，但每一個(gè)個(gè)體入樣的機(jī)會(huì)仍然相等．如本題中剔除14人后，每個(gè)人被抽取的可能性不變．
易錯(cuò)點(diǎn)5 忽略分層抽樣的特點(diǎn)
1．分層抽樣的前提和遵循的兩條原則
(1)前提：分層抽樣使用的前提是總體可以分層，層與層之間有明顯區(qū)別，而層內(nèi)個(gè)體間差異較小，每層中所抽取的個(gè)體數(shù)可按各層個(gè)體數(shù)在總體的個(gè)體數(shù)中所占比例抽?。?/p>
(2)遵循的兩條原則：
①將相似的個(gè)體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個(gè)個(gè)體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則；
②分層抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，需遵循在各層中進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個(gè)體數(shù)量的比等于抽樣比．
2．與分層抽樣有關(guān)問題的常見類型及解題策略：
(1)求某一層的樣本數(shù)或總體個(gè)數(shù)．可依據(jù)題意求出抽樣比，再由某層總體個(gè)數(shù)(或樣本數(shù))確定該層的樣本(或總體)數(shù)．
(2)求各層的樣本數(shù)．可依據(jù)題意，求出各層的抽樣比，再求出各層樣本數(shù)．
進(jìn)行分層抽樣時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
(1)分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是層內(nèi)樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊．
(2)為了保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，所有層中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同．
(3)在每層抽樣時(shí)，應(yīng)采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行抽樣．
易錯(cuò)點(diǎn)6 誤將頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)當(dāng)作頻率
1．畫頻率分布直方圖的步驟
（1）求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)；
（2）決定組距與組數(shù)；
（3）將數(shù)據(jù)分組；
（4）列頻率分布表；
（5）畫頻率分布直方圖(以橫軸表示樣本分組，縱軸表示頻率與組距的比值).
2．頻率分布直方圖的性質(zhì)
（1）落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示，且各小長方形的面積的和等于1.
（2）頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系
①最高的小長方形中的某個(gè)（些）點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；
②中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；
③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．
繪制頻率分布直方圖的注意事項(xiàng)：
(1)計(jì)算極差，需要找出這組數(shù)的最大值和最小值，當(dāng)數(shù)據(jù)很多時(shí)，可選一個(gè)數(shù)當(dāng)參照．
(2)將一批數(shù)據(jù)分組，目的是要描述數(shù)據(jù)分布規(guī)律，要根據(jù)數(shù)據(jù)多少來確定分組數(shù)目，一般來說，數(shù)據(jù)越多，分組越多．
(3)將數(shù)據(jù)分組，決定分點(diǎn)時(shí)，一般使分點(diǎn)比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并且把第一組的起點(diǎn)稍微減小一點(diǎn)．
(4)列頻率分布表時(shí)，可通過逐一判斷各個(gè)數(shù)據(jù)落在哪個(gè)小組內(nèi)，以“正”字確定各個(gè)小組內(nèi)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)．
(5)畫頻率分布直方圖時(shí)，縱坐標(biāo)表示頻率與組距的比值，一定不能標(biāo)成頻率．
頻率分布直方圖是用樣本估計(jì)總體的一種重要方法，是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題，且主要有以下幾個(gè)命題角度：
(1)已知頻率分布直方圖中的部分?jǐn)?shù)據(jù)，求其他數(shù)據(jù)．可根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求出樣本與總體的關(guān)系，利用頻率和等于1就可求出其他數(shù)據(jù)．
(2)已知頻率分布直方圖，求某種范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)．可利用圖形及某范圍結(jié)合求解．
(3)與概率有關(guān)的綜合問題，可先求出頻率，再利用古典概型等知識(shí)求解.
易錯(cuò)點(diǎn)7 對莖葉圖的畫法規(guī)則認(rèn)識(shí)不夠
1．莖葉圖將所有兩位數(shù)的十位數(shù)字作為莖，個(gè)位數(shù)字作為葉，莖相同者共用一個(gè)莖，莖按從小到大的順序從上向下列出，共莖的葉可以按從大到小(或從小到大)的順序同行列出(也可以沒有大小順序)．
2．繪制莖葉圖的關(guān)鍵是分清莖和葉．一般地說，當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位數(shù)時(shí)，十位上的數(shù)字為“莖”，個(gè)位上的數(shù)字為“葉”；如果是小數(shù)，通常把整數(shù)部分作為“莖”，小數(shù)部分作為“葉”．解題時(shí)要根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)合理地選擇莖和葉．
3．應(yīng)用莖葉圖對兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較時(shí)，要從數(shù)據(jù)分布的對稱性、中位數(shù)、穩(wěn)定性等幾方面來比較．
4．莖葉圖只適用于樣本數(shù)據(jù)較少的情況．
在樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好．它不但可以保留所有信息，而且可以隨時(shí)記錄，這對數(shù)據(jù)的記錄和表示都能帶來方便．但是當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多時(shí)，莖葉圖就顯得不太方便，因?yàn)槊恳粋€(gè)數(shù)據(jù)都要在圖中占據(jù)一個(gè)空間，如果數(shù)據(jù)很多，枝葉就會(huì)很長．
故該校應(yīng)該選擇乙班參賽.
【名師點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)莖葉圖求平均數(shù)，根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)求原始數(shù)據(jù)，考查了計(jì)算方差，并利用方差做出統(tǒng)計(jì)判斷的問題.
易錯(cuò)點(diǎn)8 忽略方差的統(tǒng)計(jì)意義
用樣本估計(jì)總體時(shí),樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差只是總體的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的近似.實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不相等時(shí)，需先分析平均水平，再計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差(方差)分析穩(wěn)定情況.
1．平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述.
2．眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，平均數(shù)是最重要的量.平均數(shù)反映的是樣本個(gè)體的平均水平，眾數(shù)和中位數(shù)則反映樣本中個(gè)體的“重心”.
3．?dāng)?shù)據(jù)的離散程度可以通過極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述，極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的最大幅度，它對一組數(shù)據(jù)中的極端值極為敏感.一般情況下,極差大,則數(shù)據(jù)波動(dòng)性大;極差小,則數(shù)據(jù)波動(dòng)性小.極差只需考慮兩個(gè)極端值,便于計(jì)算,但沒有考慮中間的數(shù)據(jù),可靠性較差.方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的大小．標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越波動(dòng)；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．
易錯(cuò)點(diǎn)9 運(yùn)用數(shù)字特征作評價(jià)時(shí)考慮不周
1．平均數(shù)受個(gè)別極端數(shù)據(jù)(比其他數(shù)據(jù)大很多或小很多的數(shù)據(jù))的影響較大,因此若在數(shù)據(jù)中存在少量極端數(shù)據(jù)時(shí),平均數(shù)對總體估計(jì)的可靠性較差,往往用眾數(shù)或中位數(shù)去估計(jì)總體.有時(shí)也采用剔除最大值與最小值后所得的平均數(shù)去估計(jì)總體.
2．運(yùn)用數(shù)字特征進(jìn)行評價(jià)時(shí),要全面考慮各數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn),從不同層面或兩兩綜合進(jìn)行評價(jià),才能得到較為可靠的估計(jì).
本題考查分層抽樣的方法，平均數(shù)、方差的計(jì)算方法以及應(yīng)用，考查用樣本的數(shù)據(jù)特征估計(jì)總體的數(shù)據(jù)特征的方法，考查運(yùn)算求解能力和數(shù)據(jù)處理能力，考查運(yùn)用基本知識(shí)分析解決實(shí)際問題的能力.
平均數(shù)：能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體平均水平，但易受少數(shù)極端值的影響；
方差：反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度，方差值越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大.
易錯(cuò)點(diǎn)10 弄錯(cuò)回歸方程中，的位置
易錯(cuò)點(diǎn)11 忽略求回歸方程的前提——線性相關(guān)
相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)：
共同點(diǎn)：二者都是指兩個(gè)變量間的關(guān)系．
不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，體現(xiàn)的是因果關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，體現(xiàn)的不一定是因果關(guān)系，可能是伴隨關(guān)系．
1．兩個(gè)變量x與y相關(guān)關(guān)系的判斷方法：
(1)散點(diǎn)圖法：通過散點(diǎn)圖，觀察它們的分布是否存在一定規(guī)律，直觀地判斷；如果發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個(gè)變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個(gè)別點(diǎn)的位置的影響．
(2)表格、關(guān)系式法：結(jié)合表格或關(guān)系式進(jìn)行判斷；
(3)經(jīng)驗(yàn)法：借助積累的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析判斷．
2．求線性回歸方程時(shí)，先利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量是否存在線性相關(guān)關(guān)系，只有在兩個(gè)變量之間存在線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，求出的線性回歸方程才有意義.否則，如果兩個(gè)變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，即使由樣本數(shù)據(jù)求出回歸方程，用其估計(jì)和預(yù)測的結(jié)果也是不可信的.
這種解法是錯(cuò)誤的，原因是這兩個(gè)變量之間不是線性相關(guān)關(guān)系．此類問題的解決，應(yīng)先對兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，然后結(jié)合作出的散點(diǎn)圖，選擇適宜的回歸方程．
易錯(cuò)點(diǎn)12 沒有準(zhǔn)確掌握公式中參數(shù)的含義
2．抽樣方法的選取方法
(1)若總體由差異明顯的幾個(gè)層次組成，則選用分層抽樣．
(2)若總體沒有差異明顯的層次，則考慮采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣．
當(dāng)總體容量較小時(shí)宜用抽簽法；當(dāng)總體容量較大，樣本容量較小時(shí)宜用隨機(jī)數(shù)表法；當(dāng)總體容量較大，樣本容量也較大時(shí)宜用系統(tǒng)抽樣．
2．統(tǒng)計(jì)表
（1）頻率分布的估計(jì)：頻率分布是指各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本中所占比例的大小，可以用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布，頻率分布表是反映樣本的頻率分布的表格．通過頻率分布直方圖和頻率分布表可以看到樣本的頻率分布．
（2）盡管有些總體密度曲線是客觀存在的，但是在實(shí)際應(yīng)用中我們并不知道它的具體表達(dá)形式，需要用樣本來估計(jì)．由于樣本是隨機(jī)的，不同的樣本得到的頻率分布折線圖不同；即使對于同一個(gè)樣本，不同的分組情況得到的頻率分布折線圖也不同．頻率分布折線圖是隨樣本容量和分組情況的變化而變化的，因此不能用樣本的頻率分布折線圖得到準(zhǔn)確的總體密度曲線．
（3）估計(jì)總體分布的步驟是：
①選擇適當(dāng)?shù)某闃臃椒◤目傮w中抽取樣本，即收集數(shù)據(jù)．
②利用樣本數(shù)據(jù)畫出統(tǒng)計(jì)圖或計(jì)算數(shù)字特征．
③結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖分析樣本取值的分布規(guī)律．
④用樣本取值的分布規(guī)律估計(jì)總體分布，由于是用科學(xué)抽樣抽取的樣本，那么樣本與總體取值的分布規(guī)律近似，有時(shí)也可看成相同.
⑤利用總體分布解決有關(guān)問題．
（4）各種統(tǒng)計(jì)表的優(yōu)點(diǎn)與不足
從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)．
具有正相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖如圖1，具有負(fù)相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖如圖2.
3．回歸分析
如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，則這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．
回歸直線對應(yīng)的方程叫做回歸直線方程(簡稱回歸方程)．
求非線性回歸方程的步驟：
①確定變量，作出散點(diǎn)圖．
②根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)．
③變量置換，通過變量置換把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題，并求出線性回歸方程．
④分析擬合效果：通過計(jì)算相關(guān)指數(shù)或畫殘差圖來判斷擬合效果．
⑤根據(jù)相應(yīng)的變換，寫出非線性回歸方程．
答案解析
聯(lián)系客服
