上次說到：
（1）我們可以把股票的收益分為“共同因素”關(guān)聯(lián)部分（）和除此之外的部分（ui），寫做公式是
（2）共同因素的選取方式多種多樣，有成熟的商業(yè)模型，也有自己關(guān)在家里鼓搗出來的“秘密武器”。
（3）所有的統(tǒng)計模型和統(tǒng)計結(jié)論都是帶有不確定性的，但是“大數(shù)定理”在一定程度上拯救了我們，應(yīng)用因子模型分析股票組合的相關(guān)特征是靠譜的。
本期我們來談?wù)劷M合的風(fēng)險問題。是的，本期仍然沒有賺錢相關(guān)內(nèi)容，嘿嘿，你越想聽的部分我越是最后說。
首先，我得聲明一下，我真不是不想討論賺錢的問題，但有一句至理名言需要給大家分享：做投資請永遠先考慮風(fēng)險！
不計后果地下注是賭博，不是投資。我們不能只盯著預(yù)期收益率，還必須考慮它可能的波動情況（一般用波動率表示，也就是收益率的標(biāo)準(zhǔn)差）。
如果一個組合的預(yù)期收益率是15%，但是波動率卻是20%，那么這個15%的收益是非常不穩(wěn)定的，組合很有可能在投資期間的某個（或者多個）時點上是-10%這樣的負收益。在這種時候，如果你是個人投資，那多半是吃嘛嘛不香，咋睡睡不好。如果你是資產(chǎn)管理人，那投資人如果還沒撤資也是在撤資邊緣了。所以，我們?yōu)榱四艹院盟?，在投資前最好能夠充分地估計組合的風(fēng)險情況。
繼續(xù)上面的例子，投資一籃子股票，約莫大幾十至幾百只吧，這一籃子股票構(gòu)成的組合的波動率到底如何估計呢？
常規(guī)的方法是，估計每只股票的波動率（），然后估計每兩只股票之間的相關(guān)系數(shù)（），這樣就可以計算出股票組合的波動率（的平方）：
其中wi是每只股票的權(quán)重。
可以看出，使用這種方法的話，我們需要估算n(n+1)/2個參數(shù)（因為，其中n為股票總只數(shù)），下圖是一個25只股票的組合的相關(guān)性矩陣所需要估計的參數(shù)，大家隨意感受下。
一般的組合投資，100只股票是個起步數(shù)目，這樣至少需要估計5050個參數(shù)！
統(tǒng)計學(xué)中的參數(shù)一般是沒法知道它的真實值的，只能利用可觀測、能夠收集到的數(shù)據(jù)通過合理的方法去估算，而為了估計值具有較好的精度一般又需要大量的有效數(shù)據(jù)，需要估計的參數(shù)越多，數(shù)據(jù)量的需求一般就越大。上面提到的方法所需要估算的參數(shù)數(shù)量以n^2的速度增加，而股票可觀測的收益數(shù)據(jù)是有限的，再考慮到數(shù)據(jù)的時效性，這個數(shù)據(jù)量很難給出所有參數(shù)的良好估計。更別說我們這里需要的是對波動率未來預(yù)期的估計，不是對歷史波動率的估計。
那怎么辦呢？
還得靠上面的因子模型呀，讓我們再看看它，
一般而言，共同因素的總數(shù)K是遠小于股票的總數(shù)n，既然股票收益率是跟因素變動率相關(guān)，那我們是否可以先估計因素的波動率和因素之間的相關(guān)性（需要估算的參數(shù)總數(shù)是K(K+1)/2個），然后通過它們來計算股票收益的波動率和它們之間的波動率呢？
這個方法是行得通的！
打個比方，假設(shè)萬物都由幾種基本元素構(gòu)成，每個物體所含各個元素的比例不同。要想測算所有物體兩兩之間的作用關(guān)系，那工作量巨大，得測算到天荒地老。但是如果我們能夠測算出每兩種基本元素之間的相互作用關(guān)系，那么每兩個物體之間的作用關(guān)系就僅僅是使用元素比例的直接計算了，不需再進行測算。
細心的讀者可能發(fā)現(xiàn)了一個問題，在上面的因子模型中，股票收益率是由共同因素部分（）和非共同因素部分（ui）組成的。你僅僅通過共同因素的波動特征來計算股票收益之間的波動特征怕是不合適吧，非共同因素部分不會產(chǎn)生影響嗎？
這個問題實在是問得好！
一般而言，在選擇了合適的共同因素fk后，每只股票收益的大部分都由它們解釋了，剩余的收益來自于股票特有的特征，所以ui一般也被稱為“個股特異收益（security-specific return, idiosyncratic return）”。由于它來自于股票特有的特征，因此一般和共同因素的相關(guān)性很低，股票與股票之間的特異收益部分相關(guān)性也很低。所以，特異收益自身的波動和共同因素引起的波動一起組成每只股票自身的波動率，而股票與股票之間的相關(guān)程度僅由共同因素部分產(chǎn)生，這句話寫成公式就是，
這里，是股票特異收益率的波動率，和是共同因素的波動率，是共同因素之間的相關(guān)系數(shù)。只要把這些值估計出來（當(dāng)n=100, K=10的時候，總共需要估計155個值，遠遠小于剛才需要的5050個），那么所有股票的波動率和它們之間的相關(guān)性就可以通過上面的兩個式子直接計算出來，股票組合的波動率也就可以計算出來。
這個模型是不是給我們省了很多事？
不僅僅如此，由于共同因素本身的波動特征和它們之間的相關(guān)性相對于股票收益而言具有更高的穩(wěn)定性和可預(yù)測性，通過這種方式估計的組合風(fēng)險精度一般也更高！既省事效果又更好，事半功倍，統(tǒng)計模型是不是很牛X。
估算股票波動率的方法是找到了，那么如何控制股票組合的風(fēng)險呢？
首先，讓我們再看一眼股票組合波動率的計算公式，
可以看出wi（每只股票的權(quán)重）這個變量是我們可以任意設(shè)置的：權(quán)重分配方案不同，組合也就會有不同的波動率。通過數(shù)學(xué)上的優(yōu)化算法，我們可以計算出合適的權(quán)重分配方案，使得組合的波動率最小。
這樣就行了嗎？
沒有這么簡單！紙上談兵總是很美好，實際情況總是太復(fù)雜，理論上的東西離實際應(yīng)用總是很遙遠，多少讓人信心滿滿的投資模型實際一使用就立即把你從“指日賺取一個億，登上人生巔峰”的夢想中拉回殘酷的現(xiàn)實。
上面的“最小波動優(yōu)化”結(jié)果，直接用的話會有各種問題。這里簡單列舉兩點：
（1）這樣的權(quán)重優(yōu)化結(jié)果對于波動率估計的準(zhǔn)確性非常敏感：波動率估計稍有變化，權(quán)重優(yōu)化結(jié)果會有很大變化，這個結(jié)果不穩(wěn)定。由于我們對波動率的估計結(jié)果是帶有不確定性的，這個不確定性就會被傳導(dǎo)到權(quán)重優(yōu)化的結(jié)果上，甚至?xí)环糯?，所以這個結(jié)果就很不讓人放心了。如何解決這個問題，由于篇幅有限，這里不能詳述，放幾個相關(guān)的名詞供有興趣的讀者去探索：robust optimization, resampled efficient frontier, Bayesian rescaling。
（2）只考慮最小波動的優(yōu)化很容易把權(quán)重大量地分配給某只（或某幾只）對組合波動影響較大的股票上，從有可能造成的損失角度考慮，這是不太明智的作法：把寶押在幾只股票上，一旦它們出了問題，后果會非常嚴(yán)重。解決辦法包括做優(yōu)化的時候添加對權(quán)重分配的限制規(guī)則、從損失角度考慮的風(fēng)險均價（risk parity）方法等。
好的，如果組合收益的波動風(fēng)險我們想辦法控制了，然后呢？
讓我們再回到因子模型，把它應(yīng)用到股票組合上面，可以得出股票組合的預(yù)期收益為
其中 分別是股票組合的特異收益和因素暴露。組合對某個因素的暴露參數(shù)越大，那么該因素的變化對組合收益的影響就越大。如果對于某個因素，我們對它未來一定時期的變化無法判斷：通貨膨脹變化將會是個什么情況，原油價格會怎么走，人民幣匯率還扛得住嗎，股票收益動量效應(yīng)未來能否持續(xù)，等等。
有沒有什么辦法消除這個因素對組合收益的影響呢？
聰明的讀者可能已經(jīng)想到了辦法：想法子使得組合對這個因素的暴露為零就可以了嘛！這樣的話，不論未來這個因素如何變化，組合收益都不受它的影響，關(guān)于這個因素的可能風(fēng)險就消除掉了。的確是如此，而使得組合對某個因素零暴露的方法主要有兩種：
（1）通過調(diào)節(jié)股票權(quán)重，使得組合的因素暴露為零，即使得。當(dāng)個股暴露取值有正有負的時候，只通過做多就可以實現(xiàn)目標(biāo)。否則我們只能分配給部分股票負的權(quán)重，也就是做空部分股票來實現(xiàn)目標(biāo)（就是融券賣出，但A股融券成本很高，很坑爹）。
（2）找到一個成本可控、可做空、對目標(biāo)因素有暴露（最好對其他因素?zé)o暴露）的投資標(biāo)的，通過做空該標(biāo)的方式來對沖股票組合在目標(biāo)因素上的風(fēng)險。國外的話此類標(biāo)的有很多，在國內(nèi)的話一般就只能用股指期貨了，主要用于對市場因素的對沖。
至此，我們發(fā)現(xiàn)可以通過波動控制、合理的分散、因素暴露控制在一定程度上控制投資組合的風(fēng)險。
欲知后事，請看下期：
瞎扯“量化組合投資（三）”：收益的獲取
