二次函數(shù)
【A級(jí)能力訓(xùn)練】
【解析】
由于拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，故應(yīng)分在x軸上與y軸上兩種情況進(jìn)行討論.
【點(diǎn)評(píng)】
本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類(lèi)討論，不要漏解.
【解析】
由題意拋物線(xiàn)y=x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)A,令x=0,求出A點(diǎn)坐標(biāo)，又與x軸的正半軸交于B、C兩點(diǎn)，判斷出C的符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為方程的兩個(gè)根，再根據(jù)S△ABC=3，求出b值.
【點(diǎn)評(píng)】
此題主要考查拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)和三角形的面積公式，函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根，兩者互相轉(zhuǎn)化，要充分運(yùn)用這一點(diǎn)來(lái)解題.
【解析】
由圖象可知:拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-1)，且拋物線(xiàn)過(guò)(0，0)和(2，0)兩點(diǎn)，可用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式；進(jìn)而可將y=3代入拋物線(xiàn)的解析式中，求得x的值.根據(jù)函數(shù)的圖象即可求得y>0時(shí)，x的取值范圍.
【點(diǎn)評(píng)】
正確觀察圖象，能夠正確利用待定系數(shù)法求解析式，能夠把數(shù)的關(guān)系與圖形的位置相聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合是本題訓(xùn)練的目的.
【解析】
設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0)，由圖象與x軸的另一交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1可得到拋物線(xiàn)與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)或(-1，0)，然后分別把(0，0)、(1，0)、(-1/2，-1/4)或(0，0)、(1，0)、(-1/2，-1/4)代入解析式中得到兩個(gè)方程組，解方程組即可確定解析式.
【點(diǎn)評(píng)】
本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式:先設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0)，然后把二次函數(shù)圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，解方程組求出a、b、c的值，從而確定二次函數(shù)的解析式，也考查了分類(lèi)討論思想的運(yùn)用.
【解析】
根據(jù)二次函數(shù)的開(kāi)口方向，與y軸的交點(diǎn)；一次函數(shù)經(jīng)過(guò)的象限，與y軸的交點(diǎn)可得相關(guān)圖象.
【點(diǎn)評(píng)】
考查二次函數(shù)及一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)；用到的知識(shí)點(diǎn)為:二次函數(shù)和一次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)是圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)；一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)大于0，圖象經(jīng)過(guò)一、三象限；小于0，經(jīng)過(guò)二、四象限；二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)大于0，圖象開(kāi)口向上；二次項(xiàng)系數(shù)小于0，圖象開(kāi)口向下.
【解析】
由題目條件可知對(duì)稱(chēng)軸為x=2，可求得拋物線(xiàn)與x軸的另一交點(diǎn)，則可判斷A、C，把x=0代入可求得y=c，可判斷D，則可得出答案.
【點(diǎn)評(píng)】
本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用.
【解析】
拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，可得對(duì)稱(chēng)軸為y軸，b=0，方程ax2+bx+c=0的兩根為c與-c，即可得出答案.
【點(diǎn)評(píng)】
本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件結(jié)合二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.
【解析】
假設(shè)拋物線(xiàn)方程為: y=ax2+bx+c根據(jù)圖形，我們建立坐標(biāo)軸，那么拋物線(xiàn)過(guò):(-4，0)(4，0)、(-3，4)、(3，4)這四個(gè)坐標(biāo).則利用這四個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)直接代到拋物線(xiàn)方程可以求c，而這個(gè)c剛好就是我們要求的那個(gè)高了.
【點(diǎn)評(píng)】
本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題.
【解析】
(1)依題意得拋物線(xiàn)頂點(diǎn)E(4，3)，經(jīng)過(guò)D(0，5/3)，這頂點(diǎn)式，可求拋物線(xiàn)解析式；
(2)過(guò)C點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)，垂足為F，解直角三角形OCF、ACF，可得CF，OF的長(zhǎng)，從而可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，判斷點(diǎn)C是否滿(mǎn)足拋物線(xiàn)解析式.
【點(diǎn)評(píng)】
本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題.
【解析】
(1)由△ABC為正三角形，推出∠A=∠C，∠3+∠1=120°，再由∠BDE=60°，推出∠3+∠2=120°，求得∠1=∠2，即可推出△DEC~△BDA；
(2)由相似三角形的性質(zhì)推出比例式CD/AB=EC/AD然后根據(jù)圖形推出AD=AC-CD，EC=BC-BE，根據(jù)正三角形的邊長(zhǎng)為6，并設(shè)DC=x，BE=y，即可推出x/6=(6-y)/(6-x)，通過(guò)整理得x與y的函數(shù)關(guān)系式:y=1/6x2-x+6；
(3)利用(2)中的函數(shù)關(guān)系式求得當(dāng)BE最短時(shí)(即y取最小值時(shí))所對(duì)應(yīng)的x的值，由此可以確定點(diǎn)D的位置，然后由三角形的面積公式和相似三角形的面積比等于相似比的平方求得△ABD和△CDE的面積，結(jié)合圖形易得△BDE的面積.
【點(diǎn)評(píng)】
本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，平角的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵在于通過(guò)對(duì)應(yīng)角相等推出相關(guān)的三角形相似，正確地求出關(guān)于x與y的比例式，認(rèn)真地進(jìn)行計(jì)算.
【解析】
(1)根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得BE、OE的值，進(jìn)而可得B點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)先設(shè)拋物線(xiàn)為y=ax2+bx+c，將ABC的坐標(biāo)代入可得三元一次方程組，解即可得abc的值，即可得拋物線(xiàn)的解析式；
(3)根據(jù)題意設(shè)拋物線(xiàn)上符合條件的點(diǎn)P到AB的距離為d，易得AB//x軸；分析可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)只能是0或4；分情況代入數(shù)據(jù)可得答案.
【點(diǎn)評(píng)】
本題考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合處理問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.
【解析】
(1)待定系數(shù)法分別求解可得；
(2)根據(jù)題意可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(t，t-3)，則M(t，t2-2t-3)，繼而可得PM=(t-3)-(t2-2t-3)=-(t-3/2)2+9/4，知PM最大值為9/4，根據(jù)S△ABM=S△BPM+S△APM可得答案；
(3)由PM//OB，可知當(dāng)PM=OB時(shí)點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，據(jù)此可分以下三種情況:①當(dāng)P在第四象限；②當(dāng)P在第一象限；③當(dāng)P在第三象限；由PM=OB=3列出關(guān)于t的方程分別求解可得.
【點(diǎn)評(píng)】
本題考查了二次函數(shù)的綜合題:先利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，然后根據(jù)解析式表示點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)表示線(xiàn)段的長(zhǎng)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求線(xiàn)段的最大值.同時(shí)考查了平行四邊形的判定定理以及一元二次方程的解法.
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